Exercicis: Fitxa tècnica d'enquestes i lectura crítica

Una enquesta electoral publica aquesta fitxa tècnica: «Univers: cens electoral de la província ($650.000$ persones). Mostra: $1.200$ entrevistes. Error mostral: $\pm 2,8\ \%$. Nivell de confiança: $95,5\ \%$».

• a) Explica què significa cadascuna de les quatre dades.

• b) Quina relació hi ha entre el nivell de confiança i la seguretat que el resultat real estigui dins del marge d'error?

Verdader o fals, raonant la resposta: «Si una enquesta s'ha fet amb $1.200$ persones i un nivell de confiança del $95\ \%$, el seu resultat coincideix exactament amb el valor vertader de toda la població».

Una enquesta sobre hàbits de lectura dona un $34\ \%$ de lectors diaris amb un error mostral de $\pm 3\ \%$ i una confiança del $95 \%$.

• a) Entre quins valors es troba, amb aquesta confiança, el percentatge vertader de lectors diaris?

• b) Un titular afirma: «Exactament $34$ de cada $100$ persones llegeixen a diari». Corregeix el titular perquè sigui honest.

Per conèixer l'ús de la biblioteca d'un institut de $900$ alumnes, s'enquesta $50$ alumnes d'un únic curs, el que està a la sala d'estudi a primera hora.

• a) Identifica quin element de la fitxa tècnica falla: l'univers, la mostra o el càlcul de l'error?

• b) Explica per què la mostra no és representativa i proposa com seleccionar-la correctament.

La Lucía està preparant un treball de recerca social i necessita realitzar dues enquestes amb un nivell de confiança del $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) i un marge d'error màxim del $\pm 3\,\%$ en el cas més desfavorable ($\hat{p} = \hat{q} = 0,5$). Una de les enquestes s'adreçarà a la població de Madrid (aproximadament $3.300.000$ habitants) i l'altra a la de Valladolid (uns $300.000$ habitants). La Lucía afirma: «Com que la població de Madrid és unes $11$ vegades més gran que la de Valladolid, necessitaré entrevistar $11$ vegades més persones a Madrid per aconseguir el mateix marge d'error».\n- a) Troba l'error de raonament de la Lucía i explica per què està equivocada recolzant-te en la fórmula de l'error mostral $E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$.\n- b) Calcula la mida mostral necessària $n$ per a cadascuna de les dues ciutats sota les condicions requerides (arrodoneix a l'enter superior). Varia la mida necessària de la mostra entre ambdues ciutats?\n- c) En quina única situació la mida de l'univers influiria de manera apreciable en la mida de la mostra requerida?

Una empresa demoscòpica publica un sondeig d'opinió realitzat a una mostra aleatòria de $n = 2.500$ persones adultes a Espanya.\n- a) Abans de fer càlculs detallats, estima mentalment el marge d'error mostral $E$ (en percentatge) que correspon a aquesta mostra per a un nivell de confiança del $95\,\%$, aplicant la regla ràpida del cas més desfavorable $E \approx \frac{1}{\sqrt{n}}$.\n- b) Calcula el marge d'error exacte utilitzant la fórmula $E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{0,25}{n}}$ amb $z_{\alpha/2} = 1,96$. Compara el resultat amb la teva estimació prèvia i calcula la diferència entre tots dos valors.\n- c) A la vista dels resultats, valora si la regla ràpida $1/\sqrt{n}$ és una eina raonable i útil perquè un ciutadà comú interpreti de manera crítica les fitxes tècniques que apareixen a la premsa.

Un diari digital titula: «El $60\ \%$ dels joves rebutja la nova app de l'ajuntament». A la lletra petita es llegeix: enquesta a $80$ usuaris d'un fòrum de queixes sobre serveis municipals.

• a) Assenyala tots els problemes metodològics d'aquest titular (selecció de la mostra, mida i biaix).

• b) Estima, amb la fórmula de l'error $E = 1,96 \cdot \sqrt{\frac{0,5 \cdot 0,5}{n}}$, el marge d'error que tindria fins i tot una mostra aleatòria d'aquesta mida.

• c) Reescriu el titular de manera honesta.

La fitxa tècnica d'un sondeig electoral diu: «Univers: $2.400.000$ electors. Mostra: $2.400$ entrevistes aleatòries. Error mostral: $\pm 2\ \%$. Confiança: $95\ \%$».

• a) Interpreta cada dada de la fitxa.

