Exercicis: Treball i balanços energètics

Una sonda s'allunya de la Terra en direcció radial.

1. a) Dibuixa al teu quadern la força gravitatòria sobre la sonda i el seu desplaçament, i raona quin signe té el treball realitzat pel camp gravitatori durant l'allunyament.
2. b) Escriu la relació entre aquest treball i la variació d'energia potencial, $W_{campo} = -\Delta E_p$, i explica'n el significat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una càrrega útil de $m = 1000\ \text{kg}$ passa de la superfície terrestre ($r_1 = R_T$) a una posició a $r_2 = 2\cdot R_T$ del centre de la Terra. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'energia potencial del conjunt a cada posició, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.
2. b) Calcula la variació d'energia potencial, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$, i raona el seu signe.

Un fragment d'escombraries espacials descendeix lentament d'una òrbita de radi $r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ a una altra de radi $r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Raona, sense fer càlculs, quin signe té el treball realitzat pel camp gravitatori durant el descens.
2. b) Indica si la seva energia potencial augmenta o disminueix i justifica-ho amb l'expressió $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.

Un satèl·lit descriu una òrbita circular estable al voltant de la Terra. Observa l'esquema:

1. a) Tenint en compte que la força gravitatòria és perpendicular a la velocitat a cada punt de l'òrbita, quant val el treball realitzat pel camp gravitatori en una volta completa?
2. b) Canvien l'energia cinètica, l'energia potencial i l'energia mecànica del satèl·lit al llarg d'aquesta òrbita? Justifica-ho.

L'energia que cal comunicar a una massa $m$ en repòs a la superfície terrestre per situar-la en una òrbita circular de radi $r$ és $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Un petit satèl·lit de $m = 200\ \text{kg}$ es vol situar en una òrbita de $500\ \text{km}$ d'alçada ($r = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula aquesta energia i expressa-la en notació científica.
2. b) Indica en quines dues «partides» energètiques s'inverteix aquesta energia.

Una sonda de $m = 800\ \text{kg}$ es trasllada molt a poc a poc (pràcticament sense variar la seva energia cinètica) des de $r_1 = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ fins a $r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$, mesurats des del centre de la Terra. El treball extern mínim necessari coincideix aleshores amb la variació d'energia potencial. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la variació d'energia potencial entre totes dues posicions.
2. b) Indica quin treball extern mínim cal realitzar i quin signe té.

Per situar un satèl·lit en una certa òrbita cal augmentar la seva energia potencial en $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ i, a més, comunicar-li una energia cinètica orbital de $E_c = 4\cdot10^{9}\ \text{J}$.

1. a) Calcula l'energia total que ha de subministrar el llançador.
2. b) Explica per què posar un satèl·lit en òrbita no consisteix només a «pujar-lo» fins a aquesta alçada.

Una sonda de $m = 500\ \text{kg}$ cau des de $r_1 = 4\cdot R_T$ fins a $r_2 = 2\cdot R_T$, mesurats des del centre de la Terra. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula la variació de la seva energia potencial, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$.
2. b) Calcula el treball realitzat pel camp gravitatori, $W_{campo} = -\Delta E_p$, i interpreta el seu signe.

Un satèl·lit d'una constel·lació d'internet, de $m = 300\ \text{kg}$, ha de pujar de la seva òrbita d'aparcament, a $500\ \text{km}$ d'alçada ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$), a la seva òrbita operativa, a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). El treball necessari per passar d'una òrbita circular a una altra és $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el treball que han d'aportar els propulsors del satèl·lit.
2. b) Raona el signe positiu del resultat: d'on surt aquesta energia i on va a parar?

Un satèl·lit meteorològic de $m = 1500\ \text{kg}$ es vol situar en òrbita geoestacionària, de radi $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, partint del repòs a la superfície terrestre. L'energia necessària és $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula aquesta energia.
2. b) Calcula quina fracció d'aquesta energia correspon a «pujar» (variació de $E_p$) i quina a «orbitar» (energia cinètica orbital), i comenta el resultat.

