Exercicis: Probabilitat total

En una prestatgeria d'una habitació juvenil hi ha dues caixes de videojocs. La Caixa A conté 3 jocs d'acció i 2 d'estratègia. La Caixa B conté 2 jocs d'acció i 4 d'estratègia. Si triem una caixa a l'atzar llençant una moneda i extraiem un joc sense mirar, calcula la probabilitat que el videojoc triat sigui d'acció.

Un estudiant de 2n de Batxillerat utilitza dues aplicacions per repassar matemàtiques: App Alpha i App Beta. El $60 \%$ de les vegades utilitza Alpha i la resta del temps utilitza Beta. La probabilitat que trobi un exercici resolt correctament a Alpha és de $0,9$, mentre que a Beta és de $0,7$. Si l'estudiant obre una aplicació a l'atzar i selecciona un exercici, quina és la probabilitat que l'exercici estigui correctament resolt?

Per anar a l'institut, un alumne pot anar en autobús o caminant. El $70 \%$ dels dies utilitza l'autobús i el $30 \%$ hi va a peu. Quan va en autobús, arriba tard el $5 \%$ de les vegades, mentre que si va caminant, arriba tard només el $2 \%$ dels dies. Calcula la probabilitat que un dia qualsevol l'alumne arribi tard a classe.

Una botiga de roba esportiva rep les seves sabatilles de dues fàbriques. La Fàbrica 1 aporta el $40 \%$ de la mercaderia i la Fàbrica 2 el $60 \%$ restant. Se sap que l'$1 \%$ de les sabatilles de la Fàbrica 1 tenen algun defecte de costura, mentre que a la Fàbrica 2 aquest percentatge és del $3 \%$. Al diagrama d'arbre es resumeixen les dades de l'enunciat.

Si es tria un parell de sabatilles a l'atzar del magatzem, quina és la probabilitat que siguin defectuoses?

En un club de tennis, el $20 \%$ dels socis són professionals i el $80 \%$ són aficionats. En un torneig intern, la probabilitat que un professional guanyi el seu primer partit és de $0,95$, mentre que per a un aficionat és de $0,40$. Si triem un soci a l'atzar per observar el seu debut, quina és la probabilitat que guanyi el seu primer partit?

Un creador de contingut penja vídeos a dues plataformes: YouTube i Instagram. El $40 \%$ dels seus vídeos es publiquen a YouTube i el $60 \%$ a Instagram. La probabilitat que un vídeo de YouTube superi les 10.000 visualitzacions és de $0,8$, mentre que a Instagram és de $0,3$. En triar un vídeo a l'atzar del seu historial, calcula la probabilitat que tingui més de 10.000 visualitzacions.

En un centre de reciclatge, els residus arriben barrejats en dos camions. El Camió A porta el $55 \%$ dels residus i el Camió B el $45 \%$. Al Camió A, el $90 \%$ dels materials són reciclables, mentre que al Camió B només el $75 \%$ ho són. Si s'extreu una peça de residu a l'atzar del total rebut, quina és la probabilitat que sigui un material reciclable?

Segons les estadístiques d'una cafeteria propera a un campus universitari, el $50 \%$ dels clients demana cafè, el $30 \%$ demana te i el $20 \%$ demana suc. La probabilitat que un client que demana cafè el vulgui amb llet és de $0,8$; per al te és de $0,2$ i per al suc és de $0$. Si seleccionem un client a l'atzar, quina és la probabilitat que la seva beguda porti llet?

En un taller de confecció tèxtil s'utilitzen dues màquines de cosir, $M_1$ i $M_2$. La màquina $M_1$ realitza el $70\,\%$ de la producció i té una taxa de peces defectuoses del $2\,\%$, mentre que la màquina $M_2$ fa el $30\,\%$ restant amb un $5\,\%$ de peces defectuoses. Per calcular la probabilitat que una peça triada a l'atzar sigui defectuosa ($D$), la Lucía ha escrit al seu examen:

1. a) Explica raonadament per què el plantejament de la Lucía és conceptualment erroni i quin absurd matemàtic passaria seguint la seva lògica si totes dues màquines tinguessin, per exemple, una taxa de peces defectuoses del $60\,\%$.
2. b) Corregeix la seva resolució aplicant formalment el teorema de la probabilitat total i calcula la probabilitat real que una peça agafada a l'atzar sigui defectuosa.

