Exercicis: Taules de contingència

En un estudi sobre l'ús de xarxes socials en un institut, s'ha enquestat 100 estudiants de 2n de Batxillerat sobre la seva plataforma preferida. Les dades es recullen en la taula de contingència següent, tot i que alguns valors s'han esborrat:

Sabent que hi ha un total de 45 nois i 55 noies:

1. a) Completa els valors que falten a la taula.
2. b) Si triem un estudiant a l'atzar, quina és la probabilitat que la seva xarxa preferida sigui TikTok?
3. c) Quina és la probabilitat que sigui una noia que prefereix Instagram?

Una plataforma de streaming analitza les preferències dels seus usuaris segons la seva edat. Es selecciona una mostra aleatòria i s'obtenen els resultats següents:

Calcula les probabilitats següents quan es tria un usuari a l'atzar:

1. a) $P(\text{Sèries})$, és a dir, la probabilitat que prefereixi sèries.
2. b) $P(\text{Films} \cap \text{Menys de 25 anys})$.
3. c) $P(\text{Més de 25 anys} \cup \text{Films})$.

En un torneig de pàdel organitzat per l'ajuntament, hi participen 80 persones. Se sap que 32 són homes i la resta dones. Dels homes, 20 estan federats, mentre que de les dones només n'hi ha 12 de federades.

1. a) Organitza la informació en una taula de contingència.
2. b) Si seleccionem un participant a l'atzar, calcula la probabilitat que no estigui federat.
3. c) Quina és la probabilitat que el participant sigui dona sabent que està federada?

S'ha realitzat una enquesta sobre hàbits de transport per anar a la universitat. El $40\%$ dels estudiants són homes ($H$) i el $60\%$ són dones ($M$). El $25\%$ dels homes va en cotxe ($C$), mentre que el $15\%$ de les dones utilitza aquest transport.

1. a) Si considerem una mostra de 100 persones, construeix la taula de contingència amb els valors absoluts.
2. b) Calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar sigui dona i no utilitzi el cotxe.
3. c) Calcula la probabilitat que, sent home, no utilitzi el cotxe.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa la taula següent que classifica els empleats d'una empresa segons el seu departament i si han sol·licitat teletreball:

Calcula raonadament mitjançant la taula:

1. a) $P(T | V)$, la probabilitat que un empleat teletreballi si pertany al departament de Vendes.
2. b) $P(I | T)$, la probabilitat que un empleat sigui d'I+D sabent que ha sol·licitat teletreball.
3. c) Què és més probable: que un empleat de Vendes teletreballi o que un empleat d'I+D teletreballi?

En una acadèmia d'idiomes, els alumnes es divideixen per nivell (Bàsic o Avançat) i per idioma (Anglès o Alemany). La probabilitat que un alumne estigui en el nivell avançat és $0,4$. La probabilitat que estudiï anglès és $0,7$. Se sap que la probabilitat que un alumne estudiï alemany i estigui en el nivell bàsic és $0,2$.

1. a) Elabora una taula de contingència amb probabilitats (on el total sigui $1$).
2. b) Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar sigui del nivell avançat i anglès.
3. c) Si un alumne estudia anglès, quina és la probabilitat que sigui del nivell bàsic?

A un grup de 200 adolescents se li va preguntar si esmorzen cereals o fruita. Els resultats van ser: 120 esmorzen cereals, 100 esmorzen fruita i 40 esmorzen totes dues coses.

1. a) Completa la taula de contingència següent per organitzar les dades:

1. b) Quina és la probabilitat que un adolescent no esmorzi ni cereals ni fruita?
2. c) Sabent que un adolescent esmorza cereals, quina és la probabilitat que també esmorzi fruita?

Una botiga de roba esportiva classifica les seves vendes de sabatilles segons el tipus (Running o Trail) i el gènere (Home o Dona). En un dia van vendre 50 parells:

Calcula la probabilitat que en triar una venda a l'atzar:

1. a) Les sabatilles siguin de Trail.
2. b) Siguin d'una dona sabent que són de Running.
3. c) Siguin de Trail sabent que és una venda d'home.

