Exercicis: Mòdul i direcció d'un vector. Aplicacions

Calcula el mòdul del vector $\vec{v} = (3, -4)$.

Troba la distància exacta entre els punts $A(-2, 5)$ i $B(4, -3)$.

Obtingues un vector unitari que tingui la mateixa direcció i sentit que el vector $\vec{w} = (-5, 12)$.

Determina el pendent (que indica la direcció) del vector que uneix els punts $P(1, -4)$ i $Q(3, 8)$.

Un dron es desplaça en línia recta segons el vector $\vec{d} = (k, 6)$. Si la distància total recorreguda és de $10$ metres, calcula els possibles valors del paràmetre $k$.

Comprova analíticament si els vectors $\vec{u} = (2, -5)$ i $\vec{v} = (-4, 10)$ tenen la mateixa direcció. En cas afirmatiu, indica si tenen el mateix sentit o sentits oposats.

Troba les components d'un vector de mòdul $7$ que tingui la direcció de l'eix d'ordenades i sentit negatiu.

Un jugador d'escacs mou el seu peó des de la casella representada pel punt $(1, 2)$ fins a la casella $(1, 4)$, i a continuació mou un cavall des de $(1, 4)$ fins a $(3, 5)$. Calcula el mòdul del vector desplaçament total de la peça des de la seva posició inicial fins a la final.

Per calcular el mòdul del vector resultant del desplaçament total després de dues etapes consecutives descrites per $\vec{u} = (3, -4)$ i $\vec{v} = (-3, 0)$, la Lucía escriu al seu examen:

1. a) Identifica i explica els dos errors comesos per la Lucía: un d'algebraic-geomètric relatiu al mòdul de la suma de vectors i un altre de conceptual sobre la diferència entre la distància total recorreguda sobre la trajectòria i el mòdul del vector desplaçament resultant.
2. b) Calcula correctament les components del vector resultant $\vec{u} + \vec{v}$ i el seu mòdul exacte. Interpreta geomètricament per què aquest resultat és estrictament menor que el valor obtingut per la Lucía.

Considera el vector $\vec{w} = (-8, 15)$.

1. a) Sense utilitzar la calculadora ni resoldre l'arrel quadrada, estima raonadament entre quins dos nombres enters s'ha de trobar el valor de $|\vec{w}|$. Recolza't per a això en dues propietats geomètriques del triangle rectangle format per les seves components: la hipotenusa sempre és més gran que qualsevol dels catets, però més petita que la suma de tots dos. Raona a més si esperes que el mòdul estigui més a prop de la cota inferior o de la superior.
2. b) Calcula el valor exacte de $|\vec{w}|$ aplicant la fórmula del mòdul i comprova si confirma l'estimació que has realitzat.

Troba les coordenades d'un vector $\vec{v}$ sabent que el seu mòdul és $5\sqrt{2}$ i que té la mateixa direcció i sentit que el vector $\vec{u} = (-1, 1)$.

Una embarcació es troba en el punt $A(2, -1)$ i es desplaça en línia recta una distància de $13$ milles nàutiques. Si el vector director de la seva trajectòria és proporcional a $\vec{d} = (5, 12)$ i es mou en el mateix sentit que $\vec{d}$, determina les coordenades exactes del punt d'arribada.

Sobre un cos actuen dues forces coplanàries representades pels vectors $\vec{F}_1 = (30, -40)$ N i $\vec{F}_2 = (-15, 20)$ N. Calcula el mòdul de la força resultant $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ i determina un vector unitari en la direcció d'aquesta resultant.

Calcula el perímetre exacte del triangle els vèrtexs del qual es troben en les coordenades $A(-1, 2)$, $B(3, 5)$ i $C(5, -1)$.

En una simulació de física, una partícula surt de l'origen de coordenades i es mou amb un vector velocitat constant $\vec{v} = (3, 4)$ m/s durant $2$ segons. Immediatament després, canvia la seva velocitat a $\vec{w} = (-1, 2)$ m/s i manté aquest moviment durant $3$ segons més. Calcula a quina distància de l'origen es troba la partícula en finalitzar el seu recorregut.

