Exercicis: Lleis de Kirchhoff i malles

Enuncia amb les teves paraules la llei dels nusos (o primera llei de Kirchhoff) i explica-la amb un símil hidràulic: què passa amb el cabal d'aigua en una canonada que es bifurca en dues.

Enuncia amb les teves paraules la llei de les malles (o segona llei de Kirchhoff): en recórrer completament qualsevol camí tancat d'un circuit, la suma de pujades i caigudes de tensió val $\sum V = 0$. Explica-la amb el símil d'un passeig circular per una muntanya (es puja i es baixa, però es torna a la mateixa alçada).

Defineix amb les teves paraules aquests tres elements de la topografia d'un circuit: (a) nus, (b) branca i (c) malla. Posa un exemple de cadascun descrivint un circuit senzill amb dues piles i tres resistències.

Per un cable arriben $5\ \text{A}$ a un nus i en surten per una altra branca $2\ \text{A}$. Aplicant la llei dels nusos ($I_\text{entren} = I_\text{surten}$), calcula quin corrent surt per la tercera branca del nus i explica el raonament.

Un company afirma: «la llei dels nusos significa que la càrrega elèctrica no es pot acumular en un punt del circuit: tot el que entra ha de sortir». Indica si l'afirmació és园 vertadera o falsa i justifica-la físicament.

Relaciona cada concepte amb la seva definició: (1) nus, (2) branca, (3) malla, amb: (a) tram de circuit entre dos nusos consecutius, recorregut pel mateix corrent; (b) camí tancat que comença i acaba al mateix punt sense passar dues vegades per la mateixa branca; (c) punt del circuit on s'uneixen tres o més conductors.

A un nus arriben $3\ \text{A}$ per un cable i en surten $1\ \text{A}$ per una de les dues branques restants. Calcula el corrent que surt per l'última branca aplicant $I_1 = I_2 + I_3$ i raona per què no pot sortir més corrent del que entra.

Les regles dels circuits sèrie i paral·lel (el corrent és el mateix en sèrie, la tensió és la mateixa en paral·lel) són en realitat casos particulars de les lleis de Kirchhoff. Explica a quina llei correspon cadascuna i per què Kirchhoff serveix per a circuits que no són ni sèrie ni paral·lel.

A un nus arriben dos cables amb $4\ \text{A}$ i $2\ \text{A}$, i en surten $5\ \text{A}$ per un tercer. (a) Calcula el valor i el sentit (entra o surt) del corrent pel quart cable. (b) Comprova el resultat escrivint $\sum I = 0$ amb signes (entrants positives, sortints negatives).

En una malla amb una pila de $12\ \text{V}$ i dues resistències es mesuren caigudes de tensió de $5\ \text{V}$ i $7\ \text{V}$. (a) Comprova que es compleix la llei de les malles escrivint la suma amb signes. (b) Raona què passaria amb el corrent de la malla si les caigudes mesurades sumessin menys que la tensió de la pila.

En una única malla es connecten, l'una darrere l'altra, una pila de $12\ \text{V}$, una pila de $4\ \text{V}$ muntada en oposició (amb els seus pols positius enfrontats) i una resistència total de $8\ \Omega$. (a) Calcula la tensió neta que impulsa el corrent i el seu valor $I$. (b) Calcula la caiguda de tensió a la resistència. (c) Escriu l'equació de la malla completa, $\sum V = 0$, comprovant que es compleix.

El circuit de la figura té dues piles i tres resistències repartides en dues malles, amb els corrents de branca retolats, com es mostra a la figura.

(a) Escriu l'equació del nus superior que relaciona els tres corrents de branca ($I_1$, $I_2$ i $I_3$). (b) Escriu l'equació de la malla esquerra (la que conté la pila de $12\ \text{V}$, $R_1$ i $R_3$) aplicant $\sum V = 0$. (c) Escriu l'equació de la malla dreta. No cal resoldre el sistema: només plantejar-lo.

