Exercicis: Camps de fils, espires, solenoides i toroides

Per un cable vertical circula un corrent elèctric ascendent.

1. a) Enuncia amb les teves paraules la regla de la mà dreta que relaciona el sentit del corrent amb el sentit de les línies del camp magnètic que crea.
2. b) Aplica-la: vist des de dalt, les línies de camp giren en sentit horari o antihorari? Dibuixa la situació al teu quadern.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per un cable recte molt llarg circula un corrent $I = 10\ \text{A}$. El camp magnètic que crea a una distància $r$ és $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$, amb $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$. Calcula el camp a $r = 5\ \text{cm}$ del cable. Recorda passar la distància a metres.

Una espira circular de radi $R = 10\ \text{cm}$ porta un corrent $I = 2\ \text{A}$. El camp magnètic al seu centre és $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot R}$, amb $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

1. a) Calcula el seu valor.
2. b) Expressa el resultat en notació científica, arrodonit a dues xifres significatives.

El camp creat per un fil recte molt llarg és $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$. Sense fer càlculs numèrics, raona amb la fórmula:

1. a) Què li passa a $B$ si es duplica el corrent mantenint la distància?
2. b) I si es duplica la distància mantenint el corrent?
3. c) On és més intens el camp, a prop o lluny del fil? Relaciona-ho amb com se separen les seves línies de camp en allunyar-se.

Un solenoide té $n = 1000\ \text{espires/m}$ i porta un corrent $I = 0,5\ \text{A}$. El camp magnètic al seu interior és $B = \mu_0\cdot n\cdot I$, amb $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

1. a) Calcula el seu valor.
2. b) Expressa'l en mil·litesles ($1\ \text{mT} = 10^{-3}\ \text{T}$).

Descriu el camp magnètic a l'interior d'un solenoide llarg recorregut per un corrent:

1. a) Com són les línies de camp a la zona central de l'interior: corbes, paral·leles o convergents?
2. b) En moure'ns per l'interior, el camp augmenta, disminueix o es manté pràcticament constant?
3. c) Què passa amb el camp a l'exterior, en comparació amb l'interior?

Per una espira circular col·locada en horitzontal circula un corrent en sentit antihorari, vista des de dalt. L'espira, vista des de dalt, es representa a la figura.

1. a) Aplica la regla de la mà dreta i indica el sentit del camp magnètic al centre de l'espira: cap amunt o cap avall?
2. b) Raona quina cara de l'espira (la superior o la inferior) es comporta com a pol nord.

Un toroide és una bobina enrotllada en forma d'anell. El camp al seu interior, a una distància $r$ de l'eix, és $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$, on $N$ és el nombre total d'espires. Un toroide de $N = 500$ espires porta un corrent $I = 2\ \text{A}$. Calcula el camp en els punts a $r = 10\ \text{cm}$ de l'eix ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Una sonda de laboratori mesura el camp magnètic a $r = 4\ \text{cm}$ d'un cable recte molt llarg i obté $B = 2\cdot10^{-4}\ \text{T}$.

1. a) Aïlla el corrent de l'expressió $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcula el seu valor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

El cable del pantògraf d'un tren elèctric pot portar corrents de $I = 500\ \text{A}$.

1. a) Aïlla la distància $r$ de la fórmula del camp del fil, $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcula a quina distància del cable el camp que crea iguala el camp magnètic terrestre, $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
3. c) Calcula el camp a $10\ \text{m}$ del cable i comenta si podria arribar a afectar una brúixola situada a aquesta distància.

Una bobina plana de $N = 50$ espires té un radi $R = 8\ \text{cm}$ i porta un corrent $I = 0,3\ \text{A}$. El camp al seu centre és $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\cdot R}$.

1. a) Calcula el seu valor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
2. b) Quantes vegades més gran és que el camp d'una única espira del mateix radi amb el mateix corrent? Raona la resposta amb la fórmula.

Al laboratori s'enrotllen $N = 400$ espires sobre un tub de $L = 20\ \text{cm}$ de longitud i es fa circular un corrent $I = 1,5\ \text{A}$.

1. a) Calcula la densitat d'espires $n = \frac{N}{L}$, en espires per metre.
2. b) Calcula el camp a l'interior del solenoide, $B = \mu_0\cdot n\cdot I$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Es vol construir un solenoide que generi al seu interior un camp de $B = 2,5\cdot10^{-3}\ \text{T}$ amb un corrent màxim de $I = 2\ \text{A}$.

1. a) Aïlla la densitat d'espires $n$ de l'expressió $B = \mu_0\cdot n\cdot I$.
2. b) Calcula quantes espires per metre es necessiten ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
3. c) Si el tub sobre el qual es bobina fa $40\ \text{cm}$, quantes espires caldrà enrotllar en total?

Del fil A, que porta un corrent $I_A = 5\ \text{A}$, mesurem el camp a $10\ \text{cm}$ de distància; del fil B, que porta $I_B = 20\ \text{A}$, el mesurem a $40\ \text{cm}$.

1. a) Calcula tots dos camps amb $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
2. b) Explica, a partir de la dependència $B \propto \frac{I}{r}$, per què els dos resultats són iguals.

Un toroide de $N = 1000$ espires té un radi mitjà de $15\ \text{cm}$.

