Exercicis: Magnituds elèctriques i llei d'Ohm

Defineix amb les teves paraules les tres magnituds elèctriques bàsiques (tensió, intensitat i resistència), indica la unitat SI de cadascuna i l'instrument amb què es mesura.

Explica per a què serveix una resistència dins d'un circuit. Posa com a exemple el cas típic d'un díode LED connectat a una pila: què passaria si es connectés el LED directament, sense resistència?

La figura mostra un circuit bàsic de corrent continu format per una pila, una resistència i un amperímetre, amb el corrent marcat amb una fletxa, com es mostra a la figura.

Anomena els tres components del circuit, explica la funció de cadascun i assenyala quines magnituds estan indicades en l'esquema amb els seus valors i unitats.

Explica què és un conductor, un aïllant i un semiconductor, amb un exemple de material de cadascun i un ús dins d'un circuit o aparell elèctric.

Explica què és un curtcircuit, per què el corrent creix tant en aquest cas (el camí ofereix una resistència gairebé nul·la) i dues conseqüències possibles per a la instal·lació.

Què és un fusible i com protegeix una instal·lació? Explica què passa al seu interior quan el corrent supera el seu valor nominal i què cal comprovar abans de canviar-lo per un de nou.

L'analogia hidràulica compara un circuit amb canonades d'aigua. Explica a quina magnitud elèctrica corresponen la pressió de l'aigua, el cabal i un estretament de la canonada, i en què t'ajuda aquesta analogia a entendre la llei d'Ohm.

El polímetre mesura tensió, corrent i resistència. Explica dues comprovacions que has de fer abans de mesurar (seleccionar la magnitud i l'escala adequades, col·locar les puntes als borns correctes) i per què no s'ha de mesurar la resistència d'un component amb el circuit encès.

Un circuit té una pila de $V = 12\ \text{V}$ i una resistència de $R = 60\ \Omega$. Aplicant la llei d'Ohm $V = I \cdot R$, calcula la intensitat de corrent que hi circula, expressant el resultat en la unitat SI corresponent.

Un radiador elèctric té una resistència de $R = 88\ \Omega$ i es connecta a la xarxa de $V = 220\ \text{V}$. (a) Calcula la intensitat que el travessa aplicant la llei d'Ohm. (b) Calcula la seva potència amb l'expressió $P = V \cdot I$, indicant la unitat SI de potència. (c) Explica què significa aquest valor de potència en termes de consum d'energia.

En el circuit de la figura, la pila és de $24\ \text{V}$ i l'amperímetre marca $0{,}5\ \text{A}$, però el valor de la resistència és desconegut, com es mostra a la figura.

Aïlla la resistència de la llei d'Ohm i calcula el seu valor en ohms ($\Omega$). Comprova el teu resultat verificant que es compleix $V = I \cdot R$.

La resistència d'un cable depèn de la seva geometria: és proporcional a la seva longitud i inversament proporcional a la seva secció. (a) Un cable de $5\ \text{m}$ té una resistència de $2\ \Omega$; calcula la resistència d'un d'idèntic de $15\ \text{m}$. (b) Raona què passaria amb la resistència si es dupliqués la secció del cable original. (c) Basant-te en l'analogia de la canonada d'aigua, explica per què un cable llarg i prim «estrangula» més el corrent que un de curt i gruixut.

Un LED vermell necessita un corrent de $0{,}02\ \text{A}$ i suporta una caiguda de tensió de $2\ \text{V}$. Es connecta en sèrie amb una resistència a una pila de $9\ \text{V}$, de manera que la resistència ha d'absorbir els $7\ \text{V}$ restants. Calcula el valor de la resistència sèrie aplicant la llei d'Ohm, i explica què li passaria al LED si la resistència triada fos molt menor.

Una llanterna funciona amb una bateria de $6\ \text{V}$ i consumeix $0{,}5\ \text{A}$. (a) Calcula la seva potència. (b) Calcula la resistència de la seva bombeta. (c) Si la bateria es degrada i lliura només $4\ \text{V}$, calcula la nova intensitat suposant la mateixa resistència, i explica per què la llanterna fa menys llum.

Raona utilitzant la llei d'Ohm: (a) què passa amb la intensitat si dupliques la resistència mantenint la tensió; (b) què passa si dupliques la tensió mantenint la resistència; (c) quina combinació de canvis deixaria la intensitat exactament igual. Fonamenta cada raonament amb un exemple numèric.

