Exercicis: Integrals immediates

Calcula la següent integral indefinida d'una funció polinòmica bàsica utilitzant les propietats de linealitat (separació de sumes i extracció de constants):

Troba la família de funcions primitives de la següent funció que conté una arrel quadrada. Recorda expressar l'arrel com una potència d'exponent fraccionari abans d'integrar:

Per poder integrar la següent funció racional, primer has de simplificar l'expressió dividint cada terme del numerador pel denominador:

Calcula la integral indefinida d'aquesta funció que combina una exponencial de base $e$ i una potència negativa. Vés amb compte amb el signe en aplicar la regla de la potència:

Troba la primitiva de la funció $f(x) = \frac{1}{x} + \cos(x)$. Recorda quina és la funció la derivada de la qual és $\frac{1}{x}$ i para atenció al valor absolut:

Un estudi de mercat indica que el ritme de creixement de seguidors d'una nova «influencer» ve donat per la funció $f(x) = 6x + 10$ (on $x$ és el temps en dies).

Troba la funció $F(x)$ que ens dóna el nombre total de seguidors, sabent que en el moment del llançament (dia $x=0$) ja comptava amb $500$ seguidors.

Determina el valor de les següents integrals immediates gairebé directes (tipus logarítmic i tipus exponencial amb constant):

1. a) $\int \frac{3}{x+2} \, dx$

1. b) $\int e^{5x} \, dx$

En una empresa de fabricació de fundes per a mòbils, el cost marginal (el cost de produir una unitat addicional) s'estima mitjançant la funció $C'(x) = 0,6x + 4$.

Obtén l'expressió del cost total $C(x)$ si es sap que els costos fixos de l'empresa (lloguer, llum, etc.), que corresponen a produir 0 unitats, ascendeixen a $1200$ euros.

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II, en Carlos ha de resoldre la següent integral indefinida:

Per calcular-la, escriu en el seu desenvolupament el següent:

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual que ha comès en Carlos. Justifica per què la integral d'un quocient no és el quocient de les integrals recolzant-te en la relació que hi ha entre la derivació i la integració.
2. b) Explica com s'ha de reescriure algebraicament l'integrand, dividint cada terme entre el monomi del denominador, per poder aplicar la taula d'integrals immediates.
3. c) Corregeix l'exercici i calcula la família de primitives correcta.

Per trobar la família de primitives de la funció $f(x) = (2x - 3)(x + 5)$, dos companys de classe debaten sobre quin camí seguir:

• L'Elena afirma que, en tractar-se d'un producte de dos factors dependents de $x$, és obligatori utilitzar el mètode d'integració per parts prenent $u = 2x - 3$ i $dv = (x + 5) \, dx$.

• En Sergio proposa desenvolupar primer el producte aplicant la propietat distributiva per obtenir un polinomi i, a continuació, integrar terme a terme usant la regla de la potència de les integrals immediates.

1. a) Compara raonadament ambdues propostes: explica quin dels dos mètodes és el més directe i adequat per a aquest problema, i si la proposta de l'Elena és errònia o simplement innecessàriament complexa.
2. b) Resol la integral seguint l'estratègia més eficient i comprova el teu resultat derivant la funció obtinguda.

Calcula la integral indefinida de la següent funció polinòmica que inclou termes amb potències fraccionàries i negatives. Recorda que has d'expressar el resultat de la forma més simplificada possible:

Troba la funció primitiva $F(x)$ de la funció $f(x) = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x - 5}$ sabent que la seva gràfica passa pel punt $P(1, 4)$. Analitza primer si el numerador és la derivada del denominador.

Una empresa de missatgeria ha determinat que el ritme de variació dels seus costos de manteniment mensuals (en euros) ve donat per la funció de cost marginal $C'(x) = 0,09x^2 - 0,8x + 20$, on $x$ representa el nombre de furgonetes de la flota. Si els costos fixos (el cost quan no hi ha furgonetes) ascendeixen a $1500$ euros, obtén la funció de cost total $C(x)$.

