Ejercicios: Campos de hilos, espiras, solenoides y toros

Por un cable vertical circula una corriente eléctrica ascendente.

1. a) Enuncia con tus palabras la regla de la mano derecha que relaciona el sentido de la corriente con el sentido de las líneas del campo magnético que crea.
2. b) Aplícala: visto desde arriba, ¿giran las líneas de campo en sentido horario o antihorario? Dibuja la situación en tu cuaderno.

Por un cable recto muy largo circula una corriente $I = 10\ \text{A}$. El campo magnético que crea a una distancia $r$ es $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$, con $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$. Calcula el campo a $r = 5\ \text{cm}$ del cable. Recuerda pasar la distancia a metros.

Una espira circular de radio $R = 10\ \text{cm}$ lleva una corriente $I = 2\ \text{A}$. El campo magnético en su centro es $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot R}$, con $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

1. a) Calcula su valor.
2. b) Expresa el resultado en notación científica, redondeado a dos cifras significativas.

El campo creado por un hilo recto muy largo es $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$. Sin hacer cálculos numéricos, razona con la fórmula:

1. a) ¿Qué le ocurre a $B$ si se duplica la corriente manteniendo la distancia?
2. b) ¿Y si se duplica la distancia manteniendo la corriente?
3. c) ¿Dónde es más intenso el campo, cerca o lejos del hilo? Relaciónalo con cómo se separan sus líneas de campo al alejarse.

Un solenoide tiene $n = 1000\ \text{espiras/m}$ y lleva una corriente $I = 0,5\ \text{A}$. El campo magnético en su interior es $B = \mu_0\cdot n\cdot I$, con $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$.

1. a) Calcula su valor.
2. b) Exprésalo en militeslas ($1\ \text{mT} = 10^{-3}\ \text{T}$).

Describe el campo magnético en el interior de un solenoide largo recorrido por una corriente:

1. a) ¿Cómo son las líneas de campo en la zona central del interior: curvas, paralelas o convergentes?
2. b) Al movernos por el interior, ¿el campo aumenta, disminuye o se mantiene prácticamente constante?
3. c) ¿Qué ocurre con el campo en el exterior, en comparación con el interior?

Por una espira circular colocada en horizontal circula una corriente en sentido antihorario, vista desde arriba. La espira, vista desde arriba, se representa en la figura.

1. a) Aplica la regla de la mano derecha e indica el sentido del campo magnético en el centro de la espira: ¿hacia arriba o hacia abajo?
2. b) Razona qué cara de la espira (la superior o la inferior) se comporta como polo norte.

Un toroide es una bobina arrollada en forma de anillo. El campo en su interior, a una distancia $r$ del eje, es $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$, donde $N$ es el número total de espiras. Un toroide de $N = 500$ espiras lleva una corriente $I = 2\ \text{A}$. Calcula el campo en los puntos a $r = 10\ \text{cm}$ del eje ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Una sonda de laboratorio mide el campo magnético a $r = 4\ \text{cm}$ de un cable recto muy largo y obtiene $B = 2\cdot10^{-4}\ \text{T}$.

1. a) Despeja la corriente de la expresión $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcula su valor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

El cable del pantógrafo de un tren eléctrico puede llevar corrientes de $I = 500\ \text{A}$.

1. a) Despeja la distancia $r$ de la fórmula del campo del hilo, $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcula a qué distancia del cable el campo que crea iguala al campo magnético terrestre, $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
3. c) Calcula el campo a $10\ \text{m}$ del cable y comenta si podría llegar a afectar a una brújula situada a esa distancia.

Una bobina plana de $N = 50$ espiras tiene un radio $R = 8\ \text{cm}$ y lleva una corriente $I = 0,3\ \text{A}$. El campo en su centro es $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\cdot R}$.

1. a) Calcula su valor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
2. b) ¿Cuántas veces mayor es que el campo de una única espira del mismo radio con la misma corriente? Razona la respuesta con la fórmula.

En el laboratorio se enrollan $N = 400$ espiras sobre un tubo de $L = 20\ \text{cm}$ de longitud y se hace circular una corriente $I = 1,5\ \text{A}$.

1. a) Calcula la densidad de espiras $n = \frac{N}{L}$, en espiras por metro.
2. b) Calcula el campo en el interior del solenoide, $B = \mu_0\cdot n\cdot I$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Se quiere construir un solenoide que genere en su interior un campo de $B = 2,5\cdot10^{-3}\ \text{T}$ con una corriente máxima de $I = 2\ \text{A}$.

1. a) Despeja la densidad de espiras $n$ de la expresión $B = \mu_0\cdot n\cdot I$.
2. b) Calcula cuántas espiras por metro se necesitan ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
3. c) Si el tubo sobre el que se bobina mide $40\ \text{cm}$, ¿cuántas espiras habrá que arrollar en total?

Del hilo A, que lleva una corriente $I_A = 5\ \text{A}$, medimos el campo a $10\ \text{cm}$ de distancia; del hilo B, que lleva $I_B = 20\ \text{A}$, lo medimos a $40\ \text{cm}$.

1. a) Calcula ambos campos con $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\pi\cdot r}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).
2. b) Explica, a partir de la dependencia $B \propto \frac{I}{r}$, por qué los dos resultados son iguales.

Un toroide de $N = 1000$ espiras tiene un radio medio de $15\ \text{cm}$.

1. a) Despeja la corriente de la expresión $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$.
2. b) Calcula qué corriente hace falta para que el campo en el interior valga $B = 4\cdot10^{-3}\ \text{T}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

¿De qué radio debería ser una espira por la que circula una corriente $I = 1\ \text{A}$ para que el campo en su centro iguale al campo magnético terrestre, $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$?

