Exercicis: Dualitat ona-corpuscle: De Broglie i efecte fotoelèctric

La llum produeix figures d'interferència i de difracció, com qualsevol ona, però en xocar contra un metall arrenca electrons com si fos un raig de partícules (els fotons).

1. a) Explica amb les teves paraules en què consisteix la dualitat ona-corpuscle de la llum.
2. b) Cita un fenomen que només s'expliqui amb el comportament ondulatori i un altre que només s'expliqui amb el comportament corpuscular.
3. c) El $1924$, De Broglie va estendre la idea a la matèria: quina hipòtesi va llançar sobre els electrons i les altres partícules?

Un làser dermatològic emet llum de freqüència $f = 4,5\cdot10^{14}\ \text{Hz}$. L'energia d'un fotó és $E_{fotón} = h\cdot f$, amb $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula l'energia de cada fotó.
2. b) Si augmentem la intensitat del làser sense canviar-ne la freqüència, augmenta l'energia de cada fotó? Què és el que augmenta en realitat?

Un punter làser emet llum verda de longitud d'ona $\lambda = 550\ \text{nm}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la seva freqüència, $f = \frac{c}{\lambda}$.
2. b) Calcula l'energia de cada fotó, $E_{fotón} = h\cdot f$.

Al laboratori, una placa de zinc carregada negativament es connecta a un electroscopi. En il·luminar-la amb llum ultraviolada, l'electroscopi es descarrega; amb llum vermella molt intensa, no. La figura mostra el muntatge.

1. a) Què és l'efecte fotoelèctric?
2. b) Què són els fotoelectrons?
3. c) Explica, amb la idea que la llum arriba en fotons, per què la llum vermella no descarrega la placa per molt intensa que sigui.

Els fanals de vapor de sodi emeten llum de $\lambda_{Na} = 589\ \text{nm}$ i un LED blau emet a $\lambda_{az} = 470\ \text{nm}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. La figura compara les dues ones.

1. a) Calcula l'energia d'un fotó de cada llum.
2. b) Quin dels dos fotons és més energètic? Quantes vegades més?

Tota partícula té associada una longitud d'ona de De Broglie, $\lambda = \frac{h}{m\cdot v}$, amb $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. Una pilota de tennis de $58\ \text{g}$ surt d'un servei a $40\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la seva longitud d'ona de De Broglie.
2. b) Compara el resultat amb la mida d'un àtom ($10^{-10}\ \text{m}$) i explica per què aquesta ona no té cap conseqüència observable.

En un tub de raigs catòdics, els electrons es mouen a $v = 10^{6}\ \text{m/s}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la longitud d'ona de De Broglie associada a cada electró, $\lambda = \frac{h}{m_e\cdot v}$.
2. b) Compara el resultat amb la mida típica d'un àtom ($10^{-10}\ \text{m}$) i comenta per què l'ona associada a l'electró sí que és rellevant en el món atòmic.

En l'efecte fotoelèctric, cada metall té una funció de treball $W$ (també anomenada treball d'extracció) i una freqüència llindar $f_0$ que compleixen $W = h\cdot f_0$.

1. a) Explica què significa la funció de treball: quina energia representa?
2. b) Què és la freqüència llindar i què passa quan la llum incident té $f < f_0$?
3. c) Si $f > f_0$, en què es converteix l'energia del fotó que sobra després d'extreure l'electró?

Un làser de fibra òptica per a telecomunicacions emet a $\lambda = 1,55\ \mu\text{m}$ amb una potència de $10\ \text{mW}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula l'energia de cada fotó.
2. b) Calcula quants fotons emet el làser cada segon (recorda que la potència és l'energia emesa per unitat de temps).

Una fotocèl·lula de potassi té una funció de treball $W = 2,3\ \text{eV}$ i s'il·lumina amb llum ultraviolada de $\lambda = 250\ \text{nm}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. La figura mostra l'esquema del procés.

1. a) Expressa la funció de treball en joules.
2. b) Calcula l'energia de cada fotó de la llum ultraviolada.
3. c) Aplica $E_{fotón} = W + E_{c,máx}$ i calcula l'energia cinètica màxima dels fotoelectrons, en joules i en electronvolts.

