Exercicis: Definicions

Classifica les magnituds següents utilitzades en física i geometria en escalars o vectorials, justificant breument la teva resposta basant-te en la seva definició:

• Temperatura d'un servidor de dades ($45^\circ \text{C}$).

• Velocitat del vent en un parc eòlic ($20 \text{ km/h}$ en direcció nord-oest).

• Massa d'un satèl·lit artificial ($1200 \text{ kg}$).

• Desplaçament d'un dron des de la seva base fins a un punt de lliurament.

Un braç robòtic en una cadena de muntatge es desplaça en un pla cartesià bidimensional. Si la seva posició inicial és el punt $A(3, -2)$ i la seva posició final després d'un moviment és $B(-1, 5)$, determina les components del vector desplaçament $\vec{AB}$.

Un vaixell pesquer es troba en les coordenades $P(-4, 2)$ d'una carta nàutica. Si el capità programa el pilot automàtic per fer un desplaçament rectilini definit pel vector $\vec{v} = (8, -3)$, determina les coordenades del punt de destí $Q$.

En el disseny d'un videojoc, la velocitat d'un personatge ve donada pel vector $\vec{v} = (-6, 8)$ en píxels per fotograma. Calcula el mòdul d'aquest vector per determinar la rapidesa real del personatge a la pantalla.

Dos avions d'aeromodelisme segueixen trajectòries definides pels vectors $\vec{u} = (4, -6)$ i $\vec{v} = (-2, 3)$. Comprova, utilitzant la definició de vectors paral·lels, si tots dos avions volen en la mateixa direcció. Tenen el mateix sentit?

Per instal·lar un cable de fibra òptica entre dos edificis, els topògrafs marquen les posicions de les connexions en un pla com a $A(-3, 5)$ i $B(2, -7)$, amb les unitats en metres. Calcula la distància en línia recta entre tots dos punts.

Es col·locarà un pilar de suport exactament al centre d'una biga d'acer. Si els extrems de la biga es situen en les coordenades $M(-1, 4)$ i $N(7, -2)$, determina les coordenades del punt on ha d'anar el pilar.

Observa els vectors representats en la quadrícula següent. Identifica quins parells de vectors són equipol·lents (iguals), quins tenen el mateix mòdul però diferent direcció, i quins tenen la mateixa direcció però sentit oposat.

En calcular les components i la longitud (mòdul) del vector fix que uneix el punt $A(3, -2)$ amb el punt $B(-1, 4)$, en Marcos comet diversos errors al seu examen. Escriu el següent:

1. Components: $\vec{AB} = (3 - (-1),\ -2 - 4) = (4,\ -6)$.

2. Mòdul: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 - 6^2} = \sqrt{16 - 36} = \sqrt{-20}$ (concloent que el vector no pot existir perquè una distància no pot ser l'arrel d'un nombre negatiu).

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per en Marcos i explica per què contradiuen la definició de vector fix i la deducció del mòdul a partir del teorema de Pitàgores.
2. b) Corregeix el procediment calculant les components correctes de $\vec{AB}$ i el seu mòdul exacte i simplificat.
3. c) Quin vector va calcular en Marcos en realitat al primer pas?

Una ruta senderista a la Sierra de Guadarrama uneix un refugi situat al punt $A(1, 2)$ amb un mirador al punt $B(6, 14)$ (coordenades expressades en quilòmetres).

1. a) Abans de calcular la distància exacta, fes una estimació raonada: dedueix mentalment la longitud dels desplaçaments horitzontal i vertical (catets) i determina entre quins dos valors enters s'ha de trobar el mòdul $|\vec{AB}|$ aplicant la desigualtat triangular.
2. b) Calcula de manera exacta les components del vector $\vec{AB}$ i el seu mòdul mitjançant el teorema de Pitàgores.
3. c) Comprova si el valor obtingut encaixa amb la teva estimació prèvia i explica geomètricament per què la distància en línia recta recorreguda mai pot superar la suma dels valors absoluts de les seves components.

Tres vèrtexs consecutius d'un jardí urbà es situen en les coordenades $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ i $C(6, 7)$, expressades en decàmetres. Es vol que el jardí tingui forma de paral·lelogram $ABCD$. Determina les coordenades on s'ha de situar el quart vèrtex $D$.

La força aplicada sobre un objecte ve donada pel vector $\vec{F} = (5, k)$ en Newtons. Si un sensor indica que la magnitud total de la força és de $13 \text{ N}$, determina els possibles valors del paràmetre $k$.

