Exercicis: Previsió d'ingressos i costos: el llindar de rendibilitat

Explica amb les teves paraules què és el llindar de rendibilitat o punt mort, i què significa vendre per sobre o per sota d'aquest.

La fórmula del punt mort és $q^* = \frac{CF}{p - CV_u}$. Identifica què representa cada terme (CF, p, CV_u) i explica què significa el denominador, anomenat marge de contribució unitari.

La figura representa els ingressos totals (IT) i els costos totals (CT) d'una empresa segons les unitats venudes, amb els costos fixos (CF) com a referència. Explica què representa el punt marcat amb «?» i què passa a les zones de pèrdues i de beneficis.

Una floristeria té uns costos fixos de $1.500\ \text{€}$ al mes, ven cada ram a $15\ \text{€}$ i li costa $9\ \text{€}$ preparar-lo. a) Calcula el llindar de rendibilitat mensual amb la fórmula $q^* = \frac{CF}{p - CV_u}$. b) Explica què passa amb el resultat si ven exactament aquesta quantitat de rams.

Una empresa té un llindar de rendibilitat de 800 unitats mensuals. Explica, sense fer càlculs, quin resultat obtindrà si ven 650 unitats, si en ven 800 i si en ven 1.000, raonant a partir del significat del punt mort.

Una rulot de menjar (food truck) d'hamburgueses té aquestes dades mensuals: lloguer de l'espai de $800\ \text{€}$, sou del cuiner de $1.400\ \text{€}$, ingredients a $4\ \text{€}$ per hamburguesa, envasos a $1\ \text{€}$ per hamburguesa, preu de venda de $11\ \text{€}$ i una assegurança que repartida suposa $200\ \text{€}$ al mes. a) Calcula els costos fixos mensuals i el cost variable unitari. b) Calcula el llindar de rendibilitat.

Defineix el marge de contribució unitari i calcula'l per a un producte que es ven a $25\ \text{€}$ i costa $16\ \text{€}$ fabricar. Explica a què «contribueix» aquest marge dins de l'empresa i què passa amb ell un cop coberts els costos fixos.

La figura mostra els ingressos totals (IT) i els costos totals (CT) d'una empresa segons les unitats venudes, amb els costos fixos (CF) com a referència i les zones de pèrdues i de beneficis ombrejades. a) Indica què representa el punt marcat amb «?». b) Estima, llegint els eixos del gràfic, quantes unitats ha de vendre l'empresa per no guanyar ni perdre. c) Raona, mirant el gràfic, si l'empresa guanya o perd diners quan ven 60 unitats.

Una empresa té uns costos fixos de $6.000\ \text{€}$ al mes, ven el seu producte a $30\ \text{€}$ la unitat i cada unitat li costa $18\ \text{€}$ produir-la. a) Calcula el llindar de rendibilitat mensual amb la fórmula $q^* = \frac{CF}{p - CV_u}$. b) Explica què significa aquest nombre per a l'empresa.

El punt mort d'una botiga són 500 samarretes al mes. Al juny en va vendre 400 i al juliol, 620. Indica en quin mes va tenir pèrdues i en quin beneficis, raona per què no cal conèixer els imports exactes per saber-ho i explica què representa cada samarreta venuda per sobre de 500.

Una pastisseria té un llindar de 2.000 pastissos a l'any. Analitza tres palanques per reduir-lo —apujar el preu, reduir els costos fixos i reduir el cost variable unitari— explicant com actua cadascuna sobre la fórmula i quin risc té utilitzar-la.

Una fàbrica de motxilles té uns costos fixos de $18.000\ \text{€}$ al mes, ven cada motxilla a $45\ \text{€}$ i el cost variable unitari és de $25\ \text{€}$. a) Calcula el llindar de rendibilitat mensual. b) Calcula el benefici del mes si ven 1.200 motxilles: $B = (p - CV_u) \cdot q - CF$. c) Explica què aporta al resultat cada motxilla venuda per sobre del llindar.

Una editorial té uns costos fixos de $60.000\ \text{€}$ a l'any, ven cada llibre a $24\ \text{€}$ i el cost variable unitari és de $14\ \text{€}$. a) Calcula el punt mort en llibres. b) Calcula el llindar en euros, és a dir, la xifra de vendes amb què ingressos i costos s'igualen: $IT^* = p \cdot q^*$. c) Comenta quina informació aporta cadascuna de les dues mesures.