En una gran ciutat, el $80\,\%$ dels desplaçaments diaris en transport públic es fan en metro i el $20\,\%$ en autobús. Per inspeccions passades de l'autoritat de transports, se sap que viatja sense bitllet vàlid l'$1\,\%$ dels usuaris del metro i el $6\,\%$ dels usuaris de l'autobús.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, fes una estimació raonada: indica entre quins dos valors percentuals s'ha de situar necessàriament la probabilitat global que un viatger triat a l'atzar no porti bitllet i explica per què aquesta probabilitat estarà notablement més propera a l'$1\,\%$ que al $6\,\%$.
2. b) Aplica el teorema de la probabilitat total per obtenir el valor numèric exacte d'aquesta probabilitat i comprova formalment si valida la teva estimació prèvia.

En una plataforma de streaming, el contingut es divideix en tres gèneres: Acció (45%), Comèdia (35%) i Documentals (20%). Se sap que la probabilitat que un usuari acabi de veure una pel·lícula sencera si és d'Acció és de $0,7$; si és de Comèdia és de $0,85$, i si és un Documental és de $0,5$. Triada una pel·lícula a l'atzar de la plataforma, calcula la probabilitat que un usuari la vegi fins al final.

Un institut ofereix tres activitats extraescolars: Robòtica, Teatre i Bàsquet. El $25\ \%$ dels alumnes està a Robòtica, el $30\ \%$ a Teatre i la resta a Bàsquet. El percentatge d'alumnes que aproven totes les assignatures és del $80\ \%$ entre els de Robòtica, el $90\ \%$ entre els de Teatre i el $70\ \%$ entre els de Bàsquet. Si seleccionem un alumne a l'atzar, quina és la probabilitat que hagi aprovat totes les assignatures?

Una empresa de missatgeria utilitza tres rutes per repartir paquets en una ciutat. Per la ruta A circula el $50\ \%$ dels enviaments, per la ruta B el $30\ \%$ i per la ruta C el $20\ \%$ restant. A causa del trànsit, la probabilitat que un paquet pateixi un retard és de $0,05$ a la ruta A, $0,12$ a la ruta B i $0,15$ a la ruta C. Calcula la probabilitat que un paquet triat a l'atzar arribi amb retard a la seva destinació.

Tenim dues urnes amb samarretes d'una marca de roba urbana. L'Urna 1 conté 6 samarretes blanques i 4 de negres. L'Urna 2 conté 3 samarretes blanques i 7 de negres. Llancem un dau equilibrat: si surt un nombre menor que 3, extraiem una samarreta de l'Urna 1; en cas contrari, l'extraiem de l'Urna 2. Troba la probabilitat que la samarreta extreta sigui blanca.

En una botiga de tecnologia, el $60\ \%$ dels telèfons intel·ligents venuts són de la marca X, el $30\ \%$ de la marca Y i el $10\ \%$ de la marca Z. S'estima que el $2\ \%$ dels telèfons de la marca X fallen abans del primer any, mentre que per a la marca Y la fallida és del $5\ \%$ i per a la marca Z del $8\ \%$. Calcula la probabilitat que un telèfon intel·ligent comprat en aquesta botiga no presenti cap fallida durant el primer any.

Un estudi sobre hàbits de son en adolescents revela que el $40\ \%$ dorm menys de 7 hores, el $50\ \%$ entre 7 i 9 hores, i el $10\ \%$ més de 9 hores. La probabilitat de tenir dificultats de concentració durant el dia és de $0,8$ per als que dormen menys de 7 hores, $0,2$ per al grup intermedi i $0,1$ per als que dormen més de 9 hores. Al diagrama es resumeixen aquestes dades. Determina la probabilitat que un adolescent triat a l'atzar tingui dificultats de concentració.