Calcula la integral de la següent funció exponencial ajustant la constant necessària perquè l'integrand coincideixi amb la derivada de la funció composta:

Determina la integral indefinida de la funció trigonomètrica donada a continuació. Tingues en compte que cal fer un petit ajust numèric per obtenir una integral immediata:

Troba una funció $f(x)$ la derivada de la qual sigui $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$ i que compleixi la condició que $f(1) = 0$.

Resol la següent integral indefinida d'una funció racional que resulta en una funció de tipus arc tangent. Recorda que has de manipular el denominador perquè tingui la forma $1 + [g(x)]^2$:

Calcula la integral indefinida de la següent funció utilitzant les propietats de les potències i la linealitat de la integral:

Una cooperativa agrícola de Jaén dedicada a l'envasament d'oli d'oliva verge extra calcula que el cost marginal d'envasament (en centenars d'euros per cada miler de litres) segueix la funció:

on $x$ és el volum envasat en milers de litres ($x \ge 1$). Se sap que el cost inicial fix de posada a punt de la maquinària abans de processar el primer miler de litres ($x = 1$) és de $12$ centenars d'euros, és a dir, $C(1) = 12$.

1. a) Modelitza la funció de cost total $C(x)$ determinant la constant d'integració corresponent mitjançant integrals immediates.
2. b) Justifica per què en la primitiva del terme $-\frac{1}{x}$ no és imprescindible escriure el valor absolut en aquest cas concret, atenent al context i al domini de la variable $x$.
3. c) Calcula el cost total previst per a un lot de $x = 4$ milers de litres (utilitza l'aproximació $\ln 4 \approx 1,39$).

La Dirección General de Tráfico (DGT) monitora el ritme d'entrada de vehicles als accessos de Madrid per l'autovia A-6 durant un tram de l'operació tornada. Entre els minuts $t = 1$ i $t = 9$, el ritme d'afluència (en desenes de vehicles per minut) ve donat per la funció:

Es vol calcular el total acumulat de vehicles $N(t)$ que entren a la via a partir del minut $t = 1$, de manera que $N(1) = 0$.

1. a) Abans d'integrar, fes una estimació prèvia del total de vehicles que entraran durant aquests $8$ minuts: avalua el ritme en els extrems $r(1)$ i $r(9)$, calcula la mitjana aritmètica d'ambdós ritmes i multiplica-la per la durada de l'interval ($\Delta t = 8$ minuts).
2. b) Troba la funció $N(t)$ descomponent el quocient en suma de potències i integrant de manera immediata amb la condició $N(1) = 0$.
3. c) Calcula el valor exacte de $N(9)$ i valora si la teva estimació prèvia era raonable, explicant per què la mitjana lineal sobreestima o subestima lleugerament el valor real a causa de la concavitat o convexitat del ritme.

Una coneguda empresa de desenvolupament d'aplicacions mòbils ha determinat que el ritme de creixement dels seus ingressos diaris (en centenars d'euros) ve donat per la funció d'ingrés marginal $f'(x) = 3x^2 \cdot e^{x^3} + \frac{2x}{x^2+1}$, on $x$ representa el temps en setmanes des del llançament de la seva última actualització. Sabent que en el moment del llançament ($x=0$) els ingressos acumulats eren de 500 euros ($5$ unitats en la funció), determina l'expressió de la funció d'ingressos totals $f(x)$.

Calcula la primitiva de la funció $g(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4}$ que compleix la condició que la seva gràfica passi pel punt $P(0, 1)$. Pista: Fes primer la divisió de polinomis per descompondre la fracció.

Un «influencer» està analitzant la velocitat de pèrdua de seguidors en una xarxa social després d'una polèmica. La funció que descriu aquesta variació és $s'(t) = \frac{-6t}{(t^2+3)^2} - \cos(2t)$, on $t$ és el temps en dies. Si inicialment l'influencer tenia $100.000$ seguidors, troba la funció $s(t)$ que permet calcular el nombre de seguidors en qualsevol instant $t$.