En una campanya sobre seguretat vial en un institut, s'analitza el mode de desplaçament de $120$ estudiants de Batxillerat. Les dades indiquen que $40$ van en bicicleta (dels quals $28$ porten casc i $12$ no) i els $80$ restants van a peu o en transport públic (cap dels quals porta casc).\n\nPer calcular la probabilitat que un alumne porti casc sabent que es desplaça en bicicleta, en Mateo raona així:\n«Com que hi ha $28$ ciclistes amb casc sobre els $120$ estudiants enquestats, la probabilitat demanada és $P(\text{Casc}|\text{Bici}) = \frac{28}{120} \approx 0,233$, és a dir, tot just un $23,3\,\%$ dels ciclistes fa servir casc».\n\na) Localitza l'error conceptual d'en Mateo i explica què vol dir «condicionar» en una taula de contingència en termes de reducció de l'espai mostral.\nb) Corregeix el càlcul i troba el valor correcte de $P(\text{Casc}|\text{Bici})$.\nc) A quin succés probabilístic correspon realment la fracció $\frac{28}{120}$ que va calcular en Mateo? Escriu la seva notació formal.

Una auditoria de mobilitat avalua la puntualitat de $200$ trajectes de Rodalies Renfe en dues línies perifèriques, $C_1$ i $C_2$, obtenint la informació següent:\n- A la línia $C_1$ es van registrar $120$ viatges, dels quals $18$ van patir retard.\n- A la línia $C_2$ es van registrar $80$ viatges, dels quals $20$ van patir retard.\n\na) Abans de fer cap operació numèrica formal, estima raonadament a simple vista: quina de les dues línies et sembla percentualment més impuntual? Justifica la teva intuïció comparant mentalment la proporció de retards respecte al volum de viatges de cada línia.\nb) Trasllada totes les dades a una taula de contingència completa de $2 \times 2$ (Línies $C_1$ i $C_2$ en files; Puntual i Retard en columnes), calculant tots els totals marginals.\nc) Comprova formalment la teva estimació inicial calculant les probabilitats condicionades $P(\text{Retard}|C_1)$ i $P(\text{Retard}|C_2)$. Confirmen els resultats exactes la teva predicció qualitativa?

En un estudi sobre els hàbits de consum de continguts digitals entre $200$ adolescents, s'ha observat que $120$ estan subscrits a alguna plataforma de streaming. Dels que estan subscrits, $80$ prefereixen veure sèries enfront de pel·lícules. Entre els que no paguen subscripció, $30$ prefereixen les pel·lícules.

1. a) Organitza la informació anterior en una taula de contingència.
2. b) Si triem un adolescent a l'atzar, quina és la probabilitat que prefereixi veure sèries?
3. c) Sabent que l'adolescent triat prefereix les pel·lícules, quina és la probabilitat que no estigui subscrit a cap plataforma?

Una empresa de tecnologia analitza la relació entre l'ús d'un nou model d'auriculars sense fil i la satisfacció del client. Dels $500$ usuaris enquestats, $350$ van comprar el model "Pro" i la resta el model "Basic". Se sap que el succés $S$ (estar satisfet) i el succés $M$ (model Pro) són independents. Si la probabilitat d'estar satisfet és $P(S) = 0,8$:

1. a) Completa la taula de contingència amb els valors esperats de persones per a cada categoria.
2. b) Calcula la probabilitat que un usuari hagi comprat el model "Basic" i no estigui satisfet.
3. c) Què significa en aquest context que els successos siguin independents?

En un institut d'ensenyament secundari, el $60\%$ dels alumnes de 2n de Batxillerat són dones. Se sap que el $20\%$ de les dones participen en el club de debat, mentre que el $10\%$ dels homes també ho fan.

1. a) Construeix una taula de contingència de freqüències relatives (probabilitats).

1. b) Si seleccionem un alumne a l'atzar, quina és la probabilitat que pertanyi al club de debat?

1. c) Si l'alumne triat no pertany al club de debat, quina és la probabilitat que sigui home?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha realitzat una enquesta sobre la intenció de vot i la principal preocupació social (Medi Ambient, Economia o Salut) i s'ha obtingut la taula parcial de probabilitats següent:

1. a) Completa la taula de contingència.
2. b) Calcula la probabilitat que un votant del Partit A estigui preocupat per la Salut.
3. c) Són els successos "Votar al Partit B" i "Estar preocupat pel Medi Ambient" independents? Justifica la resposta matemàticament.

Un centre esportiu ofereix classes de Ioga, Pilates i Crossfit. La distribució dels $300$ socis segons l'activitat i el grup d'edat és la següent:

1. a) Si triem un soci a l'atzar, quina és la probabilitat que practiqui Ioga o sigui Jove?
2. b) Entre els socis Adults, quina activitat és la més probable?
3. c) Si es tria un practicant de Crossfit, quina és la probabilitat que sigui Jove?