Un meteorit de $m = 2\cdot10^{3}\ \text{kg}$ cau cap a la Terra des de molt lluny, partint pràcticament del repòs. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Aplica la conservació de l'energia per calcular l'energia cinètica amb què arribaria a la superfície si no hi hagués atmosfera.
2. b) Calcula la velocitat corresponent.
3. c) Un turisme de $1200\ \text{kg}$ a $120\ \text{km/h}$ ($33,3\ \text{m/s}$) té una energia cinètica d'uns $6,7\cdot10^{5}\ \text{J}$: calcula quantes vegades més gran és l'energia del meteorit.

Un satèl·lit de $m = 300\ \text{kg}$ decau per fregament amb l'alta atmosfera des d'una òrbita circular de $800\ \text{km}$ d'alçada ($r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) fins a una altra de $500\ \text{km}$ ($r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el treball realitzat pel camp gravitatori en el descens, $W_{campo} = G\cdot M\cdot m\cdot\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)$.
2. b) Calcula la variació d'energia mecànica del satèl·lit entre totes dues òrbites circulars, $\Delta E_m = E_{m,2} - E_{m,1}$ amb $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Explica per què els dos resultats no coincideixen i què ha passat amb la diferència.

Es vol comparar l'energia necessària per a dues missions diferents amb una càrrega de $m = 1000\ \text{kg}$ que parteix del repòs a la superfície terrestre. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula l'energia mínima perquè la càrrega escapi de l'atracció terrestre, $E_{esc} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$.
2. b) Calcula l'energia per situar-la en una òrbita circular rasant ($r \approx R_T$), $E_{orb} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot R_T}$.
3. c) Raona a partir dels resultats per què «escapar de la Terra» costa just el doble que «posar-se en òrbita baixa», i quina conseqüència pràctica té això per a les missions interplanetàries.

Els propulsors d'un satèl·lit de $m = 500\ \text{kg}$ l'eleven d'una òrbita circular de $500\ \text{km}$ d'alçada ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$) a una altra de $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el treball aportat pels propulsors, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcula la velocitat orbital a cada òrbita, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$, i comprova que disminueix.
3. c) Explica l'aparent paradoxa: els motors aporten energia al satèl·lit i, tanmateix, aquest acaba movent-se més a poc a poc. Basa l'explicació en els balanços de $E_c$, $E_p$ i $E_m$.

Un llançador situa una càrrega de $m = 400\ \text{kg}$ en una òrbita circular de $600\ \text{km}$ d'alçada ($r = 6,97\cdot10^{6}\ \text{m}$), partint del repòs a la superfície. L'energia necessària és $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula l'energia total.
2. b) Calcula l'energia per quilogram de càrrega i expressa-la en notació científica.
3. c) L'energia d'escapament des de la superfície és $6,25\cdot10^{7}\ \text{J}$ per quilogram: calcula quina fracció representa l'energia de posada en òrbita respecte a la d'escapament.

Un orbitador de $m = 1000\ \text{kg}$ al voltant de Mart ha de passar d'una òrbita circular baixa de $200\ \text{km}$ d'alçada ($r_1 = 3,59\cdot10^{6}\ \text{m}$) a una òrbita alta de radi $r_2 = 1,7\cdot10^{7}\ \text{m}$. Dades de Mart: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula el treball necessari, $W = \frac{G\cdot M_M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) La massa de Mart és unes $0,11$ vegades la de la Terra: raona per què, amb els mateixos radis orbitals i la mateixa massa de l'orbitador, els canvis d'òrbita són energèticament molt més barats al voltant de Mart que al voltant de la Terra.

Un satèl·lit de $m = 500\ \text{kg}$ perd alçada pel fregament amb l'alta atmosfera i passa d'una òrbita circular de $350\ \text{km}$ ($r_1 = 6,72\cdot10^{6}\ \text{m}$) a una altra de $250\ \text{km}$ ($r_2 = 6,62\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la variació d'energia cinètica entre totes dues òrbites, $\Delta E_c$, amb $E_c = \frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
2. b) Calcula la variació d'energia potencial, $\Delta E_p$.
3. c) Calcula la variació d'energia mecànica, $\Delta E_m$, i explica què ha passat amb aquesta energia.
4. d) Calcula la velocitat orbital a cada òrbita i explica la «paradoxa del satèl·lit»: en frenar per fregament, el satèl·lit acaba movent-se més ràpid.

