Exercicis: Efectes cinemàtics i dinàmics sobre objectes en el camp

Un astronauta de $70\ \text{kg}$ està sobre la superfície de la Lluna, on el camp gravitatori val $g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el seu pes a la Lluna.
2. b) Calcula el seu pes a la Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Quantes vegades menys pesa a la Lluna? Ha canviat la seva massa? Raona la diferència entre massa i pes.

El cim de l'Everest està a $8848\ \text{m}$ sobre el nivell del mar.

1. a) Calcula el camp gravitatori al cim aplicant $g = G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2}$ i suposant la Terra esfèrica ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Compara el resultat amb $9,8\ \text{m/s}^2$: gairebé no canvia. Explica a què es deu.

Un satèl·lit de $500\ \text{kg}$ orbita en una regió on el camp gravitatori terrestre val $g = 8,7\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula la força gravitatòria que la Terra exerceix sobre ell.
2. b) Indica la direcció i el sentit d'aquesta força.
3. c) Segons la llei d'acció i reacció, quina força exerceix el satèl·lit sobre la Terra?

Una persona està dreta sobre una bàscula dins d'un ascensor.

1. a) Amb l'ascensor en repòs, la bàscula marca $700\ \text{N}$: quant val el pes de la persona?
2. b) L'ascensor arrenca i accelera cap amunt: raona si la bàscula marcarà més, menys o el mateix, ajudant-te d'un dibuix de forces al teu quadern.
3. c) I si l'ascensor baixa frenant, és a dir, accelerant també cap amunt? Justifica la resposta.

Als vídeos de l'Estació Espacial Internacional els astronautes «suren». Tanmateix, als $400\ \text{km}$ d'alçada a què orbiten, el camp gravitatori terrestre val uns $8,7\ \text{m/s}^2$, gairebé com a la superfície.

1. a) Explica per què es diu que els astronautes i l'estació estan en «caiguda lliure» permanent al voltant de la Terra.
2. b) Raona per què, en aquestes condicions, el pes aparent dins de l'estació és nul encara que el pes real no ho sigui.

El vehicle explorador Perseverance, de $1025\ \text{kg}$, treballa sobre la superfície de Mart, on $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el seu pes a Mart.
2. b) Calcula quant pesava a la Terra abans del llançament ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Raona per què un vehicle així pot portar rodes i suspensions més lleugeres a Mart que a la Terra.

Una bàscula de precisió indica que el pes d'un instrument de laboratori és de $588\ \text{N}$ en un lloc on $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula la massa de l'instrument.
2. b) Si l'instrument es portés a la Lluna ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$), quina seria la seva massa? I el seu pes?
3. c) Explica quina magnitud no canvia en canviar de planeta i per què.

El telescopi espacial Hubble orbita a uns $540\ \text{km}$ d'alçada.

1. a) Fent servir l'expressió $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$, amb $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, calcula el camp gravitatori a aquesta alçada.
2. b) Expressa el resultat com a percentatge del valor a la superfície.

Una persona de $60\ \text{kg}$ es pesa amb una bàscula dins d'un ascensor ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) L'ascensor puja amb acceleració constant de $2,0\ \text{m/s}^2$: dibuixa les forces al teu quadern, aplica $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ i calcula el que marca la bàscula (la força normal).
2. b) Repeteix el càlcul quan l'ascensor baixa amb acceleració de $2,0\ \text{m/s}^2$.
3. c) En quin cas se sent la persona més pesant? Coincideix amb el que notes en els viatges en ascensor?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'Observatori del Teide està a $3718\ \text{m}$ d'altitud.

1. a) Calcula $g$ a aquesta alçada amb $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$ ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula la diferència amb el valor a nivell del mar.
3. c) Expressa-la en tant per cent i comenta si un instrument de mesura corrent l'apreciaria.

L'Estació Espacial Internacional orbita a $400\ \text{km}$ sobre la superfície terrestre.

1. a) Calcula el camp gravitatori terrestre a aquesta alçada ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula la força gravitatòria que la Terra exerceix sobre un astronauta de $75\ \text{kg}$ dins de l'estació.
3. c) Si la Terra estira d'ell amb aquesta força, per què l'astronauta sura dins de l'estació? Dóna una explicació detallada fent servir els conceptes de caiguda lliure i pes aparent.

Una persona de $70\ \text{kg}$ està dreta sobre una bàscula en un ascensor ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) El cable es trenca i l'ascensor cau amb acceleració $g$: calcula el que marca la bàscula i explica el resultat.
2. b) En una avaria menys greu, l'ascensor baixa amb una acceleració de $2,0\ \text{m/s}^2$: calcula la lectura de la bàscula.
3. c) Raona si seria possible que la bàscula marqués un valor negatiu durant un descens i quina condició s'hauria de complir.

