Exercicis: Circuits sèrie, paral·lel i mixtos

Explica amb les teves paraules la diferència entre connectar dues bombetes en sèrie i connectar-les en paral·lel a la mateixa pila. Què passa en cada cas si una de les dues bombetes es fon?

Completa i explica aquestes regles amb un exemple numèric senzill per a cadascuna: (a) en un circuit sèrie, la intensitat és la mateixa a tots els components i les tensions...; (b) en un circuit paral·lel, la tensió és la mateixa a totes les branques i les intensitats...

Dues resistències de $10\ \Omega$ i $15\ \Omega$ es connecten en sèrie. Sabent que en sèrie les resistències se sumen ($R_\text{eq} = R_1 + R_2$), calcula la resistència equivalent i explica què significa «resistència equivalent».

Explica què és un nus (o node) en un circuit elèctric i quina relació té amb els circuits en paral·lel.

Les làmpades i els endolls d'un habitatge van connectats en paral·lel a la xarxa. Dona dues raons pràctiques d'aquesta elecció i explica què passaria si anessin en sèrie.

Pista. Pensa en la tensió que rep cada aparell i en el que passa amb els altres quan un d'ells s'apaga, es fon o es desconnecta.

Explica amb les teves paraules què és la resistència equivalent d'un conjunt de resistències i per què calcular-la simplifica l'anàlisi d'un circuit.

Tres resistències iguals de $9\ \Omega$ es connecten en sèrie. Calcula la resistència equivalent i explica la regla que has fet servir. Quant valdria l'equivalent amb quatre resistències iguals de $9\ \Omega$ en sèrie?

Dues bombetes idèntiques connectades en sèrie fan menys llum que una sola bombeta connectada a la mateixa pila. Explica per què, parlant de la resistència total del circuit i de la intensitat que circula en cada cas.

Dues resistències de $12\ \Omega$ i $6\ \Omega$ es connecten en paral·lel. Sabent que $\frac{1}{R_\text{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$, calcula la resistència equivalent i comprova que el resultat és menor que la menor de les dues resistències, explicant per què passa sempre això en paral·lel.

Un circuit sèrie amb una pila de $12\ \text{V}$ té dues resistències: $R_1 = 10\ \Omega$ i $R_2 = 14\ \Omega$. (a) Calcula la resistència equivalent i la intensitat que recorre el circuit. (b) Calcula la caiguda de tensió a cada resistència ($V_1 = I \cdot R_1$ i $V_2 = I \cdot R_2$). (c) Comprova que $V_1 + V_2$ coincideix amb la tensió de la pila.

El circuit de la figura és un circuit mixt: la resistència $R_1 = 4\ \Omega$ està en sèrie amb el paral·lel format per $R_2 = 12\ \Omega$ i $R_3 = 6\ \Omega$, tot alimentat per una pila de $12\ \text{V}$, com es mostra a la figura.

(a) Calcula la resistència equivalent del paral·lel. (b) Calcula la resistència equivalent de tot el circuit. (c) Calcula la intensitat total que subministra la pila, amb la seva unitat.

Una garlanda de 20 bombetes idèntiques connectades en sèrie s'endolla a $220\ \text{V}$. (a) Calcula quina tensió suporta cada bombeta si es reparteix per igual. (b) Si cada bombeta té una resistència de $110\ \Omega$, calcula la resistència total de la garlanda i la intensitat que la recorre. (c) Explica què passa amb el conjunt si una sola bombeta es fon i per què localitzar l'avaria és tan tediós.

Dues resistències de $10\ \Omega$ i $15\ \Omega$ es connecten en paral·lel a una pila de $12\ \text{V}$. (a) Calcula la resistència equivalent. (b) Calcula la intensitat que passa per cada branca. (c) Calcula la intensitat total i comprova que coincideix amb la suma de les de les branques.

Tres resistències de $12\ \Omega$, $6\ \Omega$ i $4\ \Omega$ es connecten en paral·lel. Calcula la resistència equivalent amb l'expressió $\frac{1}{R_\text{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ i explica per què el resultat és menor que la menor de les tres.

El circuit de la figura té una pila de $12\ \text{V}$ i dues resistències en sèrie, $R_1 = 4\ \Omega$ i $R_2 = 8\ \Omega$, com es mostra a la figura.

(a) Calcula la resistència total del circuit. (b) Calcula la intensitat que recorre el circuit. (c) Calcula la caiguda de tensió a $R_2$, que és la incògnita marcada a la figura, indicant la seva unitat.