S'analitza l'èxit d'una campanya publicitària a les xarxes socials. De les persones que van veure l'anunci, el $40\%$ ho va fer a Instagram i el $60\%$ a TikTok. Se sap que el $15\%$ dels que el van veure a Instagram van comprar el producte, mentre que a TikTok ho va fer el $10\%$.

1. a) Imagina un grup de $1000$ persones que han vist l'anunci i trasllada aquests percentatges a una taula de contingència (files: compra / no compra; columnes: Instagram / TikTok, amb els seus totals).

1. b) Calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar hagi comprat el producte.

1. c) Sabent que una persona ha comprat el producte, a quina xarxa social és més probable que hagi vist l'anunci?

En un estudi mèdic sobre l'eficàcia d'una vacuna, s'obtenen les dades següents d'una mostra de $1000$ pacients:

1. a) Completa la taula.
2. b) Calcula la probabilitat d'emmalaltir havent estat vacunat.
3. c) Calcula la probabilitat d'emmalaltir no havent estat vacunat.
4. d) A la vista dels resultats, consideres que la vacuna és eficaç? Justifica la teva resposta comparant les probabilitats condicionades.

Una plataforma de comerç electrònic classifica els seus clients en "Freqüents" i "Ocasionals", i les seves compres en "Electrònica" o "Moda". Se sap que el $30\%$ dels clients són Freqüents. De totes les compres realitzades, el $40\%$ són d'Electrònica. A més, el $10\%$ del total de clients són Freqüents que han comprat Moda.

1. a) Construeix la taula de contingència completa de probabilitats.
2. b) Quina és la probabilitat que un client freqüent compri Electrònica?
3. c) Sabent que un client ha comprat Electrònica, quina és la probabilitat que sigui un client Ocasional?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir d'una mostra representativa de $500$ joves d'entre $20$ i $24$ anys extreta de l'Enquesta de Població Activa (EPA) en una comarca, s'analitza la relació entre el nivell formatiu assolit i la seva situació laboral actual:\n- $300$ joves han completat un cicle de Formació Professional (FP), i d'aquests, $240$ estan ocupats.\n- En el conjunt total dels $500$ joves enquestats, hi ha exactament $140$ persones en situació d'atur.\n- La resta dels joves de la mostra té com a màxim el títol de Batxillerat.\n\na) Modela aquesta situació construint la taula de contingència completa de freqüències absolutes creuant les dues variables (Nivell d'estudis vs. Situació laboral) amb els seus totals marginals corresponents.\nb) Si se selecciona un jove de la mostra a l'atzar, calcula la probabilitat que estigui a l'atur sabent que només té Batxillerat, $P(\text{Aturat}|\text{Batxillerat})$, i compara-la amb $P(\text{Aturat}|\text{FP})$.\nc) Justifica matemàticament si en aquesta mostra el fet d'estar a l'atur és un esdeveniment independent d'haver cursat Formació Professional. Quina lectura socioeconòmica es dedueix del resultat?

En un centre de classificació logística bancària s'examinen $1000$ bitllets sospitosos mitjançant un escàner automàtic. Se sap que $40$ d'aquests són falsos i $960$ són de curs legal. L'escàner activa l'alarma en el $90\,\%$ dels bitllets falsos, però genera una falsa alarma en el $5\,\%$ dels bitllets legítims.\n\nEs vol calcular la probabilitat que un bitllet sigui realment fals si l'escàner ha fet sonar l'alarma: $P(\text{Fals}|\text{Alarma})$.\n\na) Dos estudiants discuteixen com resoldre-ho: la Lucía proposa aplicar la fórmula teòrica del Teorema de Bayes amb un arbre de probabilitats, mentre que el David prefereix abocar les freqüències absolutes en una taula de contingència de $2 \times 2$. Construeix la taula de contingència amb els valors que proposa el David.\nb) A partir de la taula obtinguda, calcula directament la probabilitat condicionada $P(\text{Fals}|\text{Alarma})$.\nc) Tria i justifica quin dels dos mètodes (arbre amb fórmules o taula de contingència) permet visualitzar millor l'impacte de les falses alarmes sobre el total d'avisos. Explica per què el resultat obtingut sol resultar sorprenentment baix a primera vista.