Un carregador de portàtil té una potència de $15\ \text{W}$ i s'utilitza durant $2\ \text{h}$. Calcula l'energia consumida en $\text{kW} \cdot \text{h}$ i el seu cost si el preu és de $0{,}20\ \text{€}$ per $\text{kW} \cdot \text{h}$. Comenta per què el cost és tan petit encara que la potència sembli alta (poc temps d'ús).

Un company afirma que si connectes en sèrie a una presa de $230\ \text{V}$ dues bombetes incandescents tradicionals dissenyades per a $230\ \text{V}$, una de $60\ \text{W}$ i una altra de $100\ \text{W}$, la de $100\ \text{W}$ continuarà brillant més perquè «té més potència nominal». (a) Modela les dues bombetes com a resistències pures i calcula el valor òhmic nominal de cadascuna. (b) Calcula la intensitat que recorrerà l'associació en sèrie, la tensió que suportarà realment cada bombeta i la potència que dissiparà cadascuna. (c) A partir dels resultats, prediu quina lluirà amb més brillantor en aquest circuit i rebat raonadament l'afirmació del teu company, explicant per què canvia el comportament respecte a la connexió en paral·lel habitual.

Al departament de Tecnologia s'avalua substituir $20$ ordinadors de sobretaula per equips més eficients. Es comparen dues opcions per a un ús anual de $180$ dies lectius i $6\ \text{h}$ al dia:

• Opció A: Mantenir les torres actuals millorant les seves fonts d'alimentació per assolir un consum mitjà de $150\ \text{W}$ per equip, amb un cost total d'intervenció de $800\ \text{€}$.

• Opció B: Adquirir mini-PC que consumeixen de mitjana $40\ \text{W}$ per equip, amb un desemborsament inicial total de $4100\ \text{€}$.

(a) Amb un preu de l'energia de $0{,}18\ \text{€}/(\text{kW} \cdot \text{h})$, calcula l'energia consumida a l'any en $\text{kW} \cdot \text{h}$ i el cost econòmic de l'electricitat en cada alternativa.

(b) Calcula el període d'amortització (en anys escolars de funcionament) necessari per compensar la major inversió inicial de l'opció B mitjançant l'estalvi elèctric enfront de l'opció A.

(c) Si la vida útil prevista abans de renovar els equips és de $5$ anys, justifica tècnicament i econòmicament quina decisió aconsellaries prendre a la direcció del centre.

Una línia bifilar de coure de $15\ \text{km}$ de longitud ($

ho = 0{,}0175\ \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}$) amb conductors de $70\ \text{mm}^2$ de secció connecta una minicentral hidroelèctrica que genera $1{,}2\ \text{MW}$ amb un polígon industrial.

(a) Calcula la resistència total de la línia (anada i tornada).

(b) Determina la intensitat que circularia i la potència que es perdria per efecte Joule als cables si el transport es realitzés directament en baixa tensió a $400\ \text{V}$. Interpreta el resultat i demostra la inviabilitat física d'aquesta opció.

(c) Si la tensió s'eleva a $25\ \text{kV}$ per al transport, calcula el nou corrent de línia i el percentatge que representen les pèrdues per efecte Joule respecte a la potència total generada.

(d) En vista dels resultats, justifica per què no s'eleva la tensió a valors encara més grans (per exemple, a $400\ \text{kV}$) en aquesta instal·lació concreta, argumentant almenys dos factors tècnics, econòmics o de seguretat que limiten el voltatge.

En una línia de preses de corrent protegida per un interruptor magnetotèrmic de $16\ \text{A}$ i cable de coure de $2{,}5\ \text{mm}^2$ ($

ho = 0{,}0175\ \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}$) amb una longitud de $20\ \text{m}$ des del quadre general, es connecten simultàniament a una regleta múltiple a $230\ \text{V}$: una pistola de calor de $1800\ \text{W}$, un calefactor de $1200\ \text{W}$ i un aspirador de $700\ \text{W}$.

(a) Calcula la intensitat demandada per cada receptor i la intensitat total a la línia si tots tres funcionen a plena potència.

(b) Prediu de manera raonada què passarà amb l'interruptor automàtic magnetotèrmic i avalua el risc tèrmic per a la instal·lació.

(c) Si la protecció no disparés immediatament per la seva corba tèrmica de retard, calcula la caiguda de tensió percentual que es produiria a la línia (anada i tornada) i comprova si supera el límit reglamentari del $3\ \%$ fixat pel REBT per a circuits interiors d'habitatge.

