Exercicis: Raons de l'angle suma de dos angles

Calcula el valor exacte de $\sin(75^\circ)$ descomponent l'angle com la suma de dos angles notables ($45^\circ$ i $30^\circ$).

Determina el valor exacte de $\cos(105^\circ)$ utilitzant la fórmula del cosinus de la suma, sabent que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.

Troba el valor exacte de $\tan(75^\circ)$ aplicant la fórmula de la tangent de la suma a partir dels angles de $45^\circ$ i $30^\circ$. Racionalitza el resultat si és necessari.

Simplifica la següent expressió trigonomètrica a un sol terme numèric exacte aplicant les fórmules d'adició a la inversa:

$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$

Redueix la següent expressió a un valor numèric exacte:

$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$

Sabent que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ i $\cos \beta = \frac{12}{13}$, i que tant $\alpha$ com $\beta$ són angles aguts (pertanyents al primer quadrant), calcula el valor exacte de $\sin(\alpha + \beta)$.

Donats dos angles $\alpha$ i $\beta$ tals que $\tan \alpha = 3$ i $\tan \beta = 2$, determina el valor exacte de $\tan(\alpha + \beta)$.

Expressa $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en funció de les raons trigonomètriques de l'angle $x$ desenvolupant la fórmula de la suma corresponent i simplificant el resultat.

La Lucía necessita calcular el valor exacte de $\cos(105^\circ)$ sense calculadora i decideix descompondre l'angle com a suma de dos de notables: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$. En el seu examen escriu el desenvolupament següent:

En revisar la prova corregida, comprova que el professor ha qualificat l'exercici amb un zero.

1. a) Sense fer càlculs analítics, raona geomètricament mitjançant la posició en la circumferència goniomètrica per què el resultat de la Lucía ($\approx 0,97$) ésGeo impossible per a un angle de $105^\circ$.
2. b) Localitza i explica amb precisió l'error conceptual o de fórmula comès en la segona igualtat del seu desenvolupament.
3. c) Corregeix el procediment i obtén el valor exacte simplificat de $\cos(105^\circ)$.

Es consideren dos angles aguts desconeguts, $\alpha$ i $\beta$, dels quals només se sap que $\tan\alpha = 2$ i $\tan\beta = 3$.

1. a) Estima: Tenint en compte que en el primer quadrant la tangent és una funció estrictament creixent i que $\tan(45^\circ) = 1$, raona en quin quadrant s'ha de trobar l'angle suma $\alpha + \beta$. A partir d'aquesta deducció qualitativa, prediu quin signe (+ o -) tindrà necessàriament $\tan(\alpha+\beta)$ abans de fer cap operació.
2. b) Calcula: Aplica la fórmula de la tangent de l'angle suma per trobar el valor exacte de $\tan(\alpha+\beta)$.
3. c) Comprova: Valora si el valor numèric obtingut confirma la teva predicció del signe i determina la mesura exacta en graus de l'angle $\alpha + \beta$.

Donats els angles $\alpha$ i $\beta$ tals que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ amb $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ i $\cos \beta = \frac{5}{13}$ amb $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcula el valor exacte de $\cos(\alpha + \beta)$.

Demostra la següent identitat trigonomètrica desenvolupant el numerador mitjançant la fórmula corresponent i simplificant la fracció:

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$

En un projecte d'enginyeria solar, un panell fotovoltaic té una inclinació inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Per optimitzar la captació a l'hivern, un mecanisme augmenta la inclinació en un angle addicional de $15^\circ$. Calcula el valor exacte de $\tan(\alpha + 15^\circ)$ sense utilitzar aproximacions decimals, sabent que $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.

Simplifica l'expressió trigonomètrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de manera que quedi en funció únicament de $\cos x$ i/o $\sin x$.

Sabent que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ i que la tangent de l'angle suma és $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina el valor exacte de $\tan \beta$ plantejant l'equació corresponent a partir de la fórmula d'adició.

Un canó llança un projectil amb un angle d'elevació $\alpha$ respecte del vessant d'una muntanya, complint-se que $\sin \alpha = 0,6$ (sent $\alpha$ un angle agut). El mateix vessant té una inclinació $\beta$ respecte de l'horitzontal amb $\cos \beta = 0,96$ (sent $\beta$ agut). Troba el valor exacte del sinus de l'angle total de llançament respecte de l'horitzontal, és a dir, $\sin(\alpha + \beta)$.

Calcula de forma exacta el valor de l'expressió $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utilitza aquest resultat geomètric per trobar l'àrea exacta d'un paral·lelogram els costats adjacents del qual mesuren $8$ cm i $10$ cm, sabent que l'angle que formen és precisament la suma de $15^\circ$ i $30^\circ$.

En un experiment d'òptica, un feix de llum travessa dos prismes consecutius que desvien la seva trajectòria en el mateix pla. El primer prisma produeix una desviació $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, i el segon una desviació addicional $\beta$ tal que $\tan \beta = \frac{1}{2}$. Demostra que la desviació total $\alpha + \beta$ és exactament $45^\circ$ calculant la tangent de l'angle suma.

En una instal·lació fotovoltaica situada a Albacete, els mòduls es col·loquen sobre un vessant natural que té una inclinació ascendent d'angle agut $\beta$ respecte a l'horitzontal, verificant-se que $\tan\beta = \frac{7}{24}$. Els suports permeten inclinar les plaques un angle agut addicional $\alpha$ respecte al terra del vessant, de manera que la inclinació total sobre el pla horitzontal és $\alpha + \beta$. Per optimitzar la captació en els mesos d'hivern, el plec tècnic exigeix que l'angle total compleixi $\sin(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$, essent $\alpha + \beta < 90^\circ$.