Es disposa de tres màquines, $M_1, M_2$ i $M_3$, que fabriquen peces per a patinets elèctrics. $M_1$ produeix el $45\ \%$ de les peces, $M_2$ el $30\ \%$ i $M_3$ el $25\ \%$. Els percentatges de peces defectuoses produïdes per cada màquina són, respectivament, del $3\ \%$, $4\ \%$ i $5\ \%$. Si es barregen totes les peces en un magatzem, calcula la probabilitat que una peça triada a l'atzar sigui defectuosa.

En un festival de música, el $70\ \%$ dels assistents són locals i el $30\ \%$ són turistes. Es sap que el $20\ \%$ dels locals compra merxandatge de l'esdeveniment, mentre que entre els turistes aquest percentatge puja al $60\ \%$. Si seleccionem una persona del festival a l'atzar, quina és la probabilitat que no compri merxandatge?

En una autoescola, l'alumnat que es presenta a l'examen pràctic de conduir es divideix en tres grups segons la seva preparació: grup $A$ (més de 30 classes pràctiques, el $50\,\%$ del total), grup $B$ (entre 15 i 30 classes, el $35\,\%$) i grup $C$ (menys de 15 classes, la resta). La probabilitat d'aprovar l'examen a la primera és del $80\,\%$ per als del grup $A$, del $60\,\%$ per als del grup $B$ i de només el $20\,\%$ per als del grup $C$. Volem conèixer la probabilitat que un alumne triat a l'atzar suspengui l'examen.

1. a) Planteja i compara dues estratègies per calcular aquesta probabilitat:

• Estratègia 1: Calcular directament la probabilitat de suspendre sumant els productes de les branques de suspensos: $P(S) = \sum_{i} P(G_i)\cdot P(S|G_i)$.

• Estratègia 2: Calcular la probabilitat total d'aprovar, $P(\text{Aprovat})$, i trobar el resultat mitjançant l'esdeveniment complementari: $P(S) = 1 - P(\text{Aprovat})$.

Justifica quina de les dues estratègies requereix menys operacions aritmètiques quan les dades de l'enunciat vénen donades en termes d'aprovats i enuncia quines condicions ha de complir la terna $\{A, B, C\}$ per constituir un sistema complet d'esdeveniments.

1. b) Aplica l'estratègia triada i calcula la probabilitat que un alumne seleccionat a l'atzar no aprovi a la primera.

A partir dels informes de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre el perfil dels turistes que pernocten en una comarca costanera mediterrània, es determina que el $50\,\%$ procedeix d'altres comunitats d'Espanya (turisme nacional), el $35\,\%$ procedeix d'altres països de la Unió Europea i el $15\,\%$ restant procedeix de fora de la Unió Europea (extracomunitari). Els estudis de consum assenyalen que la probabilitat que un turista realitzi una despesa diària superior a $150$ euros és de $0,20$ si és nacional, de $0,55$ si procedeix de la Unió Europea i de $0,80$ si és extracomunitari.

1. a) Defineix amb precisió els esdeveniments involucrats, justifica per què els orígens formen un sistema complet i modelitza la situació aplicant el teorema de la probabilitat total per determinar la probabilitat que un visitant triat a l'atzar gasti més de $150$ euros al dia.
2. b) El pla de dinamització comercial del municipi té fixat com a meta que almenys el $40\,\%$ dels turistes superi aquest llindar de despesa de $150$ euros diaris. Conclou de manera justificada si amb la distribució d'orígens actual s'assoleix aquest objectiu i explica quin impacte tindria sobre la probabilitat global de despesa que un $10\,\%$ del total de visitants passi de ser turisme nacional a turisme extracomunitari.

En un laboratori de biotecnologia s'estan estudiant tres soques bacterianes diferents: $A$, $B$ i $C$. Se sap que el $40\,\%$ de les mostres contenen la soca $A$, el $35\,\%$ la soca $B$ i la resta la soca $C$. La probabilitat que un antibiòtic específic elimini el bacteri és de $0,8$ per a la soca $A$ i de $0,5$ per a la soca $B$. Si se sap que la probabilitat total que l'antibiòtic elimini un bacteri triat a l'atzar és del $62\,\%$, calcula raonadament la probabilitat que l'antibiòtic sigui eficaç contra la soca $C$.