1. a) Aïlla el corrent de l'expressió $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcula quin corrent cal perquè el camp a l'interior valgui $B = 4\cdot10^{-3}\ \text{T}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

De quin radi hauria de ser una espira per la qual circula un corrent $I = 1\ \text{A}$ perquè el camp al seu centre iguali el camp magnètic terrestre, $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$?

1. a) Aïlla el radi de l'expressió $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot R}$.
2. b) Calcula el seu valor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$) i expressa'l en centímetres.

Dos conductors rectilinis i paral·lels, separats $20\ \text{cm}$, porten corrents del mateix sentit $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). El muntatge, en el pla perpendicular als fils, es mostra a la figura.

1. a) Calcula el mòdul del camp que crea cada fil en el punt mitjà del segment que els uneix.
2. b) Amb la regla de la mà dreta, determina el sentit de cadascun d'aquests camps en el punt mitjà i justifica que el camp total allà és nul.
3. c) Si els corrents fossin diferents, continuaria sent nul el camp en el punt mitjà? Raona la resposta.

Dos conductors rectilinis, molt llargs i paral·lels, perpendiculars al pla del paper i separats $20\ \text{cm}$, porten corrents de sentits oposats, $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). La situació es representa a la figura.

1. a) Determina amb la regla de la mà dreta el sentit del camp magnètic creat per cada fil al punt mitjà i comprova que, com que els corrents són oposats, allà se sumen.
2. b) Calcula el camp magnètic total al punt mitjà.
3. c) Calcula el camp magnètic total al punt $P$ de la línia que uneix els fils, situat fora del segment, a $10\ \text{cm}$ del fil 2 i a $30\ \text{cm}$ del fil 1, indicant si allà els camps se sumen o es resten.

Dos conductors rectilinis paral·lels, separats $d = 40\ \text{cm}$, porten corrents del mateix sentit $I_1 = 30\ \text{A}$ i $I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observa l'esquema:

1. a) Raona, amb la regla de la mà dreta, en quina zona (entre els fils o fora d'aquests) els camps de tots dos tenen sentits oposats.
2. b) Planteja la condició $B_1 = B_2$ per a un punt situat a una distància $x$ del primer fil, dins del segment que els uneix, i resol l'equació resultant.
3. c) Comprova la coherència del resultat: queda el punt més a prop del fil de menor corrent? Per què ha de ser així?

Un fil recte molt llarg, contingut en el pla d'una espira circular de radi $R = 10\ \text{cm}$, passa a $d = 5\ \text{cm}$ del seu centre. Pel fil circulen $I_1 = 10\ \text{A}$ i per l'espira $I_2 = 4\ \text{A}$, amb sentits triats de manera que els seus camps al centre de l'espira tinguin sentits oposats ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Calcula el mòdul del camp del fil al centre de l'espira.
2. b) Calcula el mòdul del camp de l'espira al seu centre.
3. c) Justifica per què tots dos camps són perpendiculars al pla de l'espira i calcula el camp total al centre.

Els imants d'un equip de ressonància magnètica (IRM) són solenoides pels quals circulen corrents intensos. Considera'n un amb $n = 2000\ \text{espires/m}$ i $I = 15\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$; camp magnètic terrestre $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$).

1. a) Calcula el camp a l'interior del solenoide.
2. b) Quantes vegades més gran és que el camp magnètic terrestre?
3. c) Els equips reals utilitzen bobines superconductores en lloc de bobines normals. Comenta quin avantatge aporta que el superconductor no ofereixi resistència elèctrica quan calen corrents grans i permanents.

Al laboratori es mesura el camp magnètic creat per un fil molt llarg a diverses distàncies, amb aquests resultats: a $r = 20\ \text{cm}$ s'obté $B = 2\cdot10^{-5}\ \text{T}$; a $r = 10\ \text{cm}$, $B = 4\cdot10^{-5}\ \text{T}$; a $r = 5\ \text{cm}$, $B = 8\cdot10^{-5}\ \text{T}$.

1. a) Representa al teu quadern $B$ enfront de $\frac{1}{r}$ i explica quin tipus de relació apareix.
2. b) El pendent de la recta anterior és $\frac{\mu_0\cdot I}{2\pi}$; estima'l a partir de les dades i dedueix el valor del corrent $I$ que recorre el fil ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Un toroide de $N = 600$ espires té un radi interior de $8\ \text{cm}$ i un radi exterior de $12\ \text{cm}$, i porta un corrent $I = 5\ \text{A}$. El camp al seu interior, a una distància $r$ de l'eix, és $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observa la secció del toroide a la figura.

1. a) Calcula el camp al costat de la vora interior ($r = 8\ \text{cm}$) i al costat de la vora exterior ($r = 12\ \text{cm}$).
2. b) Calcula el camp en el radi mitjà ($r = 10\ \text{cm}$) i comprova que queda entre els dos valors anteriors.
3. c) En vista dels resultats, és uniforme el camp dins d'un toroide? Per què s'utilitza llavors l'aproximació del radi mitjà?

Un solenoide llarg té en el seu centre interior un camp $B = 8\cdot10^{-3}\ \text{T}$.

1. a) Raona, imaginant el solenoide com la unió de dos solenoides semiinfinits, que el camp en el centre d'un dels seus extrems ha de ser aproximadament la meitat del camp interior. Quant val aquest camp a l'extrem?
2. b) Quant val aproximadament el camp en un punt exterior proper al punt mitjà del solenoide? Justifica-ho pensant en què passa amb les línies de camp en sortir.