Un alumne afirma: «en un circuit en paral·lel la intensitat és la mateixa per totes les branques, igual que en sèrie». Corregeix l'error enunciant les regles correctes de sèrie i paral·lel (què es comparteix i què es reparteix en cadascun) i recolza't en un exemple numèric amb dues branques diferents.

En un circuit alimentat per una font de contínua de $20\ \text{V}$, es connecten en sèrie una resistència $R_1 = 4\ \Omega$ i un bloc paral·lel format per dues resistències, $R_2 = 10\ \Omega$ i $R_3 = 15\ \Omega$. (a) Durant una prova de control, un operari mesura amb el voltímetre una caiguda de tensió a $R_1$ de $20\ \text{V}$ en comptes del valor teòric de disseny ($8\ \text{V}$). Dedueix raonadament quina avaria s'ha produït al bloc paral·lel (s'ha curtcircuitat una branca o s'ha obert?). (b) Si en condicions normals la resistència $R_3$ patís un trencament intern i quedés en circuit obert, prediu com variarien el corrent total subministrat per la font i la potència dissipada a $R_1$, calculant els seus nous valors numèrics. (c) Justifica quina resistència auxiliar caldria col·locar en paral·lel amb el bloc original ($R_2 \parallel R_3$) perquè la caiguda de tensió a $R_1$ augmenti fins als $12\ \text{V}$.

Una garlanda de Nadal tradicional consta de 50 bombetes incandescents idèntiques connectades en sèrie a $230\ \text{V}$. Cada bombeta està dissenyada per consumir $1\ \text{W}$ a la seva tensió nominal de funcionament ($4,6\ \text{V}$). (a) Un aprenent proposa connectar aquestes mateixes 50 bombetes en paral·lel als $230\ \text{V}$ perquè «si una es fon, les altres continuïn fent llum». Justifica quantitativament mitjançant les lleis d'Ohm i Joule què li passaria de manera immediata al circuit. (b) En el muntatge en sèrie, cada bombeta disposa d'un mecanisme de pont tèrmic que es curtcircuita quan es fon el filament. Si es fonen 5 bombetes i queden en curtcircuit, calcula la nova tensió que suporta cadascuna de les 45 restants i prediu l'augment percentual de potència que experimenten, valorant l'efecte en cadena sobre la seva vida útil. (c) Explica per què tècnicament la indústria va substituir aquest sistema per branques sèrie de baixa tensió alimentades en paral·lel mitjançant un transformador.

Has d'alimentar tres punts de llum independents de potències $40\ \text{W}$, $60\ \text{W}$ i $100\ \text{W}$ (totes per a $230\ \text{V}$) en una nau a $80\ \text{m}$ del quadre de distribució, mitjançant una línia bifilar de coure de secció $1,5\ \text{mm}^2$ (resistivitat $\rho = 0,0175\ \Omega\cdot\text{mm}^2/\text{m}$). (a) Justifica el tipus de connexió que has de triar entre els tres llums per garantir el seu funcionament independent a la seva tensió nominal i calcula la resistència total del cable de la línia (anada i tornada). (b) Amb els tres llums encesos simultàniament, calcula la caiguda de tensió en volts produïda a la línia i comprova si es compleix l'exigència reglamentària de no superar el $3\,\%$ de caiguda de tensió per a enllumenat. (c) Un company afirma que si es connectessin els tres llums en sèrie s'estalviaria coure mantenint el mateix nivell lumínic. Rebat quantitativament la seva afirmació calculant la tensió real que rebria cada llum en sèrie.

Es disposa de dos escalfadors elèctrics de $18\ \Omega$ cadascun que s'han d'alimentar des d'una xarxa de $230\ \text{V}$ mitjançant una línia de cablatge la resistència total de conductors de la qual és $R_L = 2\ \Omega$. Es consideren dues possibilitats de connexió: connectar els dos escalfadors en paral·lel o connectar-los en sèrie. (a) Per al muntatge en paral·lel, calcula la tensió real que arriba als escalfadors, la potència útil total que lliuren i el rendiment elèctric de la línia ($\eta = P_{\text{útil}} / P_{\text{total}}$). (b) Calcula els mateixos paràmetres per al muntatge en sèrie. (c) Interpreta els resultats: tot i que en paral·lel s'obté molta més potència tèrmica, analitza quin dels dos muntatges genera més pèrdues per efecte Joule a la línia i justifica per què el rendiment del transport és més gran en sèrie.