Una acadèmia té uns costos fixos de $9.000\ \text{€}$ al mes, cobra $120\ \text{€}$ per curs i suporta un cost variable de $60\ \text{€}$ per alumne. a) Calcula el seu llindar de rendibilitat. b) Després d'un augment del lloguer, els costos fixos passen a $12.000\ \text{€}$: calcula el nou llindar i comenta el canvi. c) Raona quines altres dues decisions podrien compensar l'augment dels costos fixos i com actuaria cadascuna sobre la fórmula.

Una empresa necessita 8.000 components a l'any i dubta entre fabricar-los, amb uns costos fixos de $30.000\ \text{€}$ i un cost variable unitari de $2\ \text{€}$, o comprar-los a un proveïdor a $6\ \text{€}$ la unitat. a) Calcula el cost anual de cada opció per a aquest volum. b) Calcula per a quin volum anual ambdues opcions costarien el mateix. c) Raona com ha d'utilitzar l'empresa aquesta dada per decidir entre fabricar i comprar.

Una gelateria artesana obre 300 dies a l'any. Els seus costos fixos anuals són de $54.000\ \text{€}$, ven el gelat a $4\ \text{€}$ i cadascun li costa $2,5\ \text{€}$. a) Calcula el llindar de rendibilitat anual en gelats. b) Tradueix aquest llindar a gelats per dia d'obertura. c) Comenta si la xifra diària sembla assolible i quines dades del local i de la zona t'agradaria conèixer per valorar-ho.

Una cafeteria obre 25 dies al mes amb 12 taules de 4 comensals i ofereix un únic torn de dinars. Els seus costos fixos mensuals són de $4.500\ \text{€}$, el preu del menú és de $12\ \text{€}$ i el cost variable per menú és de $7\ \text{€}$. a) Calcula el llindar de rendibilitat en menús al mes i la taxa d'ocupació mitjana de les taules necessària per no incórrer en pèrdues. b) Si la previsió de demanda per al mes vinent és del $60\ \%$ del seu aforament màxim, el negoci incorreria en pèrdues. Per evitar-ho, es plantegen dues alternatives: 1) Oferir un menú prèmium a $15\ \text{€}$ amb un cost variable unitari de $8,5\ \text{€}$, mantenint els costos fixos. 2) Reduir els costos fixos un $20\ \%$ renegociant el lloguer, mantenint el preu i el cost variable inicials. Calcula el nou llindar de rendibilitat de cada alternativa i justifica quina permet ser rendible amb la demanda prevista.

Un emprenedor planeja vendre samarretes amb uns costos fixos de $5.000\ \text{€}$ a l'any. Pretén fixar un preu de venda de $10\ \text{€}$, malgrat que el seu cost variable de fabricació és d'$11\ \text{€}$ per samarreta. En el seu pla de negoci afirma: «Encara que el marge unitari sigui negatiu, si assolim un volum prou gran de vendes, els ingressos totals superaran els costos totals i cobrirem els costos fixos». a) Rebat quantitativament i conceptualment l'afirmació de l'emprenedor: demostra mitjançant la funció de beneficis per què és matemàticament impossible assolir el llindar de rendibilitat i calcula les pèrdues si vengués 5.000 samarretes. b) Per fer viable el projecte, un mentor li imposa que el llindar de rendibilitat se situï com a màxim en 1.000 samarretes. Si per limitacions de mercat el preu no pot superar els $14\ \text{€}$, determina analíticament: 1) El cost variable unitari màxim admissible mantenint els costos fixos en $5.000\ \text{€}$. 2) La reducció percentual dels costos fixos necessària si el cost variable unitari només es pogués rebaixar fins a $10,5\ \text{€}$.

Una cadena de parades de menjar dubta entre un local al centre (costos fixos de $6.000\ \text{€}$ al mes, preu $9\ \text{€}$, cost variable unitari $4\ \text{€}$ i 1.400 unitats esperades) o un de barri (costos fixos de $2.000\ \text{€}$, mateix preu i cost variable, i 500 unitats esperades). a) Calcula el punt mort i el benefici esperat de cada opció. b) Recomana'n una valorant també el risc si les vendes reals queden un 20 % per sota del que s'esperava.