El detector de llum d'un telescopi utilitza una cèl·lula de cesi, la funció de treball de la qual és $W = 2,1\ \text{eV}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula la freqüència llindar del cesi, $f_0 = \frac{W}{h}$.
2. b) Calcula la longitud d'ona llindar, $\lambda_0 = \frac{c}{f_0}$.
3. c) Arrencarà electrons una llum vermella de $\lambda = 650\ \text{nm}$? Calcula-ho comparant energies i raona la resposta.

Sobre una placa de calci, de funció de treball $W = 2,9\ \text{eV}$, incideix llum de $\lambda = 350\ \text{nm}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula l'energia del fotó en joules i expressa-la en electronvolts.
2. b) Decideix si es produeix emissió de fotoelectrons.
3. c) En cas afirmatiu, calcula l'energia cinètica màxima dels electrons emesos.

En un experiment de microscòpia electrònica, un electró porta una energia cinètica de $100\ \text{eV}$. Dades: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ i $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Expressa la seva energia cinètica en joules.
2. b) Calcula la seva velocitat a partir de $E_c = \frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v^2$.
3. c) Calcula la seva longitud d'ona de De Broglie.

En un accelerador, un electró i un protó es mouen amb la mateixa velocitat, $v = 10^{5}\ \text{m/s}$. Dades: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ i $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la longitud d'ona de De Broglie de l'electró.
2. b) Calcula la del protó.
3. c) Calcula el quocient $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$ i explica, a partir de la fórmula de De Broglie, per què a igual velocitat la partícula més massiva té menor longitud d'ona associada.

El panell solar d'un satèl·lit rep $200\ \text{W}$ de potència lluminosa del Sol. Com a simplificació, suposa que tota la llum té $\lambda = 550\ \text{nm}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula l'energia de cada fotó.
2. b) Calcula quants fotons arriben al panell cada segon.
3. c) Si amb la mateixa potència la llum fos més vermella (major $\lambda$), hi arribarien més o menys fotons per segon? Raona la resposta amb la fórmula $E_{fotón} = \frac{h\cdot c}{\lambda}$.

Per a cert experiment de difracció es necessita que els electrons tinguin una longitud d'ona de De Broglie de $1\ \text{nm}$. Dades: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Aïlla la velocitat de $\lambda = \frac{h}{m_e\cdot v}$ i calcula a quina velocitat s'han de moure.
2. b) Calcula l'energia cinètica que porten, en joules i en electronvolts.

Un metall de funció de treball $W = 2,25\ \text{eV}$ s'il·lumina amb llum de $\lambda = 300\ \text{nm}$. Els fotoelectrons es frenen amb una diferència de potencial fins que ni el més ràpid arriba al col·lector (potencial de frenada $V_f$, amb $E_{c,máx} = e\cdot V_f$). Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. La figura mostra el muntatge amb el potencial de frenada.

1. a) Calcula l'energia del fotó i l'energia cinètica màxima dels fotoelectrons, en electronvolts.
2. b) Calcula el potencial de frenada.
3. c) Repeteix el càlcul amb llum de $\lambda = 250\ \text{nm}$: com canvien l'energia cinètica màxima i el potencial de frenada?
4. d) Explica per què duplicar la intensitat de la llum, sense canviar-ne la longitud d'ona, no canvia el potencial de frenada, tot i que sí que augmenta el nombre de fotoelectrons.

Un grup de laboratori mesura l'efecte fotoelèctric en un metall i obté dues dades: amb llum de freqüència $f_1 = 6,0\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ no hi ha emissió en absolut (és la freqüència llindar) i amb $f_2 = 1,0\cdot10^{15}\ \text{Hz}$ els fotoelectrons surten amb $E_{c,máx} = 2,65\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. La figura mostra les dues dades de l'experiment.

1. a) Calcula la funció de treball del metall a partir de $W = h\cdot f_1$ i expressa-la en electronvolts.
2. b) Representa mentalment $E_{c,máx}$ enfront de $f$: utilitzant $E_{c,máx} = h\cdot f - W$, calcula el pendent de la recta amb els dos punts i comprova que coincideix amb el valor de $h$.
3. c) Prediu, sense tornar a mesurar, l'energia cinètica màxima per a llum de $f = 1,2\cdot10^{15}\ \text{Hz}$.
4. d) Explica quina magnitud representa el punt de tall de la recta amb l'eix vertical i per què és negatiu.