Un circuit de dues malles té una pila de $6\ \text{V}$ amb $R_1 = 1\ \Omega$ a la branca esquerra, una pila de $4\ \text{V}$ amb $R_2 = 2\ \Omega$ a la branca dreta i $R_3 = 2\ \Omega$ a la branca comú. Anomenant $I_1$ i $I_2$ els corrents de les branques laterals i $I_3 = I_1 + I_2$ el de la branca comú, planteja (sense resoldre) les tres equacions de Kirchhoff del circuit: la del nus i les de les dues malles.

Per una branca formada per una pila de $12\ \text{V}$ (recorreguda del seu pol negatiu al positiu) i una resistència de $3\ \Omega$ circula un corrent de $2\ \text{A}$. Calcula la diferència de tensió entre els extrems de la branca recorrent-la en el sentit del corrent (puja $12\ \text{V}$ a la pila i cau $I \cdot R$ a la resistència) i explica cada terme del teu càlcul.

Entre dos nusos hi ha dues branques en paral·lel: per la primera, de resistència $2\ \Omega$, circulen $6\ \text{A}$. (a) Aplicant la llei dels nusos, calcula el corrent de la segona branca si pel cable comú arriben $9\ \text{A}$. (b) Calcula la resistència d'aquesta segona branca sabent que totes dues suporten la mateixa tensió. (c) Explica amb la llei dels nusos i la llei d'Ohm per què la branca de menor resistència s'emporta més corrent.

Un company afirma haver resolt un circuit de dues malles (pila de $12\ \text{V}$ amb $R_1 = 3\ \Omega$, pila de $8\ \text{V}$ amb $R_2 = 2\ \Omega$ i $R_3 = 2\ \Omega$ a la branca comú) i diu que els corrents són $I_1 = 2\ \text{A}$, $I_2 = 1\ \text{A}$ i $I_3 = 3\ \text{A}$. Comprova si la seva solució és correcta verificant, amb els nombres donats: (a) la llei del nus i (b) la llei de les dues malles.

Un circuit de dues malles té una pila de $14\ \text{V}$ en sèrie amb $R_1 = 2\ \Omega$ a la branca esquerra, una pila de $9\ \text{V}$ en sèrie amb $R_2 = 1\ \Omega$ a la branca dreta i $R_3 = 2\ \Omega$ a la branca comú. (a) Planteja el sistema d'equacions de Kirchhoff amb els corrents de branca $I_1$ i $I_2$ (el corrent de la branca comú és $I_1 + I_2$). (b) Resol-lo i dóna els tres corrents amb la seva unitat. (c) Comprova la solució verificant el nus i una de les malles.

El circuit de la figura té dues piles a les branques laterals i una resistència a la branca comú, amb el corrent d'aquesta branca marcat amb un signe d'interrogació, com es mostra a la figura.

(a) Planteja el sistema d'equacions de Kirchhoff del circuit. (b) Resol-lo i calcula els tres corrents de branca, en particular el de la branca comú marcat a la figura. (c) Comprova el resultat amb la llei dels nusos.

Per carregar una bateria de $6\ \text{V}$ es connecta en oposició amb un carregador de $12\ \text{V}$ a través d'una resistència limitadora de $3\ \Omega$, formant una única malla.

1. a) Calcula el corrent de càrrega $I$ que circula per la malla (aplica la llei d'Ohm a la tensió neta que impulsa el corrent i a la resistència).

1. b) Calcula la potència que lliura el carregador, la que absorbeix la bateria i la que dissipa la resistència ($P = V \cdot I$ en cada element).

1. c) Comprova que la potència lliurada és la suma de les absorbides i explica què significa aquest balanç.

En un circuit de dues malles, la branca esquerra té una pila de $20\ \text{V}$ amb $R_1 = 4\ \Omega$, la dreta una pila de $18\ \text{V}$ amb $R_2 = 6\ \Omega$ i la comú $R_3 = 4\ \Omega$. (a) Planteja i resol el sistema de Kirchhoff. (b) Amb els corrents obtinguts, calcula la potència que lliura cada pila i la que dissipa cada resistència. (c) Comprova que la potència total lliurada coincideix amb la dissipada i raona per què ha de ser així sempre.

