Exercicis: Domini, simetria, talls i monotonia

Un grup d'estudiants de 2n de Batxillerat ha dissenyat una aplicació per organitzar esdeveniments. El benefici esperat, en euros, depèn del nombre d'usuaris registrats $x$ (en centenars) segons la funció:

$B(x) = x^2 - 10x + 8$

Es demana:

1. a) Determina el domini de la funció tenint en compte que $x$ representa una quantitat d'usuaris (no pot ser negativa).

1. b) Calcula els punts de tall de la gràfica amb els eixos de coordenades.

Estudia la simetria de les funcions següents, indicant en cada cas si són parells, senars o no presenten simetria:

1. $f(x) = x^4 - 5x^2 + 2$

2. $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

Estudia els intervals de creixement i decreixement (monotonia) de la funció polinòmica:

$f(x) = -x^2 + 8x - 12$

1. a) Indica les coordenades del vèrtex i especifica si es tracta d'un màxim o un mínim relatiu.

1. b) Determina els intervals de creixement i de decreixement de $f$.

Troba el domini de definició de cadascuna d'aquestes funcions, raonant la resposta:

• a) $f(x) = \sqrt{x - 3}$

• b) $g(x) = \ln(x + 2)$

• c) $h(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$

En Lucas ha de determinar el domini i els punts de tall amb els eixos de la funció $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$. A la seva llibreta escriu la següent resolució:

«Com que el numerador es descompon com a $(x - 2)(x + 2)$, simplifico la fracció dividint entre $(x - 2)$ i obtinc $f(x) = x + 2$. A partir d'aquí concloc:

1. El domini és $\mathbb{R}$, perquè una funció polinòmica de primer grau està definida per a qualsevol nombre real.

2. Amb l'eix $Y$, tallo a $(0, 2)$ en calcular $f(0)$. Amb l'eix $X$, resolc $x^2 - 4 = 0$, que dóna $x = 2$ i $x = -2$, per la qual cosa hi ha dos punts de tall: $(2, 0)$ i $(-2, 0)$.»

Identifica els dos errors conceptuals que ha comès en Lucas, explica amb precisió matemàtica per què el seu raonament és erroni i redacta la solució correcta de tots dos apartats (domini i punts de tall).

Considera la funció polinòmica $f(x) = -x^3 + 12x$.

1. a) Abans de calcular cap derivada ni resoldre equacions:

1. Observant els exponents dels seus termes, estima quina simetria presentarà la seva gràfica i quina conseqüència immediata té aquesta simetria sobre el punt de tall amb l'eix $Y$.

2. Raona quants punts de tall amb l'eix $X$ esperes trobar com a màxim.

3. Per a valors de $x$ positius i molt grans (per exemple, $x = 100$), estima el signe que tindrà $f(x)$ i què suggereix això sobre si la funció acabarà creixent o decreixent cap a la dreta.

1. b) Fes els càlculs analítics: demostra formalment la simetria comprovant $f(-x)$, troba tots els punts de tall amb els eixos i determina els intervals de creixement i decreixement mitjançant el signe de $f'(x)$.
2. c) Compara els resultats obtinguts amb les teves estimacions de l'apartat a) i argumenta si l'estimació prèvia ha estat encertada.

Sigui la funció $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.

• a) Determina el seu domini de definició.

• b) Troba els punts de tall amb els eixos.

• c) Estudia la seva simetria i, amb la informació anterior, esboça la seva gràfica. Quina figura coneguda forma?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El nombre de socis d'un club de lectura durant els seus primers anys s'ajusta a $N(t) = t^3 - 12t + 60$, amb $t$ en anys i $0 \leq t \leq 4$.

• a) Estudia en quins intervals de temps el club va guanyar i va perdre socis.

• b) Troba els extrems relatius i interpreta'ls en el context.

• c) Quin va ser el nombre mínim de socis en aquest període?

Segons els informes d'operació de Red Eléctrica de España, en una jornada primaveral serena la potència fotovoltaica peninsular $P(t)$, mesurada en gigawatts (GW), es pot aproximar entre les $06:00\text{ h}$ ($t = 6$) i les $20:00\text{ h}$ ($t = 20$) mitjançant la funció quadràtica:

$P(t) = -0,1 \cdot t^2 + 2,6 \cdot t - 12$.

1. a) Justifica quin és el domini contextual de la funció i comprova si en els extrems d'aquest tram horari la potència estimada té sentit físic.
2. b) Troba els punts de tall de $P(t)$ amb l'eix horitzontal d'abscisses i interpreta el seu significat respecte a la sortida i posta efectiva de la generació solar.
3. c) Utilitzant la primera derivada $P'(t)$, calcula a quina hora solar exacta es registra la màxima producció d'energia i determina quina és aquesta potència pic en GW.
4. d) Determina els intervals de temps en què la generació elèctrica és creixent i en què és decreixent. Justifica a més si la corba de generació presenta simetria respecte a la recta vertical $t = 13$ comprovant si es compleix $P(13 - h) = P(13 + h)$ per a qualsevol desfasament horari $h$.