Per traçar una carretera recta, els enginyers han d'assegurar-se que tres punts de control estiguin perfectament alineats. Els dos primers punts estan a $A(-1, 3)$ i $B(2, 5)$. Si el tercer punt té la coordenada $y = 9$, troba la seva coordenada $x$ utilitzant el concepte de vectors paral·lels.

Un arquitecte dissenya una escala recta que uneix el punt $P(-2, 1)$ del terra amb el punt $Q(7, -5)$ d'una plataforma. Si vol col·locar dos suports intermedis que divideixin l'escala en tres trams d'igual longitud, calcula les coordenades on s'han d'ancorar aquests suports.

En un simulador de física, la direcció del vent ve donada pel vector $\vec{w} = (-3, 4)$. Per aplicar correctament les fórmules aerodinàmiques, el motor del joc necessita un vector unitari que mantingui exactament la mateixa direcció i sentit que $\vec{w}$. Calcula'l.

Troba un vector $\vec{v}$ que sigui paral·lel al vector $\vec{u} = (1, -2)$, que tingui sentit oposat a $\vec{u}$, i el mòdul del qual sigui exactament $10$.

Donat l'hexàgon regular $ABCDEF$ de la figura, el centre del qual és l'origen de coordenades $O(0,0)$ i el vèrtex $A$ té coordenades $(2,0)$. Expressa els vectors $\vec{AC}$ i $\vec{AD}$ com a combinació lineal dels vectors de posició dels vèrtexs (per exemple, operant amb punts o sumant vectors coneguts de la figura).

Un robot d'exploració marciana fa dos desplaçaments consecutius. Primer es mou des de la seva base $O(0,0)$ fins al punt $P$ definit pel vector $\vec{v_1} = (12, 5)$. Després, des de $P$, fa un segon desplaçament $\vec{v_2} = (-4, 10)$ fins a arribar al punt $Q$. Calcula les coordenades del punt $Q$ i la distància total en línia recta des de la base $O$ fins a $Q$.

Al centre de control de l'aeroport Adolfo Suárez Madrid-Barajas es monitora la posició de dues aeronaus. En un instant donat, un avió comercial es troba en la posició $A(8, 15)$ i es desplaça en línia recta fins al punt de control $B(20, 20)$ (coordenades en quilòmetres respecte al radar central $O(0, 0)$). Simultàniament, una avioneta d'emergències parteix del punt $C(-6, -4)$ i realitza un desplaçament equipol·lent al de l'avió comercial fins a una posició $D$.

1. a) Escriu el vector de posició $\vec{OA}$ del primer avió i obtén les components i el mòdul del vector desplaçament $\vec{AB}$. Què representa geomètricament aquest mòdul?
2. b) Aplicant la definició de vectors equipol·lents, calcula les coordenades de la posició final $D$ de l'avioneta.
3. c) Al butlletí de l'AEMET es publica: «Vent constant al sector de Barajas a $45\text{ km/h}$ en l'eix Nord-Sud». Justifica si aquesta afirmació defineix una magnitud escalar o una magnitud vectorial completa, explicant quin element falta per determinar el vector vent sense ambigüitat.

Es volen determinar les coordenades d'un punt $Q(q_1, q_2)$ al pla sabent que el vector fix $\vec{PQ}$, amb origen a $P(-4, 1)$, compleix les condicions següents:

1. El seu mòdul és exactament igual a $13$.

2. La seva component vertical $v_2$ és positiva i la seva component horitzontal $v_1$ supera en $7$ unitats aquesta component vertical ($v_1 - v_2 = 7$).

1. a) Planteja l'equació del mòdul a partir de la definició pitagòrica, resol algebraicament i dedueix les components del vector $\vec{PQ}$.
2. b) Utilitzant la relació entre extrems i components d'un vector fix, determina les coordenades exactes del punt $Q$.
3. c) Escriu les components d'un vector $\vec{w}$ que tingui la mateixa direcció que $\vec{PQ}$, sentit oposat i exactament la meitat del seu mòdul.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que els vectors $\vec{u} = (a, 3)$ i $\vec{v} = (-2, b)$ tenen la mateixa direcció (són paral·lels), sentit oposat, i a més es compleix que el mòdul de $\vec{u}$ és $5$.

Donat un quadrilàter qualsevol de vèrtexs $A, B, C$ i $D$. Siguin $M, N, P$ i $Q$ els punts mitjans dels costats $AB, BC, CD$ i $DA$ respectivament. Demostra, utilitzant exclusivament operacions amb vectors i coordenades de punts, que el quadrilàter $MNPQ$ és sempre un paral·lelogram.

Donats els punts $A(1, -2)$ i $B(6, 3)$, troba les coordenades d'un punt $P$ situat en el segment que els uneix, tal que es compleixi la relació vectorial $2\vec{PA} + 3\vec{PB} = \vec{0}$.