Un departament de ciberseguretat analitza el tràfic de correu electrònic d'una gran empresa tecnològica. Es sap que el $12\%$ dels correus que entren al servidor són intents de phishing (frau). El sistema de filtratge intel·ligent etiqueta els correus com a "Sospitosos" o "Segurs".

El sistema és capaç de detectar correctament el $95\%$ dels correus de phishing. Tanmateix, per un excés de zel, el $3\%$ dels correus legítims són etiquetats erròniament com a "Sospitosos".

1. a) Organitza la informació en una taula de contingència utilitzant una mostra teòrica de $10\,000$ correus.

1. b) Si un empleat rep un correu etiquetat com a "Sospitós", quina és la probabilitat que realment sigui un correu legítim?

1. c) Són els successos "Correu de Phishing" i "Etiquetat com a Sospitós" successos independents? Justifica la teva resposta mitjançant el càlcul de probabilitats.

En un estudi sobre els hàbits de consum de contingut en streaming de joves d'entre 18 i 22 anys, s'han obtingut les dades següents:

• El $65\%$ dels joves està subscrit a Netflix ($N$).

• El $40\%$ està subscrit a Disney+ ($D$).

• La probabilitat que un jove no estigui subscrit a cap de les dues plataformes és de $0,25$.

1. a) Elabora una taula de contingència expressant els valors en termes de probabilitat.

1. b) Es tria un jove a l'atzar que resulta estar subscrit a Netflix. Calcula la probabilitat que també ho estigui a Disney+.

1. c) Determina si tenir una subscripció a Netflix és independent de tenir una subscripció a Disney+.

Una plataforma de venda de roba de segona mà analitza el comportament dels seus usuaris. El $60\%$ dels usuaris són "Compradors Recorrents" ($C$), mentre que la resta són "Compradors Esporàdics".

S'observa que el $70\%$ dels compradors recorrents utilitza l'aplicació mòbil per a les seves transaccions, mentre que només el $30\%$ dels compradors esporàdics la utilitza (preferint el web).

1. a) Si seleccionem un usuari a l'atzar, quina és la probabilitat que utilitzi el web per realitzar les seves compres?

1. b) Si sabem que un usuari ha realitzat una compra a través del web, quina és la probabilitat que sigui un comprador recorrent?

1. c) Representa la situació mitjançant una taula de contingència per a una població de $500$ usuaris.

Un centre de formació professional ofereix dos cicles de grau superior: Desenvolupament d'Aplicacions Web ($DAW$) i Màrqueting i Publicitat ($MK$). El $55\%$ de l'alumnat està matriculat en $DAW$.

S'ha detectat que el $20\%$ dels alumnes de $DAW$ i el $15\%$ dels de $MK$ abandonen els estudis abans de finalitzar el primer any.

1. a) Construeix la taula de contingència associada a aquest centre educatiu.

1. b) Si triem un alumne a l'atzar d'entre els que han abandonat el cicle, quina és la probabilitat que estigués matriculat en Màrqueting i Publicitat?

1. c) És l'abandonament dels estudis independent del cicle en què l'alumne es matricula? Raona la resposta comparant $P(Abandono)$ amb $P(Abandono | DAW)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una enquesta realitzada en un festival de música sobre la preferència de gènere musical i l'edat, s'han obtingut les dades següents d'una mostra de $200$ assistents:

Sabent que el nombre total d'amants del Pop és $65$ i que els menors de 25 anys representen el $45\%$ del total de la mostra:

1. a) Completa la taula de contingència amb els valors absoluts.

1. b) Calcula la probabilitat que un assistent triat a l'atzar tingui més de 25 anys i li agradi l'Indie.

1. c) Si a un assistent li agrada el Rock, quina és la probabilitat que tingui menys de 25 anys?

Una plataforma de pagaments amb el mòbil utilitza un sistema automàtic de detecció de frau. Les dades del sistema indiquen que detecta correctament el $98\%$ de les operacions realment fraudulentes ($F$). D'altra banda, genera una "falsa alarma" (marca com a sospitosa una operació legítima, $L$) en el $4\%$ dels casos. A la plataforma s'estima que el $5\%$ de les operacions són fraudulentes.

1. a) Crea una taula de contingència per a una mostra de $10\,000$ operacions.

1. b) Si una operació ha estat marcada com a sospitosa, quina és la probabilitat real que sigui fraudulenta? Comenta el resultat obtingut en relació amb la fiabilitat del sistema.