Una consultora de màrqueting digital necessita dissenyar un model per a la taxa de conversió $f(x)$ d'un web en funció del temps de permanència $x$ (en minuts). El model respon a l'estructura racional $f(x) = \dfrac{a \cdot x}{x^2 + b}$.

Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè es compleixin simultàniament les tres condicions següents:

1. El domini de la funció és tot $\mathbb{R}$ (el denominador no s'anul·la per a cap valor real).

2. La corba passa pel punt $(2, 1)$.

3. La funció presenta un extrem relatiu a l'abscissa $x = 2$.

Un cop fixats els valors d'$a$ i $b$:

1. a) Demostra analíticament la simetria de la funció (parell, imparell o cap) i interpreta què reflecteix geomètricament sobre la gràfica.
2. b) Troba tots els punts de tall amb els eixos coordenats.
3. c) Mitjançant l'estudi del signe de la derivada $f'(x)$ al voltant de $x = 2$, justifica formalment si en aquest punt hi ha un màxim o un mínim relatiu.

Determina els valors del paràmetre $a$ per als quals el domini de la funció $f(x) = \frac{1}{x^2 + ax + 4}$ és tot $\mathbb{R}$. Raona la teva resposta fent servir el discriminant del denominador.

Raona si cada afirmació és vertadera o falsa:

• a) «Si $f$ és una funció senar definida a $x = 0$, necessàriament $f(0) = 0$».

• b) «Si una funció és parell, la seva gràfica no pot tallar l'eix $X$».

• c) «La suma de dues funcions senars és sempre una funció senar».

Dos estudiants de 2n de Batxillerat debaten sobre com estudiar el domini, la monotonia i els extrems relatius de la funció amb logaritme $f(x) = \ln(x^2 + 2x + 5)$:

• Mètode de la Marta: Calcular $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$, resoldre l'equació $f'(x) = 0$, situar les arrels a la recta real i avaluar el signe de la derivada en cada tram.

• Mètode d'en Sergi: Analitzar primer les propietats de la paràbola interna $u(x) = x^2 + 2x + 5$ (concavitat i coordenades del seu vèrtex) i utilitzar la propietat que la funció logaritme natural $y = \ln(u)$ és monòtona estrictament creixent en tot el seu domini $(0, +\infty)$ per traslladar el comportament d'$u(x)$ a $f(x)$ sense derivar el logaritme.

1. a) Compara raonadament tots dos mètodes: indica si tots dos exigeixen comprovar el domini de $f(x)$ prèviament, argumenta quina de les dues estratègies requereix menys esforç algebraic i quina presenta menys risc d'errors de signe o de derivació.
2. b) Aplica el mètode d'en Sergi (o el de la Marta, justificant la teva elecció) per a:

1. Determinar el domini de definició de $f(x)$.

2. Obtenir els intervals de creixement, decreixement i les coordenades exactes $(x, y)$ dels seus extrems relatius.

3. Raonar si la funció $f(x)$ té simetria parell o imparell respecte als eixos.

Una empresa de transport de mercaderies entre Madrid i Saragossa modelitza el cost de combustible i manteniment per viatge, $C(v)$ en euros, en funció de la velocitat mitjana $v$ (en $\text{km/h}$), mitjançant la funció:

$C(v) = \dfrac{k}{v} + c \cdot v$, definida per a $v > 0$.

1. a) Explica la diferència entre el domini matemàtic de $C(v)$ i el domini amb sentit físic i normatiu en una autovia espanyola (tenint en compte les velocitats mínimes i màximes legals: $60\text{ km/h}$ i $120\text{ km/h}$).
2. b) Les dades de telemetria indiquen que a una velocitat mitjana de $100\text{ km/h}$ el cost és exactament de $65$ euros per trajecte i que a aquesta velocitat el cost d'operació és mínim. Planteja un sistema i calcula els valors exactes de les constants $k$ i $c$.
3. c) A partir de la derivada primera $C'(v)$, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció en el domini legal $[60, 120]$.
4. d) Raona si té sentit estudiar la simetria parell o imparell de $C(v)$ tant des del punt de vista analític com des del context de la conducció.
5. e) A causa d'unes obres, la Direcció General de Trànsit limita provisionalment la velocitat màxima en tot el tram a $90\text{ km/h}$. Basant-te exclusivament en la monotonia que has deduït a l'apartat c), justifica si circular a la velocitat màxima permesa en obres encarirà o abaratirà el cost del trajecte respecte a l'òptim de $100\text{ km/h}$, sense necessitat de calcular el valor numèric de $C(90)$.