Un algorisme d'una xarxa social classifica els vídeos en tres categories segons el seu contingut: "Gaming" ($G$), "Música" ($M$) i "Humor" ($H$). El $50\,\%$ dels vídeos són de Gaming, el $30\,\%$ de Música i el $20\,\%$ d'Humor. La probabilitat que un usuari aturi el "scroll" i vegi un vídeo sencer és de $0,3$ si és de Gaming i de $0,6$ si és de Música. S'ha observat que els vídeos d'Humor són especialment virals, i dupliquen la probabilitat de ser vistos enters respecte als de Gaming. Calcula la probabilitat que un usuari triat a l'atzar vegi un vídeo sencer, independentment de la seva categoria.

Tenim dues urnes amb composicions diferents. L'Urna 1 conté 4 boles vermelles i 6 de blaves. L'Urna 2 conté 7 boles vermelles i 3 de blaves. Es llença un dau equilibrat: si surt un nombre primer, s'extreu una bola de l'Urna 1 i s'introdueix a l'Urna 2, per després extreure una bola definitiva d'aquesta segona urna. Si surt un nombre no primer, s'extreu una bola de l'Urna 2 i s'introdueix a l'Urna 1, per després extreure la bola definitiva de l'Urna 1. Calcula la probabilitat que la bola extreta al final de tot el procés sigui de color vermell.

En una fàbrica de components per a telèfons intel·ligents, el $5\,\%$ de les pantalles produïdes al matí són defectuoses, mentre que a la tarda el percentatge de defectes puja al $8\,\%$. El volum de producció és constant durant tota la jornada, però a causa d'una fallada en el sistema d'emmagatzematge, es barregen els lots de tres dies consecutius. El tercer dia, una màquina nova va millorar el rendiment, fent que només el $2\,\%$ de les pantalles d'aquell dia fossin defectuoses. Si es tria una pantalla a l'atzar del magatzem (que conté la producció total dels tres dies), calcula la probabilitat que la pantalla no sigui defectuosa.

Un estudiant de 2n de Batxillerat es presenta a un examen d'opció múltiple. Per a cada pregunta, l'estudiant o bé coneix la resposta, o bé la desconeix i en tria una a l'atzar entre les 4 opcions possibles. S'estima que l'estudiant coneix la resposta del $70\,\%$ de les preguntes del temari. Tanmateix, l'examen està mal dissenyat i el $10\,\%$ de les preguntes que l'estudiant "coneix" tenen una redacció ambígua que li fa fallar tot i saber el concepte. Calcula la probabilitat que l'estudiant encerti una pregunta triada a l'atzar.

Una empresa de logística utilitza tres rutes per repartir paquets en una gran ciutat: Nord ($R_1$), Centre ($R_2$) i Sud ($R_3$). El $30\,\%$ dels enviaments van per $R_1$, el $50\,\%$ per $R_2$ i el $20\,\%$ per $R_3$. Els retards són habituals a causa del trànsit: a $R_1$ hi ha retard el $15\,\%$ de les vegades i a $R_3$ el $25\,\%$. Se sap que la probabilitat que un paquet arribi a temps és de $0,82$. Determina el percentatge de paquets que pateixen retards quan circulen per la ruta del Centre ($R_2$).

En un torneig d'e-sports, un jugador professional s'ha d'enfrontar a tres nivells de dificultat: Fàcil, Normal i Llegenda. Al principi, se li assigna un nivell a l'atzar mitjançant un sorteig on el nivell Fàcil té probabilitat $p$, el Normal $2p$ i el Llegenda $0,1$. Si el jugador supera el nivell assignat, guanya el torneig. Les probabilitats de guanyar són $0,9$ en Fàcil, $0,6$ en Normal i $0,2$ en Llegenda.