Una missió porta una càrrega de $m = 1000\ \text{kg}$ des del repòs a la superfície terrestre fins a fer-la escapar de la Terra, en dues etapes: primer es situa en una òrbita circular de $800\ \text{km}$ d'alçada ($r = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) i des d'allà se li dóna l'impuls final d'escapament. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. La missió es mostra a la figura.

1. a) Calcula l'energia de la primera etapa, $E_1 = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$.
2. b) Calcula l'energia de la segona etapa: la que cal aportar a un satèl·lit en òrbita circular perquè escapi, $E_2 = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Suma totes dues energies i comprova que el total coincideix amb l'energia d'escapament directa des de la superfície, $E_{esc} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$.
4. d) Raona per què el total no depèn de l'òrbita intermèdia triada, basant-te en el fet que l'energia mecànica final (a l'infinit, en repòs) és la mateixa en tots els casos.

El 2013 un meteorit d'uns $20\ \text{m}$ de diàmetre va explotar sobre Txeliàbinsk (Rússia). Considera un cos de $m = 10^{7}\ \text{kg}$ que s'aproxima a la Terra amb velocitat, quan encara n'és lluny, de $v_\infty = 1,5\cdot10^{4}\ \text{m/s}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Aplica la conservació de l'energia mecànica per calcular la velocitat amb què arriba a la superfície terrestre.
2. b) Calcula la seva energia cinètica en aquell moment.
3. c) Un quiloto de TNT equival a $4,18\cdot10^{12}\ \text{J}$: expressa l'energia del meteorit en quilotones i comenta el resultat.
4. d) Explica per què l'atmosfera terrestre actua com a escut protector però només de manera parcial davant de cossos d'aquesta mida.

Per a alçades petites respecte al radi terrestre se sol aproximar la variació d'energia potencial per $\Delta E_p \approx m\cdot g_0\cdot h$, amb $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$. Considera una càrrega de $m = 1000\ \text{kg}$ elevada $h = 100\ \text{km} = 10^{5}\ \text{m}$ sobre la superfície. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. La figura compara totes dues expressions:

1. a) Calcula la variació exacta d'energia potencial, $\Delta E_p = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h}\right)$.
2. b) Calcula el valor aproximat $m\cdot g_0\cdot h$.
3. c) Determina l'error relatiu de l'aproximació, en tant per cent.
4. d) Repeteix la comparació per a $h = R_T$ (una alçada igual al radi terrestre) i conclou en quin rang d'alçades l'aproximació $m\cdot g_0\cdot h$ és acceptable.

Una nau tripulada de $m = 5\cdot10^{3}\ \text{kg}$ parteix d'una òrbita circular baixa terrestre ($r_1 = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) cap a la Lluna, la distància mitjana de la qual al centre de la Terra és $r_2 = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula l'energia mecànica de la nau a l'òrbita baixa, $E_{m,1} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot r_1}$.
2. b) Calcula l'energia mecànica mínima que tindria en arribar a la distància lunar si hi arribés amb velocitat nul·la, $E_{m,2} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r_2}$.
3. c) Calcula l'energia mínima que ha d'aportar l'impuls de sortida d'òrbita, $\Delta E = E_{m,2} - E_{m,1}$, i compara-la amb l'energia necessària per escapar de la Terra des d'aquesta mateixa òrbita.
4. d) Raona per què la missió real necessita energia addicional: la nau no pot quedar-se en aquest punt amb velocitat nul·la, sinó que s'ha d'inserir en òrbita lunar o tornar.

Es vol comparar el cost energètic de posar en òrbita baixa, a $100\ \text{km}$ d'alçada, una mateixa càrrega de $m = 500\ \text{kg}$ des de la superfície de la Terra i des de la superfície de la Lluna. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; Terra: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$; Lluna: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula l'energia necessària des de la Terra, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$, amb $r = R_T + 10^{5}\ \text{m}$.
2. b) Calcula l'energia necessària des de la Lluna, amb $r = R_L + 10^{5}\ \text{m}$.
3. c) Calcula el quocient entre totes dues energies i comenta quina conseqüència tindria per a la logística d'una futura base lunar el fet que enlairar-se de la Lluna sigui tan «barat» energèticament.