(d) Un operari proposa substituir el magnetotèrmic de $16\ \text{A}$ per un de $25\ \text{A}$ per evitar dispars intempestius. Rebat tècnicament aquest perillós consell i proposa la solució correcta de redistribució de càrregues.

Un enrotllador de cable de $25\ \text{m}$ disposa de conductors de coure d'$1{,}5\ \text{mm}^2$ de secció ($

ho = 0{,}0175\ \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}$). El fabricant indica a la seva placa de característiques que a $230\ \text{V}$ admet una potència màxima de $1000\ \text{W}$ totalment enrotllat i de $3000\ \text{W}$ totalment desenrotllat.

(a) Calcula la resistència elèctrica total de la línia (anada i tornada).

(b) Si es connecta un calefactor de $2200\ \text{W}$ mantenint el cable completament enrotllat, calcula el corrent que circula, la potència tèrmica dissipada per efecte Joule a l'interior del tambor i la caiguda de tensió a la càrrega.

(c) Rebat l'afirmació errònia que «la resistència del cable augmenta en estar enrotllat»: explica la causa termodinàmica real per la qual la potència admissible disminueix dràsticament quan no es desenrotlla el tambor.

(d) Prediu quines conseqüències físiques patirà l'aïllament de PVC del cable si es manté aquesta càrrega de $2200\ \text{W}$ durant un temps prolongat sense desenrotllar.

Un dispositiu registrador de dades (datalogger) autònom s'alimenta amb una cel·la de liti de $3{,}7\ \text{V}$ nominals i una capacitat de $3000\ \text{mA} \cdot \text{h}$. El sistema repeteix de manera indefinida un cicle de treball de $5\ \text{minuts}$:

• Durant $15\ \text{segons}$ mesura magnituds i transmet les dades per radiofreqüència, consumint una intensitat de $120\ \text{mA}$.

• Durant els restants $4\ \text{minuts}$ i $45\ \text{segons}$ roman en mode de repòs profund (deep sleep), amb un consum residual de tot just $0{,}06\ \text{mA}$.

(a) Interpreta el significat físic de la unitat $\text{mA} \cdot \text{h}$ i calcula l'energia total emmagatzemada a la bateria expressada en $\text{W} \cdot \text{h}$ i en joules ($\text{J}$).

(b) Calcula la càrrega consumida per cicle (en $\text{mA} \cdot \text{h}$) i la intensitat mitjana equivalent absorbida de manera contínua per l'equip.

(c) Estima l'autonomia del registrador (en dies). Si a causa de l'autodescàrrega i del marge de tall per baixa tensió només és aprofitable el $80\ \%$ de la capacitat nominal, recalcula la durada real esperada.

(d) Un tècnic suggereix mantenir el transmissor encès en continu a $120\ \text{mA}$ per evitar la complexitat de la programació d'estats de repòs. Calcula la nova autonomia i justifica per què la gestió energètica mitjançant duty cycle és imprescindible en sistemes encastats.

Al laboratori disposes d'una font d'alimentació de corrent continu fixada a $12\ \text{V}$, una làmpada de senyalització d'especificacions $12\ \text{V}$ i $6\ \text{W}$, i un polímetre digital. El polímetre presenta una resistència interna de $0{,}2\ \Omega$ en la seva escala de corrent (protegida amb un fusible ràpid d'$1\ \text{A}$) i de $10\ \text{M}\Omega$ en la seva escala de tensió.

(a) Un alumne connecta per error les sondes de l'amperímetre directament entre els borns positiu i negatiu de la font de $12\ \text{V}$. Modela el circuit equivalent d'aquest muntatge, calcula la intensitat que intentaria circular pel polímetre i prediu quin element actuarà per protegir l'equip.

(b) Descriu detalladament la connexió correcta per mesurar alhora la tensió que suporta la làmpada i el corrent que hi circula emprant dos polímetres, especificant com s'ha d'inserir cadascun al circuit.

(c) Determina l'error sistemàtic d'inserció que introdueix l'amperímetre en mesurar el corrent real de la làmpada i interpreta per què un amperímetre ideal hauria de tenir una resistència interna estrictament nul·la mentre que la d'un voltímetre ideal hauria de ser infinita.

Dissenya la il·luminació d'una maqueta amb quatre LED iguals ($2\ \text{V}$, $0{,}02\ \text{A}$ cadascun) i una pila de $9\ \text{V}$: proposa un esquema de connexió (sèrie, paral·lel o grups sèrie-paral·lel), calcula amb la llei d'Ohm les resistències necessàries i justifica el teu esquema enfront de les alternatives (quina tensió suporta cada grup, què passa si falla un LED).