1. a) Troba el valor de $p$ perquè la distribució de nivells sigui una llei de probabilitat vàlida.
2. b) Calcula la probabilitat que el jugador guanyi el torneig.

Es disposa d'una baralla espanyola de 40 cartes i un dau de sis cares. S'extreu una carta de la baralla. Si és una figura, es llença el dau una vegada. Si la carta no és una figura, es llença el dau dues vegades i se suma la puntuació.

1. a) Calcula la probabilitat que la suma de les puntuacions obtingudes sigui igual a 6.
2. b) Quina és la probabilitat que s'obtingui almenys un 5 en el total de llançaments realitzats (ja sigui un o dos llançaments)?

El departament de control de riscos d'una entitat bancària classifica les sol·licituds d'hipoteca en tres perfils de solvència: Favorable ($N_1$), Intermedi ($N_2$) i Desfavorable ($N_3$). En la seva cartera actual, el $55\,\%$ de les sol·licituds corresponen a $N_1$ i el $30\,\%$ a $N_2$. A partir de dades històriques, s'estima que la probabilitat d'incórrer en mora (impagament) és de $0,01$ per a $N_1$ i de $0,05$ per a $N_2$.

1. a) El supervisor bancari imposa que la probabilitat global d'impagament de la cartera no depassi el $3\,\%$. Determina algebraicament el valor màxim que pot tenir la probabilitat condicionada d'impagament del grup Desfavorable, $P(\text{Mora}|N_3)$, perquè el banc compleixi la normativa sense haver de rebutjar o alterar les proporcions actuals de clients de cada grup.
2. b) Suposa que, després d'un deteriorament econòmic general, la probabilitat d'impagament del perfil Desfavorable ascendeix de forma sobrevinguda a $0,12$. Per mantenir la taxa global d'impagament exactament en el $3\,\%$, el banc decideix reestructurar la cartera modificant la quota de sol·licituds acceptades de $N_1$ i de $N_3$, però mantenint inalterada la quota del grup Intermedi $N_2$ en el $30\,\%$. Planteja l'equació del teorema de la probabilitat total en funció de la nova proporció $p$ de clients de tipus $N_1$ i aïlla de forma raonada quin percentatge mínim de sol·licituds favorables ha de captar l'entitat.

Una almàssera de Jaén classifica l'oliva que entra a les seves instal·lacions en dues categories: Recol·lecció Primerenca ($T$) i Recol·lecció Tradicional ($R$). Una proporció $p$ de l'oliva es recull de manera primerenca ($0 < p < 1$) i la resta mitjançant recol·lecció tradicional. Per les característiques del fruit, la probabilitat que un lot assoleixi la màxima qualificació d'Oli d'Oliva Verge Extra (OOVE) és de $0,90$ si prové de collita primerenca i de $0,55$ si procedeix de collita tradicional.

1. a) Expressa la probabilitat total que un lot qualsevol obtingui la qualificació d'OOVE com una funció lineal dependent de $p$, $f(p)$. Interpreta el significat agronòmic i matemàtic que tenen el pendent i l'ordenada a l'origen d'aquesta recta en el context del problema.
2. b) Per a la campanya següent, la direcció tècnica analitza dos plans de millora d'idèntic cost pressupostari:

• Pla 1: Mantenir la proporció actual de collita primerenca en $p = 0,20$, però incorporar un sistema de refrigeració en el batut que elevi la probabilitat d'obtenir OOVE a partir de la collita tradicional del $0,55$ al $0,70$.

• Pla 2: Mantenir la maquinària actual (deixant les eficàcies en $0,90$ i $0,55$), però incentivar econòmicament els agricultors per avançar la collita, elevant la proporció de collita primerenca de $p = 0,20$ a $p = 0,60$.

Calcula mitjançant el teorema de la probabilitat total la proporció final d'OOVE que s'assoliria amb cada pla, compara'ls justificant quin és més avantatjós per maximitzar la producció de màxima qualitat i reflexiona sobre quin risc operatiu assumiria la cooperativa si tria el Pla 2 enfront del Pla 1.