Determina la família de funcions $F(x)$ la derivada de les quals és $f(x) = \frac{5}{1+9x^2} + \sqrt[3]{x^2}$. De totes elles, identifica aquella la recta tangent de la qual en el punt d'abscissa $x=0$ té com a equació $y = 5x - 2$.

Troba la integral indefinida de la funció $h(x) = \frac{(e^x + 2)^2}{e^x} + \sin(x) \cdot \cos^4(x)$. Per resoldre-la, intenta simplificar el primer terme expandint el quadrat i separant la fracció, i observa el patró de la regla de la cadena en el segon terme.

El cost marginal de producció d'una fàbrica de patinets elèctrics es defineix per la funció $C'(q) = \frac{100}{2q+10} + 15$, on $q$ és el nombre de patinets fabricats. Si els costos fixos de la fàbrica (el cost quan $q=0$) ascendeixen a $2.500$ euros, obtén la funció de cost total $C(q)$. A quant ascendiria el cost total si es fabriquen $50$ patinets?

Calcula la funció $f(x)$ sabent que la seva derivada segona és $f''(x) = 12x^2 - 6x + 2$ i que la seva gràfica passa pel punt $A(1, 10)$, en el qual el pendent de la recta tangent val $5$.

Calcula la següent integral indefinida utilitzant les propietats de les potències i les regles d'integració immediata:

A continuació, troba la primitiva que pren el valor $4$ quan $x=1$.

Un departament d'anàlisi financera determina que la funció que modelitza el benefici acumulat $B(x)$ d'un fons d'inversió (en milers d'euros, amb $x > 0$) té una família de primitives donada per l'expressió:

1. a) Fes el problema invers: determina la funció marginal original $b(x) = B'(x)$ i expressa-la com una única fracció algebraica de la forma $\frac{P(x)}{x^2}$, on $P(x)$ sigui un polinomi en la seva forma canònica. Indica el grau i els coeficients de $P(x)$.
2. b) Demostra de manera teòrica que cap funció de la forma $\frac{Q(x)}{x^2}$, on $Q(x)$ és un polinomi, pot donar lloc en integrar-se a un terme que contingui la funció $\arctan(x)$. Basa la teva justificació en la taula de derivades i integrals immediates i en les potències primeres resultants en dividir per un monomi.
3. c) Sabent que al cap de $x = 1$ any el benefici acumulat és $B(1) = 20$ milers d'euros, troba la constant $C$ i raona si la funció marginal $b(x)$ té cap punt d'inflexió en l'interval $(0, +\infty)$ analitzant el signe de la seva segona derivada.

Red Eléctrica de España (REE) registra la taxa de variació instantània del consum elèctric en un polígon industrial durant la matinada mitjançant la funció $D'(t)$ (en megawatts per hora, MW/h), on $t \in [1, 6]$ representa les hores transcorregudes des de la mitjanit:

1. a) Descompon algebraicament el quocient en potències de $t$ i calcula la funció general de consum acumulat $D(t)$ mitjançant integrals immediates.
2. b) En la descomposició sorgeix el terme $-\frac{5}{t} = -5t^{-1}$. Justifica formalment per què no és possible aplicar la regla de la potència $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$ en aquest terme: explica quin problema matemàtic apareix si se substitueix $n = -1$ i quina funció transcendent resol aquesta indeterminació i per què.
3. c) Si a la una de la matinada ($t = 1$) el comptador registrava un consum acumulat de $D(1) = 4e + \frac{5\pi}{2}$ megawatts hora (MWh), calcula el valor exacte de la constant d'integració $C$ simplificant les expressions simbòliques que involucren $e$ i $\pi$ (recorda que $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ rad), i escriu l'expressió final de $D(t)$.