1. c) Si el sistema no marca una operació, quina és la probabilitat que sigui realment legítima?

Un gimnàs ofereix dos tipus d'activitats: Musculació ($M$) i Classes Col·lectives ($C$). El $40\%$ dels socis són dones. Es sap que el $70\%$ de les dones opta per classes col·lectives, mentre que el $80\%$ dels homes prefereix musculació.

1. a) Si triem un soci a l'atzar, quina és la probabilitat que prefereixi musculació?

1. b) Si seleccionem un soci que prefereix classes col·lectives, quina és la probabilitat que sigui home?

1. c) Determina si el sexe del soci i la preferència per musculació són successos independents. Explica el teu raonament matemàtic.

En un estudi sobre l'ús de vehicles elèctrics ($E$) i vehicles de combustió ($C$) en una ciutat, s'analitzen $1\,200$ conductors. El $25\%$ dels conductors té un vehicle elèctric. Dels conductors de vehicles elèctrics, el $60\%$ viu en habitatges unifamiliars ($U$), mentre que entre els conductors de vehicles de combustió, aquest percentatge baixa al $20\%$.

1. a) Calcula la probabilitat que un conductor triat a l'atzar visqui en un habitatge unifamiliar.

1. b) Si un conductor viu en un habitatge unifamiliar, quina és la probabilitat que sigui propietari d'un vehicle elèctric?

1. c) Són els successos "Tenir un vehicle elèctric" i "Viure en un habitatge unifamiliar" independents? Demostra-ho comparant les probabilitats pertinents.

En un assaig clínic amb $400$ pacients que pateixen migranya crònica, s'avalua un nou fàrmac enfront d'un placebo. La mostra es reparteix en $240$ pacients que reben el fàrmac i $160$ que reben placebo. En finalitzar l'assaig, es constata que exactament $240$ del total de $400$ pacients van experimentar una millora notable. Denotem per $x$ el nombre de pacients del grup placebo que van experimentar millora.\n\na) Modela la taula de contingència en funció del paràmetre $x$ i determina quin valor exacte ha de prendre $x$ perquè la millora del pacient sigui estadísticament independent del tractament rebut.\nb) Suposem que, després d'obrir el protocol cec, les dades reals revelen que $x = 40$. Calcula les probabilitats condicionades de millora en cada grup, $P(\text{Millora}|\text{Fàrmac})$ i $P(\text{Millora}|\text{Placebo})$, i demostra si el fàrmac resulta o no eficaç respecte al placebo.\nc) Problema invers: Mantenint fixos els totals marginals de la taula ($240$ amb fàrmac, $160$ amb placebo i $240$ millorats en total), determina l'interval complet de valors enters que pot prendre $x$ perquè puguem afirmar amb rigor estadístic que el fàrmac és estrictament més eficaç que el placebo. Justifica els valors límit analitzant les restriccions naturals de no-negativitat de les cel·les.

En un campionat amb $2000$ esportistes federats, el comitè antidopatge estima que el $2\,\%$ consumeix una substància prohibida. Per detectar-la s'utilitza un test amb una sensibilitat del $95\,\%$ (probabilitat de donar positiu si l'esportista està dopat) i una taxa de falsos positius del $5\,\%$ (probabilitat de donar positiu si l'esportista està net).\n\nUn atleta dona positiu en el control. L'endemà, un diari esportiu publica el titular: «El test té un $95\,\%$ de fiabilitat, per la qual cosa la probabilitat que l'atleta sancionat sigui culpable és del $95\,\%$. L'advocat defensor, en canvi, afirma davant del tribunal que «amb aquestes mateixes dades, la probabilitat que el seu client sigui innocent malgrat el positiu supera el $70\,\%$».\n\na) Construeix la taula de contingència completa de freqüències absolutes per als $2000$ atletes (Dopat / Net enfront de Test Positiu / Test Negatiu).\nb) Identifica l'error probabilístic comès pel diari (conegut com a fal·làcia del condicional transposat). Quines dues probabilitats condicionades ha confós el periodista?\nc) Calcula amb la taula $P(\text{Dopat}|\text{Positiu})$ i $P(\text{Net}|\text{Positiu})$. Determina amb rigor matemàtic qui tenia raó (el periodista o l'advocat) i reflexiona críticament sobre el risc ètic d'aplicar proves diagnòstiques amb falsos positius quan la prevalença del succés en la població és molt baixa.