Els avions de vols parabòlics s'empren per entrenar astronautes i assajar experiments mèdics en ingravidesa. L'esquema mostra un perfil de vol d'aquest tipus:

1. a) Explica com s'ha de moure l'avió durant la paràbola perquè els passatgers tinguin pes aparent nul: quant ha de valer la seva acceleració?
2. b) Quant val el pes aparent d'una investigadora de $65\ \text{kg}$ durant la fase d'ingravidesa? I el seu pes real ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) Per què creus que la medicina espacial utilitza aquests vols abans d'enviar els seus experiments a l'Estació Espacial?

Els satèl·lits del sistema GPS orbiten a una distància de $2,66\cdot10^{7}\ \text{m}$ del centre de la Terra.

1. a) Calcula el camp gravitatori terrestre en la seva òrbita ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) Calcula la força gravitatòria sobre un satèl·lit GPS de $1000\ \text{kg}$.
3. c) Compara aquesta força amb el pes del mateix satèl·lit a la superfície ($g = 9,81\ \text{m/s}^2$): quantes vegades és menor?

El mòdul de comandament de l'Apolo 11 va romandre en òrbita lunar a $110\ \text{km}$ d'altura mentre dos astronautes descendien a la superfície.

1. a) Calcula el camp gravitatori lunar en aquesta òrbita ($M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula la força gravitatòria sobre el mòdul, de $5500\ \text{kg}$.
3. c) Compara aquesta força amb el pes del mòdul a la Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

En metrologia, els patrons de massa s'han de pesar amb extrema precisió.

1. a) Calcula $g$ al cim del Mont Blanc ($4808\ \text{m}$) amb $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$ ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula la diferència de pes d'una massa patró de $1,000\ \text{kg}$ entre el cim i el nivell del mar.
3. c) A quants grams de massa equival aquesta diferència? Comenta per què els laboratoris de calibratge anoten l'altitud del lloc de mesura.

Una persona de $70\ \text{kg}$ viatja en un ascensor dreta sobre una bàscula ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El viatge de pujada té tres trams: arrencada amb acceleració de $1,5\ \text{m/s}^2$ cap amunt, tram central a velocitat constant i frenada final amb acceleració de $1,5\ \text{m/s}^2$ dirigida cap avall.

1. a) Calcula la lectura de la bàscula en cadascun dels tres trams.
2. b) Dibuixa al teu quadern la gràfica de la lectura en funció del temps i assenyala en quin tram la persona se sent més pesada i en quin més lleugera.
3. c) Què marcaria la bàscula durant tot el viatge si el cable es trenqués just en arrencar? Justifica-ho.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per a altures petites enfront del radi terrestre s'utilitza l'aproximació $g \approx g_0\cdot\left(1 - \frac{2\cdot h}{R_T}\right)$, que prové de $(1 + x)^{-2} \approx 1 - 2\cdot x$ quan $x \ll 1$.

1. a) Partint de $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$, justifica aquesta aproximació.
2. b) Aplica-la al cim de l'Everest ($h = 8848\ \text{m}$, $g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$) i compara amb el càlcul exacte.
3. c) Estima a partir de quina altura l'error de l'aproximació supera l'1 % (pista: el terme menyspreat és de l'ordre de $3\cdot x^2$) i decideix si l'aproximació serveix per a l'òrbita de l'Estació Espacial ($h = 400\ \text{km}$).

Un rellotge de pèndol es calibra a nivell del mar, on el seu període és $T_0 = 2,00\ \text{s}$ amb $g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, i es puja després al cim de l'Everest, on $g = 9,78\ \text{m/s}^2$. El període d'un pèndol simple és $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{L}{g}}$.

1. a) Sense canviar la longitud del pèndol, raona si el rellotge s'avança o s'endarrereix al cim.
2. b) Calcula el nou període.
3. c) Calcula quant s'endarrereix el rellotge en un dia sencer.

El mòdul d'ascens de l'Apolo 11, de $4700\ \text{kg}$, va enlairar-se de la superfície lunar ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula l'empenta mínima que va haver de donar el seu motor per elevar-se verticalment amb una acceleració de $2,0\ \text{m/s}^2$ (aplica $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ en la vertical).
2. b) Calcula l'empenta que caldria per fer la mateixa maniobra des de la superfície terrestre ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) En vista dels dos resultats, explica per què el mòdul lunar va poder enlairar-se amb un motor petit mentre que el coet Saturn V va necessitar una empenta de $3,4\cdot10^{7}\ \text{N}$.