Troba les coordenades de tots els punts situats sobre l'eix d'abscisses (eix $X$) la distància dels quals al punt $A(-2, 3)$ sigui exactament igual a $5$ unitats.

Un vaixell intenta creuar un riu perpendicularment a les voreres amb una velocitat pròpia donada pel vector $\vec{v_b} = (0, 12)$ km/h. Tanmateix, el corrent del riu exerceix una velocitat constant representada pel vector $\vec{v_c} = (5, 0)$ km/h. Calcula el vector velocitat real del vaixell respecte a un observador a la vorera i determina la seva rapidesa real (mòdul del vector resultant).

Es donen els punts $A(1, 1)$, $B(4, 2)$, $C(3, 5)$ i $D(0, 4)$. Calcula els vectors que formen els costats del quadrilàter $ABCD$ i les longituds de les seves diagonals. A partir d'aquests càlculs (i sense utilitzar el producte escalar), justifica si la figura és un rombe, un quadrat, un rectangle o cap d'aquestes figures regulars.

Troba les coordenades del punt simètric $A'$ del punt $A(3, -1)$ respecte al punt $P(1, 2)$. Planteja la resolució utilitzant la definició de vector que uneix dos punts i indica la relació geomètrica entre els vectors $\vec{AP}$ i $\vec{PA'}$.

Donats els vectors $\vec{u} = (4, 0)$ i $\vec{v} = (0, 3)$. Es vol trobar un vector $\vec{w}$ que sigui la bisectriu de l'angle que formen $\vec{u}$ i $\vec{v}$. Sabent que la suma de dos vectors unitaris dóna com a resultat un vector en la direcció de la bisectriu, calcula les coordenades exactes d'un vector director $\vec{w}$ d'aquesta bisectriu.

Per trobar les coordenades del quart vèrtex $D$ d'un paral·lelogram els altres tres vèrtexs consecutius del qual són $A(-2, 1)$, $B(3, -2)$ i $C(7, 4)$, tres alumnes d'1r de Batxillerat proposen estratègies diferents:

• L'Elena proposa el Camí 1: fer servir l'equipol·lència de vectors lliures en costats oposats, imposant que $\vec{AB} = \vec{DC}$.

• En Guille proposa el Camí 2: calcular el vector de posició del punt mitjà de la diagonal $AC$, $\vec{OM} = \dfrac{\vec{OA}+\vec{OC}}{2}$, i igualar-lo a $\dfrac{\vec{OB}+\vec{OD}}{2}$ per aïllar $D$.

• La Sara proposa el Camí 3: plantejar un sistema de dues equacions quadràtiques igualant els mòduls dels costats oposats: $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$ i $|\vec{BC}| = |\vec{DA}|$.

1. a) Aplica tant el Camí 1 com el Camí 2 per trobar les coordenades de $D$, comprovant que tots dos mètodes condueixen al mateix resultat.
2. b) Explica detalladament per què el Camí 3 de la Sara és deficient i inadequat: quines altres configuracions geomètriques no paral·lelogràmiques satisfan aquestes igualtats de distàncies i quin problema algebraic genera resoldre aquest sistema?
3. c) Argumenta quin dels dos primers mètodes resulta conceptualment més directe i generalitzable a tres dimensions sense necessitat de recórrer a distàncies ni angles.

Una embarcació de Salvament Marítim amb base a Tarifa ha de fondejar dues balises intermèdies, $P$ i $Q$, al llarg del segment rectilini que uneix dues boies principals situades a $A(1, 3)$ i $B(19, 27)$ (coordenades en milles nàutiques referides a una estació costanera $O(0, 0)$). Les balises intermèdies han de dividir el trajecte orientat $\vec{AB}$ en tres trams iguals d'idèntic sentit, verificant $\vec{AP} = \vec{PQ} = \vec{QB}$.

1. a) Demostra formalment, utilitzant la relació entre punts i vectors de posició ($\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$), que el vector de posició de la balisa $P$ ve donat per $\vec{OP} = \dfrac{2\vec{OA}+\vec{OB}}{3}$ i obtén de manera raonada l'expressió anàloga per a $\vec{OQ}$.
2. b) Calcula les coordenades exactes de $P$ i $Q$, i calcula la distància total entre $A$ i $B$.
3. c) Un helicòpter de rescat efectua un vol de reconeixement segons el vector $\vec{CD} = (12, 16)$. Justifica amb rigor matemàtic si els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{CD}$ tenen la mateixa direcció, el mateix sentit i si són o no equipol·lents.