1. a) Despeja el radio de la expresión $B = \frac{\mu_0\cdot I}{2\cdot R}$.
2. b) Calcula su valor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$) y exprésalo en centímetros.

Dos conductores rectilíneos y paralelos, separados $20\ \text{cm}$, llevan corrientes del mismo sentido $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). El montaje, en el plano perpendicular a los hilos, se muestra en la figura.

1. a) Calcula el módulo del campo que crea cada hilo en el punto medio del segmento que los une.
2. b) Con la regla de la mano derecha, determina el sentido de cada uno de esos campos en el punto medio y justifica que el campo total allí es nulo.
3. c) Si las corrientes fueran distintas, ¿seguiría siendo nulo el campo en el punto medio? Razona la respuesta.

Los dos conductores del ejercicio anterior, separados $20\ \text{cm}$, llevan ahora corrientes de sentidos opuestos, $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). La situación se representa en la figura.

1. a) Determina con la regla de la mano derecha el sentido de cada campo en el punto medio y comprueba que ahora se suman.
2. b) Calcula el campo total en el punto medio.
3. c) Calcula el campo total en un punto de la línea que une los hilos, situado fuera del segmento, a $10\ \text{cm}$ de un hilo y a $30\ \text{cm}$ del otro, indicando si allí los campos se suman o se restan.

Dos conductores rectilíneos paralelos, separados $d = 40\ \text{cm}$, llevan corrientes del mismo sentido $I_1 = 30\ \text{A}$ e $I_2 = 10\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observa el esquema:

1. a) Razona, con la regla de la mano derecha, en qué zona (entre los hilos o fuera de ellos) los campos de ambos tienen sentidos opuestos.
2. b) Plantea la condición $B_1 = B_2$ para un punto situado a una distancia $x$ del primer hilo, dentro del segmento que los une, y resuelve la ecuación resultante.
3. c) Comprueba la coherencia del resultado: ¿queda el punto más cerca del hilo de menor corriente? ¿Por qué tiene que ser así?

Un hilo recto muy largo, contenido en el plano de una espira circular de radio $R = 10\ \text{cm}$, pasa a $d = 5\ \text{cm}$ de su centro. Por el hilo circulan $I_1 = 10\ \text{A}$ y por la espira $I_2 = 4\ \text{A}$, con sentidos elegidos de modo que sus campos en el centro de la espira tengan sentidos opuestos ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). La geometría del sistema se muestra en la figura.

1. a) Calcula el módulo del campo del hilo en el centro de la espira.
2. b) Calcula el módulo del campo de la espira en su centro.
3. c) Justifica por qué ambos campos son perpendiculares al plano de la espira y calcula el campo total en el centro.

Los imanes de un equipo de resonancia magnética (IRM) son solenoides por los que circulan corrientes intensas. Considera uno con $n = 2000\ \text{espiras/m}$ e $I = 15\ \text{A}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$; campo magnético terrestre $B_T \approx 5\cdot10^{-5}\ \text{T}$).

1. a) Calcula el campo en el interior del solenoide.
2. b) ¿Cuántas veces mayor es que el campo magnético terrestre?
3. c) Los equipos reales usan bobinas superconductoras en lugar de bobinas normales. Comenta qué ventaja aporta que el superconductor no ofrezca resistencia eléctrica cuando se necesitan corrientes grandes y permanentes.

En el laboratorio se mide el campo magnético creado por un hilo muy largo a varias distancias, con estos resultados: a $r = 20\ \text{cm}$ se obtiene $B = 2\cdot10^{-5}\ \text{T}$; a $r = 10\ \text{cm}$, $B = 4\cdot10^{-5}\ \text{T}$; a $r = 5\ \text{cm}$, $B = 8\cdot10^{-5}\ \text{T}$.

1. a) Representa en tu cuaderno $B$ frente a $\frac{1}{r}$ y explica qué tipo de relación aparece.
2. b) La pendiente de la recta anterior es $\frac{\mu_0\cdot I}{2\pi}$; estímala a partir de los datos y deduce el valor de la corriente $I$ que recorre el hilo ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

Un toroide de $N = 600$ espiras tiene un radio interior de $8\ \text{cm}$ y un radio exterior de $12\ \text{cm}$, y lleva una corriente $I = 5\ \text{A}$. El campo en su interior, a una distancia $r$ del eje, es $B = \frac{\mu_0\cdot N\cdot I}{2\pi\cdot r}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observa la sección del toroide en la figura.

1. a) Calcula el campo junto al borde interior ($r = 8\ \text{cm}$) y junto al borde exterior ($r = 12\ \text{cm}$).
2. b) Calcula el campo en el radio medio ($r = 10\ \text{cm}$) y comprueba que queda entre los dos valores anteriores.
3. c) A la vista de los resultados, ¿es uniforme el campo dentro de un toroide? ¿Por qué se usa entonces la aproximación del radio medio?

Un solenoide largo tiene en su centro interior un campo $B = 8\cdot10^{-3}\ \text{T}$.

1. a) Razona, imaginando el solenoide como la unión de dos solenoides semi-infinitos, que el campo en el centro de uno de sus extremos debe ser aproximadamente la mitad del campo interior. ¿Cuánto vale ese campo en el extremo?
2. b) ¿Cuánto vale aproximadamente el campo en un punto exterior próximo al punto medio del solenoide? Justifícalo pensando en qué ocurre con las líneas de campo al salir.