• b) Raona, qualitativament, per què l'error mostral depèn de la mida de la mostra i amb prou feines de la mida de l'univers.

• c) El sondeig dona un $21\ \%$ a un partit i un $22\ \%$ a un altre. Es pot afirmar que el segon va al davant? Justifica-ho amb el marge d'error.

En un reportatge sobre mobilitat urbana en una capital espanyola es llegeix el titular següent: «El suport a l'ampliació dels carrils bici se situa entre el $55,5\,\%$ i el $60,5\,\%$ de la ciutadania». A la fitxa tècnica que acompanya la notícia s'indica únicament: «Nivell de confiança: $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$). Mostreig aleatori simple. Cas més desfavorable ($\hat{p} = \hat{q} = 0,5$)».\n- a) A partir dels extrems de l'interval de confiança proporcionat a la notícia, reconstrueix la proporció mostral estimada $\hat{p}$ i el marge d'error $E$ que va utilitzar l'equip sociològic.\n- b) Dedueix la mida exacta de la mostra $n$ que es va entrevistar per elaborar l'estudi (arrodoneix a l'enter superior).\n- c) Un regidor afirma en roda de premsa: «Podem assegurar amb total certesa matemàtica que més de la meitat de la ciutadania dona suport a la mesura». És rigorosa la seva afirmació des del punt de vista de la inferència estadística? Justifica la teva resposta distingint entre certesa absoluta i nivell de confiança.

L'Institut Municipal de Joventut d'una ciutat amb $50.000$ joves censats (de 18 a 30 anys) desitja estimar la taxa d'emancipació juvenil mitjançant una enquesta. Disposen d'una subvenció màxima de $7.200$ euros i el cost operatiu de realitzar i registrar cada qüestionari presencial és de $8$ euros.\n- a) Si els tècnics exigeixen un nivell de confiança del $95,5\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 2$) i un marge d'error màxim del $\pm 2,5\,\%$ en el cas més desfavorable ($\hat{p} = \hat{q} = 0,5$), calcula el nombre mínim d'entrevistes necessàries i determina de manera justificada si el pressupost assignat és suficient.\n- b) Donat el pressupost màxim disponible ($7.200$ euros), calcula quin és el marge d'error mínim que es poden permetre mantenint el nivell de confiança del $95,5\,\%$.\n- c) Per recollir les dades, un tècnic proposa situar els enquestadors a la porta de la universitat pública de la ciutat un dimarts a les $11:00$. Modela una proposta de mostreig alternativa que eviti els biaixos d'aquest procediment i justifiqui quines variables demogràfiques convindria estratificar.

Dues enquestes sobre la mateixa població i la mateixa setmana donen resultats diferents per al mateix succés: la primera estima un $38\ \%$ amb error $\pm 2\ \%$ (mostra de $2.500$ persones) i la segona, un $34\ \%$ amb error $\pm 4,5\ \%$ (mostra de $450$ persones), totes dues al $95\ \%$ de confiança.

• a) Escriu els intervals en què es trobaria el valor vertader segons cada enquesta i comprova que es solapen.

• b) Explica, amb la fórmula de l'error, per què la segona té un marge molt més gran.

• c) Si un titular diu «les enquestes es contraduen», és correcte? Raona la teva resposta.

Vols estimar el percentatge d'estudiants de la teva ciutat ($25.000$ estudiants) que esmorzen adequadament, amb un error màxim de $\pm 3\ \%$ i una confiança del $95 \%$.

• a) Calcula la mida mostral necessària en el cas més desfavorable ($p = q = 0,5$), utilitzant $n = \frac{1,96^2 \cdot 0,25}{E^2}$.

• b) Descriu l'univers i un procediment de mostratge que garanteixi la representativitat.

• c) Redacta la fitxa tècnica completa del teu estudi tal com apareixeria publicada.