En una torre de caiguda d'un parc d'atraccions, la cabina amb una passatgera de $60\ \text{kg}$ cau lliurement durant $2,0\ \text{s}$ i després frena amb acceleració constant fins a aturar-se ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quant val el pes aparent de la passatgera durant la caiguda lliure? Justifica-ho.
2. b) La frenada es fa amb una acceleració de mòdul $2\cdot g$ dirigida cap amunt: calcula el pes aparent en aquesta fase i compara'l amb el pes real.
3. c) Calcula la velocitat al final de la caiguda lliure i la distància recorreguda durant la frenada.

Una sonda surt de la Terra cap a l'espai profund.

1. a) Calcula a quina altura sobre la superfície el pes de la sonda és la meitat que en el llançament: planteja $G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2} = \frac{g_0}{2}$, observa que $G$ i $M_T$ se cancel·len i aïlla $h$ en funció de $R_T$ ($R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$).
2. b) A quina distància del centre de la Terra el pes seria la desena part?
3. c) Expressa tots dos resultats en radis terrestres i comenta què implica la rapidesa amb què decreix el camp sobre la validesa de prendre $g$ constant en els problemes de projectils.

A l'interior d'un planeta de densitat uniforme, el camp gravitatori creix linealment amb la distància al centre, de manera que a una profunditat $d$ val $g = g_0\cdot\left(1 - \frac{d}{R_T}\right)$. La gràfica mostra com varia $g$ amb la distància $r$ al centre:

1. a) Calcula $g$ a $3000\ \text{m}$ de profunditat, al fons d'una mina ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula el pes allí d'un ascensor de mina carregat, de $800\ \text{kg}$, i la diferència amb el seu pes a la superfície.
3. c) En pujar $3000\ \text{m}$ d'alçada, la variació relativa de $g$ és el doble que en baixar $3000\ \text{m}$: comprova-ho amb l'aproximació $g \approx g_0\cdot\left(1 - \frac{2\cdot h}{R_T}\right)$ i explica físicament per què en baixar l'efecte és menor (pensa en la massa que queda «per sobre»).

Un astronauta entrena salts verticals amb una velocitat inicial de $3,0\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula l'altura màxima que assoliria a la Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$) utilitzant $h = \frac{v_0^2}{2\cdot g}$.
2. b) Calcula l'altura màxima a la Lluna ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).
3. c) Calcula el temps total de vol (pujada i baixada) en tots dos llocs amb $t = \frac{2\cdot v_0}{g}$.
4. d) Raona, a partir de les dues fórmules, per què tant l'altura com el temps de vol es multipliquen pel mateix factor en canviar de planeta, i calcula aquest factor.

Repte del tema. Influeix la teva ubicació en el llançament de satèl·lits? Dissenya un informe tècnic avaluant la gravetat local i les seves conseqüències dinàmiques en tres fases:

1. Mesurament: Munta un pèndol simple a casa. Cronometra el temps de $10$ oscil·lacions per a quatre longituds diferents ($L$ entre $0,30\text{ m}$ i $0,90\text{ m}$, amb $\Delta L = \pm 0,002\text{ m}$). Tabula les teves mesures, representa gràficament $T^2$ enfront de $L$ i obtén mitjançant el pendent el valor experimental de $g \pm \Delta g$.

2. Càlcul vectorial: Consulta al web de l'Instituto Geográfico Nacional (IGN) el valor oficial de l'acceleració gravitatòria de la teva zona. Modelitza vectorialment el camp gravitatori net $\vec{g}_{\text{total}}$ en un punt a $400\text{ km}$ sobre la teva vertical, sumant les contribucions vectorials de la Terra i de la Lluna, suposant-la al teu zenit (Terra, punt i Lluna alineats sobre la mateixa vertical).

3. Efectes dinàmics i cinemàtics: Determina la velocitat orbital $v$ i el període que requeriria un satèl·lit en aquesta posició sota aquest camp superposat. Analitza com variaria la força centrípeta si fessis servir el teu valor experimental enfront de la dada de l'IGN, extrapolant tots dos valors de superfície a $400\text{ km}$ amb $g(r) = g_0\,(R_T/r)^2$.

Es valorarà:

• Rigor en el tractament experimental de dades, propagació d'incerteses i ajust gràfic.

• Precisió en el càlcul i superposició vectorial dels camps gravitatoris.

• Aplicació correcta dels conceptes dinàmics i cinemàtics del moviment orbital.

• Qualitat analítica i justificació crítica de les conclusions en l'informe.