Una pila real de $12\ \text{V}$ té una resistència interna de $0{,}5\ \Omega$, que es pot dibuixar en sèrie amb ella. (a) En connectar-hi una càrrega de $5{,}5\ \Omega$, calcula el corrent del circuit i la tensió que es mesuraria als borns de la pila (ja no són $12\ \text{V}$). (b) Explica per què la tensió en borns baixa en augmentar el corrent. (c) Raona què passaria amb aquesta tensió si la càrrega fos un curtcircuit i per què és perillós.

Un circuit té només dos nusos, $A$ (a dalt) i $B$ (a baix), units per tres branques en paral·lel entre elles:

• Branca 1: una pila de $12\ \text{V}$ en sèrie amb una resistència de $2\ \Omega$, amb el pol positiu de la pila cap al nus $A$.

• Branca 2: una resistència de $6\ \Omega$.

• Branca 3: una pila de $4\ \text{V}$ en sèrie amb una resistència de $1\ \Omega$, amb el pol positiu de la pila també cap al nus $A$.

1. a) Explica per què aquest circuit no es pot resoldre associant resistències en sèrie i en paral·lel.

1. b) Planteja les equacions de Kirchhoff necessàries per resoldre'l, definint abans els corrents de branca amb el seu sentit.

1. c) Indica quantes equacions independents calen i per què.

En el circuit de la figura, amb dues piles i tres resistències iguals d'$1\ \Omega$, s'han mesurat els corrents de les branques laterals, com es mostra a la figura.

(a) Calcula el corrent de la branca comuna aplicant només la llei dels nusos, sense resoldre cap sistema. (b) Amb els tres corrents coneguts, calcula la caiguda de tensió a cada resistència. (c) Comprova que les mesures són coherents verificant la llei de les malles a les dues malles del circuit.

Dues piles de diferent tensió, $6\ \text{V}$ i $4\ \text{V}$, amb resistència interna de $0{,}5\ \Omega$ cadascuna, es connecten en paral·lel (positiu amb positiu) sense cap càrrega exterior. (a) Dibuixa el circuit equivalent i calcula, aplicant Kirchhoff a la malla que formen les dues piles, el corrent que circula entre elles fins i tot sense càrrega. (b) Calcula la potència que dissipa aquest corrent a les resistències internes. (c) Utilitza el resultat per explicar per què no s'han de connectar mai en paral·lel piles o bateries de diferent tensió.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Repte del tema. Com asseguraries l'enllumenat d'emergència d'un lloc sanitari aïllat? Dissenya i valida un circuit mixt de corrent continu amb dues fonts independents ($12,0\text{ V}$ i $9,0\text{ V}$) per alimentar tres receptors crítics.

1. Dades reals: Cerca les especificacions de tres làmpades led de senyalització en catàlegs tècnics en línia per deduir les seves resistències equivalents comercials.

2. Resolució analítica: Dibuixa l'esquema del circuit formant dues malles actives. Aplica la llei d'Ohm i les lleis de Kirchhoff per calcular analíticament les intensitats de cada branca i la tensió a cada component.

3. Simulació virtual: Munta el circuit a Tinkercad Circuits. Connecta voltímetres i amperímetres virtuals als punts clau per registrar les mesures empíriques.

4. Proposta raonada: Elabora un informe breu amb LibreOffice que contingui l'esquema, el desenvolupament algebraic pas a pas i una taula comparativa entre els valors teòrics i els simulats, justificant qualsevol desviació.

Es valorarà:

• Aplicació rigorosa de les lleis de Kirchhoff i resolució matemàtica del sistema d'equacions.

• Muntatge funcional i ordenat a Tinkercad amb connexionat correcte de l'instrumental de mesura.

• Claredat i esperit crític en contrastar els resultats analítics amb les lectures simulades a la taula.