Per error, un usuari connecta en sèrie a la xarxa de $230\ \text{V}$ dues bombetes incandescents dissenyades per funcionar individualment a $230\ \text{V}$, però de potències nominals diferents: una de $P_1 = 25\ \text{W}$ i una altra de $P_2 = 100\ \text{W}$ (assumeix que la resistència dels seus filaments roman constant). (a) L'usuari creu que la bombeta de $100\ \text{W}$ il·luminarà quatre vegades més que la de $25\ \text{W}$. Rebat analíticament la seva afirmació calculant la potència real que dissipa cadascuna en aquest muntatge en sèrie. (b) Prediu quina de les dues bombetes patirà més risc tèrmic de deteriorament i quina amb prou feines emetrà llum, justificant el resultat a partir de la tensió que assumeix cadascuna. (c) Si la bombeta que més escalfa es fon i queda en circuit obert, prediu quina tensió mesurarà un voltímetre connectat als borns de cada portalàmpades.

Un equip d'assaig alimenta a $20\ \text{V}$ tres càrregues en paral·lel de $R_1 = 5\ \Omega$, $R_2 = 10\ \Omega$ i $R_3 = 20\ \Omega$. La línia principal està protegida per un fusible general de $8\ \text{A}$ i els conductors de cada branca admeten un corrent màxim admisible de $5\ \text{A}$. (a) Calcula el corrent a cada branca i el corrent total. Justifica si la instal·lació opera dins dels marges de seguretat. (b) Per una sobrecàrrega mecànica, la resistència $R_2$ es degrada i baixa bruscament a $2,5\ \Omega$. Prediu quin element fallarà primer: es fondrà el fusible general o es cremarà la línia de la branca avariada? Justifica-ho amb càlculs. (c) Dissenya una modificació substituint el fusible general per proteccions individuals a cada branca, seleccionant calibres comercials estàndard ($1\ \text{A}$, $2\ \text{A}$, $3\ \text{A}$, $5\ \text{A}$, $6\ \text{A}$) de manera que es garanteixi la selectivitat (que la fallada en una branca no talli l'alimentació de les altres dues).

Per condicionar el senyal d'un sensor cap a un convertidor analògic-digital que admet un màxim de $4,0\ \text{V}$, es dissenya un divisor de tensió a partir d'una font de $12,0\ \text{V}$ mitjançant dues resistències, $R_1$ (connectada a positiu) i $R_2$ (connectada a massa, on s'obté la tensió de sortida $V_s$). (a) Calcula la relació teòrica entre $R_1$ i $R_2$ en circuit obert (buit) per obtenir $V_s = 4,0\ \text{V}$ i proposa valors fixant $R_2 = 10\ \text{k}\Omega$. (b) En connectar el circuit a l'entrada del sensor, aquest presenta una resistència interna d'entrada de $R_{\text{in}} = 20\ \text{k}\Omega$ en paral·lel amb $R_2$. Calcula la tensió real $V'_s$ que rep i l'error percentual comès per efecte de càrrega respecte als $4,0\ \text{V}$ previstos. (c) Redissenya el valor de $R_1$ perquè, mantenint $R_2 = 10\ \text{k}\Omega$ i amb el sensor de $20\ \text{k}\Omega$ connectat, la tensió en borns sigui exactament de $4,0\ \text{V}$.

Es projecta una lluminària decorativa exterior de $24\ \text{V}$ CC formada per díodes LED blancs. Cada LED presenta una tensió directa de funcionament de $V_F = 3,0\ \text{V}$ al seu corrent nominal de $I_F = 20\ \text{mA}$. (a) Un dissenyador proposa associar 8 LED en sèrie directament als $24\ \text{V}$ prescindint de resistències de polarització per maximitzar el rendiment. Justifica per què aquesta solució és inviable a la pràctica analitzant el comportament de la corba $V$-$I$ del díode i les variacions tèrmiques. (b) Dissenya la configuració recomanada organitzant els LED en branques idèntiques en paral·lel: determina quants díodes en sèrie per branca permeten deixar una caiguda de tensió de seguretat a la resistència d'almenys $3\ \text{V}$ i calcula el valor d'aquesta resistència de branca $R_s$. (c) Si la lluminària final consta de 10 branques en paral·lel com les dissenyades a (b), calcula la potència total consumida i prediu què passarà amb el corrent de la resta de branques si un LED de la primera branca es fon en circuit obert.