Determina les coordenades dels punts situats sobre l'eix d'abscisses que es troben a una distància exacta de $5$ unitats del punt $P(-2, 3)$.

Un arquitecte està dissenyant una teulada inclinada. El perfil de la teulada segueix la direcció del vector $\vec{u} = (4, 3)$. Si per restriccions de l'estructura la longitud total del perfil ha de ser de $8,5$ metres, troba les components del vector que representa aquest perfil.

Dos cables tiren de la part superior d'un pal. El primer cable exerceix una força representada pel vector $\vec{T}_1 = (120, 160)$ N. El segon cable exerceix una força $\vec{T}_2$ de mòdul $150$ N, que té la mateixa direcció però sentit oposat a $\vec{T}_1$. Troba les components exactes del vector $\vec{T}_2$.

Una embarcació de Salvament Marítim amb base a Tarifa (Cádiz) parteix cap a una zona d'intervenció seguint la direcció i sentit del vector $\vec{d} = (12, 5)$ (coordenades mesurades en milles nàutiques). Per qüestions de protocol i combustible, se li ordena avançar en aquesta direcció exacta fins a completar un recorregut de $7,8$ milles nàutiques.

1. a) Modela el desplaçament de la patrullera trobant les components exactes d'un vector $\vec{r}$ que tingui mòdul $7,8$ milles nàutiques i la mateixa direcció i sentit que $\vec{d}$.
2. b) Durant el trajecte, els corrents de l'Estret provoquen una deriva descrita pel vector $\vec{c} = (-1,2;\, 1,0)$ milles nàutiques. Calcula el vector de posició final real respecte a la base de Tarifa i determina a quina distància en línia recta es troba l'embarcació del seu punt de partida (arrodoneix el resultat a dues xifres decimals).

Donat el punt $A(2, -1)$, es vol determinar les coordenades d'un punt $B$ que pertanyi a l'eix d'abscisses (és a dir, l'ordenada del qual sigui nul·la) de manera que la distància entre $A$ i $B$ sigui exactament de $\sqrt{26}$ unitats.

1. a) Planteja l'equació del mòdul del vector $\vec{AB}$ en funció de l'abscissa desconeguda de $B$ i troba totes les solucions possibles per a aquest punt.
2. b) Per a cadascuna de les posicions de $B$ trobades, calcula el vector unitari que té la mateixa direcció i sentit que $\vec{AB}$, i explica la relació de simetria geomètrica que hi ha entre els vectors unitaris obtinguts.

Tres forces coplanàries mantenen un objecte en equilibri estàtic en l'origen de coordenades (és a dir, la força resultant és el vector nul). Es coneixen les components de dues d'elles: $\vec{F}_1 = (40, 30)$ N i $\vec{F}_2 = (-20, 50)$ N. Calcula les components de la tercera força $\vec{F}_3$ i el seu mòdul exacte.

Un avió vola amb una velocitat respecte a l'aire donada pel vector $\vec{v}_a = (250, 150)$ km/h. En aquesta zona, el vent bufa amb una velocitat representada per $\vec{v}_v = (k, -50)$ km/h. Si sabem que la velocitat real de l'avió respecte al terra, calculada com a $\vec{v}_r = \vec{v}_a + \vec{v}_v$, té un mòdul exacte de $300$ km/h, determina els possibles valors del paràmetre $k$.

Donats els punts $A(1, 2)$ i $B(m, m-1)$, troba el valor o valors reals de $m$ perquè la distància rectilínia entre $A$ i $B$ sigui exactament de $5$ unitats.

Un robot explorador es troba inicialment en el punt $A(-3, 2)$. Es programa per avançar en línia recta en la direcció i sentit del vector $\vec{u} = (2, -1)$ fins a arribar a un punt $B$, de manera que la distància $AB$ sigui igual a $4\sqrt{5}$. Seguidament, gira i avança en la direcció i sentit del vector $\vec{w} = (1, 2)$ una distància de $3\sqrt{5}$ fins a aturar-se en el punt $C$. Calcula les coordenades exactes dels punts $B$ i $C$.