Al final de la seva vida útil, els satèl·lits geoestacionaris s'eleven uns $300\ \text{km}$ a l'anomenada «òrbita cementiri» per no interferir amb els operatius. Considera un satèl·lit de $m = 2000\ \text{kg}$ que passa de l'òrbita geoestacionària ($r_1 = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$) a la cementiri ($r_2 = 4,25\cdot10^{7}\ \text{m}$). Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el treball necessari per a aquesta darrera empenta, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcula l'energia que va costar en el seu moment posar-lo en òrbita geoestacionària des de la superfície, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r_1}\right)$, amb $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Calcula l'energia que costaria «baixar-lo» des de l'òrbita geoestacionària fins a una òrbita de $300\ \text{km}$ d'alçària ($r_3 = 6,67\cdot10^{6}\ \text{m}$) perquè reentrés, i raona, comparant els tres resultats, per què s'elegeix l'òrbita cementiri.

Per viatjar a la Lluna cal superar el «punt neutre», situat aproximadament a $d = 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$ del centre de la Terra, on les atraccions de la Terra i de la Lluna es compensen. La distància mitjana Terra-Lluna és $r_{TL} = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Una nau de $m = 5\cdot10^{3}\ \text{kg}$ parteix del repòs a la superfície terrestre. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ i $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la variació d'energia potencial deguda a la Terra en anar de la superfície terrestre al punt neutre, $\Delta E_{p,T} = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{d}\right)$.
2. b) Calcula la variació d'energia potencial deguda a la Lluna en el mateix trajecte, tenint en compte que la nau passa d'estar a $r_{TL}$ de la Lluna a estar a $r_{TL} - d$: $\Delta E_{p,L} = G\cdot M_L\cdot m\cdot\left(\frac{1}{r_{TL}} - \frac{1}{r_{TL} - d}\right)$.
3. c) Suma ambdues contribucions per obtenir l'energia mínima total del viatge al punt neutre i compara-la amb l'energia d'escapament de la Terra des de la superfície, $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$. Quina conclusió extreus sobre el «preu» energètic d'arribar a la Lluna?

Repte del tema. Com connectar la caiguda d'un objecte amb el llançament de satèl·lits? Converteix-te en enginyer de missions espacials des de casa:

1. Mesura casolana i incertesa: Deixa caure una pilota petita des de 5 altures diferents entre $0,50\text{ m}$ i $2,00\text{ m}$. Registra amb el mòbil (gravant vídeo a càmera lenta i analitzant-lo fotograma a fotograma) el temps de caiguda (3 repeticions per altura) associant la seva incertesa ($\pm \Delta h$, $\pm \Delta t$). Elabora una taula amb els valors mitjans i grafica $v^2$ enfront de $h$ per determinar el valor local de $g$ mitjançant balanç d'energia mecànica ($mgh = \frac{1}{2}mv^2$).

2. Balanç energètic orbital: Consulta al web de l'Instituto Geográfico Nacional (IGN) el radi mitjà terrestre ($R_T = 6371\text{ km}$) i calcula la massa de la Terra $M_T$ a partir de la teva $g$. Determina el treball necessari per transferir un nanosatèl·lit de $3,5\text{ kg}$ des de la superfície fins a una òrbita circular a $400\text{ km}$ d'altitud.

3. Proposta raonada i trajectòries: Redacta un informe breu que inclogui taula, gràfica i una discussió teòrica: classifica el tipus de moviment (òrbita el·líptica, paràbola o hipèrbola) segons el signe de l'energia mecànica total ($E_m < 0$, $E_m = 0$, $E_m > 0$) i calcula la velocitat d'escapament.

Es valorarà:

• Rigor en el tractament de dades experimentals, estimació d'incerteses i ajust gràfic.

• Correcció en els balanços d'energia mecànica i càlcul del treball gravitatori.

• Coherència física en vincular el signe d'$E_m$ amb la trajectòria i l'escapament gravitatori.