Durant un debat sobre els horaris comercials en una comunitat autònoma, dos mitjans publiquen sengles sondejos el mateix dia:\n- Mètode A (Sondeig web obert): Una emissora de ràdio convida a votar al seu web durant $24$ hores. Hi participen $40.000$ usuaris i el $78\,\%$ s'oposa a obrir els diumenges. El mitjà publica en portada: «L'error per a $40.000$ respostes és de tot just $\pm 0,5\,\%$ al $95\,\%$ de confiança».\n- Mètode B (Mostreig probabilístic): Un institut demoscòpic realitza entrevistes telefòniques a $1.200$ persones seleccionades mitjançant mostreig aleatori estratificat per edat i municipi. El resultat és del $54\,\%$ en contra, amb un marge d'error del $\pm 2,8\,\%$ al $95\,\%$ de confiança ($z_{\alpha/2} = 1,96$, cas més desfavorable).\n- a) Comprova analíticament si el càlcul numèric de l'error mostral en el Mètode A ($E \approx 1/\sqrt{n}$) és correcte per a $n = 40.000$ i explica per què aplicar aquesta fórmula matemàtica a aquest sondeig constitueix una fal·làcia metodològica.\n- b) Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos proporciona una base científica vàlida per inferir l'opinió de la població de la comunitat autònoma. Analitza en la teva resposta els conceptes d'autoselecció, marc mostral i representativitat.\n- c) Refuta formalment la següent afirmació habitual en debats públics: «Una mostra voluntària de $40.000$ ciutadans sempre té més rigor estadístic que una de només $1.200$ persones, perquè recull gairebé quaranta vegades més opinions reals».

Una consultora sociològica realitza un estudi sobre hàbits de reciclatge en una comarca a partir d'una mostra aleatòria representativa de $n = 1.000$ persones, amb un nivell de confiança del $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$). A la fitxa tècnica global figura un error mostral d'$E = \pm 3,1\,\%$ en el cas més desfavorable. La mostra està composta per $500$ dones i $500$ homes. Davant de la pregunta sobre si separen els residus orgànics, el $53\,\%$ de les dones i el $47\,\%$ dels homes afirmen fer-ho habitualment.\nEn Marcos, analista en formació, escriu en el seu informe les dues conclusions següents:\n1. «Com que l'error de l'enquesta és $\pm 3,1\,\%$, l'interval de confiança per a les dones és $[49,9\,\%; 56,1\,\%]$ i per als homes és $[43,9\,\%; 50,1\,\%]$».\n2. «Atès que tots dos intervals es solapen entre el $49,9\,\%$ i el $50,1\,\%$, queda formalment demostrat que no existeix cap diferència significativa entre el comportament de dones i homes».\n- a) Assenyala l'error comès per en Marcos en el punt 1. Calcula el marge d'error real per a cada subgrup ($n = 500$) en el cas més desfavorable al $95\,\%$ de confiança i escriu els intervals de confiança corregits.\n- b) Refuta el raonament d'en Marcos en el punt 2 explicant els dos errors conceptuals comesos: per què el solapament de dos intervals individuals no decideix per si sol si una diferència és estadísticament significativa i per què l'absència de significació estadística no equival a demostrar la igualtat.\n- c) Si la consultora desitgés que el marge d'error específic per al subgrup d'homes fos de com a màxim $\pm 2,5\,\%$ al $95\,\%$ de confiança (cas més desfavorable), a quants homes hauria d'entrevistar en total?

Repte del tema. Reflecteix el teu entorn la realitat estadística nacional? Investigaràs una estadística oficial sobre el jovent i la contrastaràs amb dades pròpies.

1. Fitxa tècnica oficial: Consulta al web de l'INE o del CIS un estudi recent sobre hàbits juvenils (per exemple, percentatge de lectors freqüents o pràctica esportiva setmanal, $p_0$). Extreu i analitza els elements de la seva fitxa tècnica: mida mostral, nivell de confiança i marge d'error admès.

2. Mostratge i interval: Fes a $n = 30$ joves del teu entorn la mateixa pregunta dicotòmica. En un full de càlcul o GeoGebra, calcula la proporció mostral $\hat{p}$ i troba l'interval de confiança per a la proporció poblacional al $95\,\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$).

3. Contrast i lectura crítica: Planteja un contrast d'hipòtesis bilateral ($H_0: p = p_0$ enfront d'$H_1: p \neq p_0$) amb un nivell de significació $\alpha = 0,05$. Pren una decisió estadística fonamentada. Finalment, elabora un informe executiu d'una pàgina on discuteixis si el teu entorn difereix de la mitjana espanyola, valorant els biaixos de la teva mostra enfront del rigor de l'enquesta oficial.

Es valorarà:

• Identificació i anàlisi crítica dels elements de la fitxa tècnica oficial.

• Precisió en el càlcul de l'interval de confiança i desenvolupament formal del contrast amb programari.

• Qualitat de la lectura crítica sobre biaixos de selecció, representativitat i conclusions.