Troba analíticament tots els vectors $\vec{v} = (x, y)$ de mòdul $\sqrt{10}$ que compleixin la condició que la suma de les seves dues components sigui exactament $4$.

En un pla de coordenades d'un videojoc, el personatge principal es troba en la posició $P(-4, 1)$. Ha de recollir una moneda situada en un punt $Q$ que pertany a la recta que passa pels punts $R(0, 5)$ i $S(2, 7)$. Si el personatge es desplaça exactament $3\sqrt{2}$ unitats en línia recta per arribar a $Q$, troba les possibles coordenades on es troba la moneda.

Considera un romboide $ABCD$ del qual es coneixen tres dels seus vèrtexs: $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ i $D(2, 4)$. Calcula les coordenades del vèrtex $C$, obtingues el mòdul de les seves dues diagonals i justifica analíticament si es tracta o no d'un rombe (és a dir, si té tots els costats iguals).

Un senyal lumínic surt del punt $A(0, 4)$ amb un vector director $\vec{d} = (2, -1)$. En arribar a l'eix d'abscisses en un punt $P$, es reflecteix canviant la seva direcció i sentit segons el nou vector director $\vec{d}' = (2, 1)$. Si el senyal continua la seva trajectòria fins a xocar amb la recta vertical $x = 12$ en un punt $Q$, calcula la distància total recorreguda per la llum des de $A$ fins a $Q$.

Es vol determinar les coordenades d'un punt $P$ situat a una distància de $15$ unitats del punt $A(-1, 3)$, de manera que el vector $\vec{AP}$ tingui la mateixa direcció i sentit que el vector $\vec{v} = (-6, 8)$. Dos alumnes de la classe proposen vies diferents:

• Mètode de Marcos: Escriu les coordenades paramètriques dels punts de la recta que passa per $A$ amb vector director $\vec{v}$, $P(-1 - 6t,\, 3 + 8t)$, planteja l'equació de la distància euclidiana $d(A, P) = 15$ i aïlla el paràmetre $t$.

• Mètode de Sara: Obté el vector unitari $\vec{u}$ en la direcció i sentit de $\vec{v}$, escala aquest vector per la distància desitjada calculant $\vec{w} = 15\cdot\vec{u}$, i troba $P$ sumant $\vec{w}$ a la posició de $A$.

1. a) Aplica pas a pas tots dos mètodes i comprova que s'arriba exactament al mateix punt $P$.
2. b) Compara críticament tots dos procediments: justifica quin resulta més directe i amb menor cost algebraic. Explica així mateix quina modificació concreta s'hauria d'introduir en cadascun dels dos mètodes si es demanés situar el punt a la mateixa distància però en sentit oposat.

En un assaig estructural d'enginyeria civil, una ròtula situada a l'origen suporta l'acció coplanària de dues forces, $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$, els mòduls coneguts de les quals són $|\vec{F}_1| = 6\text{ N}$ i $|\vec{F}_2| = 8\text{ N}$.

1. a) Demostra formalment, a partir de les propietats geomètriques dels vectors, que el mòdul de la força resultant $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ no pot prendre un valor qualsevol, sinó que ha de complir necessàriament la desigualtat $2\text{ N} \le |\vec{R}| \le 14\text{ N}$. Descriu amb precisió quina orientació relativa han de tenir $\vec{F}_1$ i $\vec{F}_2$ perquè el mòdul arribi a cadascun d'aquests valors extrems.
2. b) Si la força $\vec{F}_1$ actua horitzontalment en sentit positiu, és a dir, $\vec{F}_1 = (6, 0)\text{ N}$, i el sensor de càrrega registra que el mòdul de la resultant total és exactament $|\vec{R}| = 10\text{ N}$, planteja un sistema amb les equacions dels mòduls de $\vec{F}_2$ i de $\vec{R}$ per calcular algebraicament les components de totes les possibles forces $\vec{F}_2$ compatibles amb la mesura. Obtén, per a cada cas, el seu vector unitari corresponent.