Una editorial de còmics té uns costos fixos anuals de $80.000\ \text{€}$, ven cada còmic a $20\ \text{€}$ i suporta un cost variable unitari de $12\ \text{€}$. El seu pla estratègic fixa com a meta assolir un benefici de $40.000\ \text{€}$, però un informe comercial conclou que la demanda màxima del mercat no superarà els 12.500 exemplars. a) Calcula el punt mort i demostra quantitativament per què l'empresa no assolirà el seu benefici objectiu amb les condicions actuals malgrat situar-se per sobre del llindar de rendibilitat. b) Per assolir els $40.000\ \text{€}$ de benefici venent exactament els 12.500 còmics previstos, la direcció analitza dues propostes independents: 1) Invertir en una plataforma d'impressió sota demanda, la qual cosa reduiria el cost variable unitari mantenint els costos fixos. 2) Externalitzar la distribució per reduir els costos fixos, mantenint el preu i el cost variable unitari. Calcula el cost variable unitari necessari en la proposta 1 i el nivell màxim de costos fixos en la proposta 2. c) Justifica quina de les dues propostes situa l'empresa en una posició de menor risc operatiu en cas d'una contracció imprevista de la demanda.

Un obrador pot produir com a màxim 9.000 barres al mes per la capacitat dels seus forns. Els seus costos fixos són de $15.000\ \text{€}$ mensuals, el preu de venda és de $3,5\ \text{€}$ la barra i el cost variable unitari, de $2\ \text{€}$. a) Calcula el llindar de rendibilitat i compara'l amb la capacitat màxima. b) Raona si el negoci és viable tal com està plantejat. c) Proposa i avalua dues solucions (apujar el preu, reduir els costos fixos o ampliar la capacitat).

Una empresa pot produir de manera artesanal (costos fixos de $10.000\ \text{€}$ i cost variable unitari de $8\ \text{€}$) o de manera automatitzada (costos fixos de $34.000\ \text{€}$ i cost variable unitari de $4\ \text{€}$), venent en ambdós casos a $10\ \text{€}$ la unitat. a) Calcula el llindar de rendibilitat de cada tecnologia. b) Calcula el volum a partir del qual interessa la tecnologia automatitzada (punt d'indiferència entre ambdós costos totals). c) Recomana una tecnologia si s'esperen vendre 4.000 unitats i raona el risc de cada opció.

Una fàbrica de sucs té uns costos fixos de $21.000\ \text{€}$ al mes, ven el litre a $3\ \text{€}$ i el cost variable unitari és de $1,8\ \text{€}$. a) Calcula el llindar de rendibilitat actual. b) La matèria primera s'encareix un $10\ \%$ i l'empresa decideix apujar el preu un $5\ \%$: calcula el nou cost variable unitari, el nou preu i el nou llindar (arrodoneix a litres sencers). c) Comenta si l'augment del preu compensa l'encariment de la matèria primera.

Una empresa de cosmètica natural té uns costos fixos anuals de $96.000\ \text{€}$, ven cada crema a $30\ \text{€}$ i suporta un cost variable unitari de $18\ \text{€}$. a) Calcula el punt mort i interpreta'l. b) Calcula el benefici anual si ven 10.000 cremes. c) Una cadena de perfumeries li ofereix comprar 3.000 cremes extra a $22\ \text{€}$ la unitat, sense que això suposi nous costos fixos: raona si li interessa acceptar la comanda comparant el preu ofert amb el marge de contribució.

Repte del tema. És viable llançar un servei de berenars saludables per als esbarjos del teu institut? Avalua aquest model de negoci completant les fases següents:

1. DAFO de l'entorn: Defineix la teva proposta i elabora una matriu DAFO amb dos factors per quadrant, consultant dades de preus en supermercats locals o estadístiques de despesa juvenil a l'INE.

2. Estructura de costos i preu: Determina el preu de venda ($P$) enquestant cinc companys sobre la seva disposició a pagar. Estima costos fixos mensuals ($CF$, ex. quota d'autònom reduïda o permisos municipals: $80,0$ €) i el cost variable unitari ($CV_u$, ex. fruita, fruits secs i envàs: $1,2$ €).

3. Prindar de rendibilitat: Calcula el punt mort mitjançant la fórmula $Q^* = \frac{CF}{P - CV_u}$. Representa a mà la gràfica d'ingressos i costos totals, assenyalant el llindar i les zones de pèrdues i beneficis.

4. Dictamen final: Elabora un informe executiu breu (una cara) on concloguis si el volum de vendes necessari és realista i quina estratègia DAFO prioritzaries per mitigar riscos.

Es valorarà:

• Precisió en el càlcul algebraic i representació gràfica del llindar de rendibilitat ($Q^*$).

• Realisme i coherència en l'obtenció de costos i preus amb dades contrastades.

• Profunditat analítica de la matriu DAFO vinculada al context escolar.

• Capacitat crítica per argumentar la viabilitat final del projecte.