Una placa de zinc, de funció de treball $W = 4,3\ \text{eV}$, s'il·lumina per torns amb llum vermella de $650\ \text{nm}$ i amb llum ultraviolada de $250\ \text{nm}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula l'energia de cada tipus de fotó i decideix, justificant-ho, quina llum produeix emissió.
2. b) Per a la llum que sí que emet, calcula l'energia cinètica màxima dels fotoelectrons i el potencial de frenada corresponent.
3. c) Si multipliquem per mil la intensitat de la llum vermella, aconseguirem arrencar electrons del zinc? Explica la resposta amb el model del fotó: en què es diferencien mil fotons vermells d'un d'ultraviolat?
4. d) Si augmentem la intensitat de la llum ultraviolada, què canvia i què no canvia en l'emissió?

Una cèl·lula de cesi, de funció de treball $W = 2,1\ \text{eV}$, s'il·lumina amb llum de $\lambda = 400\ \text{nm}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula l'energia cinètica màxima dels fotoelectrons, en joules.
2. b) Calcula la velocitat d'aquests electrons més ràpids.
3. c) Calcula la longitud d'ona de De Broglie associada a aquests electrons.
4. d) Els plans atòmics d'un cristall estan separats uns $10^{-10}\ \text{m}$: raona si aquest cristall podria actuar com a xarxa de difracció per a aquests electrons i quina evidència aportaria un experiment de difracció d'electrons en un cristall.

En un microscopi electrònic de transmissió, els electrons s'acceleren amb una diferència de potencial $V = 10\ \text{kV}$, de manera que guanyen una energia cinètica $E_c = e\cdot V$ (menysprea les correccions relativistes). Dades: $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ i $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula l'energia cinètica que adquireix cada electró, en joules.
2. b) Calcula la seva velocitat.
3. c) Calcula la seva longitud d'ona de De Broglie.
4. d) El poder de resolució d'un microscopi millora com menor és la longitud d'ona emprada: compara la longitud d'ona obtinguda amb la de la llum visible ($\lambda \approx 500\ \text{nm}$) i explica per què el microscopi electrònic pot veure virus i l'òptic no.

Una cèl·lula fotovoltaica rep $5\ \text{mW}$ de llum de $\lambda = 600\ \text{nm}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcula quants fotons arriben a la cèl·lula cada segon.
2. b) Suposant que cada fotó allibera un electró que arriba al circuit extern, calcula el corrent màxim teòric (el corrent és la càrrega que passa per segon).
3. c) A la pràctica el corrent és menor: dona dues raons que expliquin la diferència.
4. d) Si la cèl·lula rebés la mateixa potència però de llum de $\lambda = 400\ \text{nm}$, el corrent màxim teòric seria major, menor o igual? Raona la resposta comptant fotons.

Una pilota de tennis de $58\ \text{g}$ surt d'un servei a $40\ \text{m/s}$; en un accelerador, un electró es mou a $10^{6}\ \text{m/s}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la longitud d'ona de De Broglie de la pilota i la de l'electró.
2. b) Per observar difracció, l'obertura ha de ser comparable a la longitud d'ona: indica quina mida d'escletxa faria falta en cada cas.
3. c) Els plans d'un cristall estan separats uns $10^{-10}\ \text{m}$: raona quin dels dos objectes es pot difractar en un cristall.
4. d) Conclou per què en els objectes macroscòpics no s'observen a la pràctica efectes ondulatoris, recolzant-te en els nombres anteriors.

En un experiment de doble escletxa amb electrons, aquests es mouen a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, les escletxes estan separades $d = 0,5\ \mu\text{m}$ i la pantalla està a $L = 1\ \text{m}$. La separació entre màxims consecutius de la figura és $\Delta y = \frac{\lambda\cdot L}{d}$. Dades: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ i $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. La figura mostra el muntatge de la doble escletxa.

1. a) Calcula la longitud d'ona de De Broglie dels electrons.
2. b) Calcula la separació entre màxims a la pantalla i expressa-la en mil·límetres.
3. c) Si els electrons s'envien d'un en un, amb el temps es forma igualment la figura d'interferències: explica què significa aquest resultat sobre la dualitat ona-corpuscle i sobre el caràcter probabilístic de la física quàntica.
4. d) Prediu què li passa a la separació entre màxims si els electrons s'acceleren al doble de velocitat.