1. a) A partir de $\tan\beta = \frac{7}{24}$, obtén els valors exactes de $\sin\beta$ i $\cos\beta$ justificant el signe segons el quadrant.
2. b) Determina el valor exacte de $\cos(\alpha + \beta)$ i calcula a partir d'aquest la fracció exacta que representa $\tan(\alpha + \beta)$.
3. c) Utilitza la fórmula de la tangent de la suma per plantejar una equació de primer grau i calcula el valor exacte de $\tan\alpha$. A partir d'aquesta dada, raona si l'ajust mecànic $\alpha$ sobre el terreny ha de ser més gran o més petit de $45^\circ$.

Es volen construir dos angles aguts $\alpha$ i $\beta$ que pertanyin al primer quadrant, $\alpha, \beta \in (0^\circ, 90^\circ)$, que compleixin de manera simultània aquestes dues condicions:

1) $\cos\alpha\cdot\cos\beta - \sin\alpha\cdot\sin\beta = 0$

2) $\tan\alpha = 3\cdot\tan\beta$

1. a) Reconeix la fórmula trigonomètrica corresponent al membre esquerre de la condició (1) i dedueix raonadament quina relació de complementarietat mantenen entre si $\alpha$ i $\beta$.
2. b) Amb aquesta relació, expressa $\tan\beta$ exclusivament en funció de $\tan\alpha$ mitjançant les raons trigonomètriques d'angles complementaris.
3. c) Substitueix el resultat anterior en la condició (2), resol l'equació obtinguda per trobar el valor exacte de $\tan\alpha$ i determina les mesures exactes en graus dels dos angles $\alpha$ i $\beta$.

Resol l'equació trigonomètrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ per a l'interval $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expressa les solucions de forma exacta en graus.

Troba totes les solucions exactes de l'equació $\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \cos x = 0$ en l'interval $[0, 2\pi)$.

Desenvolupa l'expressió $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ en funció exclusiva dels sinus i cosinus dels angles simples $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$. Agrupa els termes adequadament.

Un braç robòtic planar consta de dues baules. La primera baula forma un angle $\alpha$ amb l'horitzontal, on $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (estant al primer quadrant). La segona baula forma un angle $\beta$ de gir relatiu respecte de la prolongació de la primera baula. Si per aconseguir una peça crítica es requereix que la inclinació total de la segona baula respecte de l'horitzontal sigui tal que $\tan(\alpha + \beta) = 2$, calcula el valor exacte de $\tan \beta$.

En qualsevol triangle no rectangle $ABC$, sabent que la suma dels seus angles interiors és $A+B+C = 180^\circ$, demostra matemàticament la següent relació fonamental:

$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$

Un topògraf observa el terrat d'un edifici amb un angle d'elevació $\alpha$, complint-se que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Darrere d'aquest edifici, en la mateixa línia visual, hi ha una torre de telecomunicacions. L'angle addicional d'elevació des del terrat de l'edifici fins al capdamunt de la torre, mesurat des de la visual anterior, és $\beta$, amb $\sin \beta = \frac{7}{25}$. Sabent que tots dos angles són aguts, calcula el valor exacte del cosinus de l'angle total d'elevació $\alpha + \beta$ cap al capdamunt de la torre.

Resol el següent sistema d'equacions trigonomètriques per a $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ i dona els valors exactes de $x$ i $y$ en radians:

$\sin(x+y) = 1$

$\cos x \sin y = \frac{1}{2}$

Un avió de reconeixement vola inicialment amb un rumb que forma un angle $\alpha$ cap al nord de l'est, verificant-se que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Un fort corrent de vent lateral desvia la seva trajectòria un angle addicional $\beta$ cap al nord, de manera que el rumb efectiu sobre el terra forma un angle $\alpha + \beta$ amb l'est. Si la torre de control mesura que la tangent del rumb efectiu és $\frac{12}{5}$, troba els valors exactes de $\sin \beta$ i $\cos \beta$ sense recórrer al càlcul dels angles amb calculadora.

Per resoldre en l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$ l'equació trigonomètrica:

dos estudiants proposen mètodes de resolució diferents:

• Mètode de la Sara: Aplica directament les fórmules d'addició per al sinus i el cosinus de la suma en el membre esquerre, agrupa els termes semblants i resol l'equació simple resultant.

• Mètode d'en Marcos: Realitza el canvi $u = x + 45^\circ$, eleva al quadrat tots dos membres de l'equació $\sin u + \cos u = 1$ per obtenir $(\sin u + \cos u)^2 = 1$, i utilitza la identitat fonamental per aïllar $u$ i després $x$.

1. a) Desenvolupa completament el mètode de la Sara i troba totes les solucions exactes de l'equació en l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$.
2. b) Desenvolupa el mètode d'en Marcos fins a trobar les solucions aparents per a $x$. Explica detalladament per què elevar al quadrat introdueix solucions falses (estranyes) en aquest context i localitza quines són comprovant-les en l'equació original.
3. c) Justifica per què el mètode de la Sara basat en les fórmules d'addició és conceptualment superior i més segur que recórrer a potències.

En qualsevol triangle no rectangle $ABC$, les mesures dels seus angles interiors verifiquen que $A + B + C = 180^\circ$. En un cas concret, se'n coneixen les tangents de dos dels seus angles: $\tan A = 2$ i $\tan B = 3$.

1. a) Sabent que $C = 180^\circ - (A + B)$, aplica les propietats dels angles suplementaris per demostrar la relació que hi ha entre $\tan C$ i $\tan(A + B)$.
2. b) Aplica la fórmula de l'addició de la tangent per calcular el valor exacte de $\tan(A+B)$ i dedueix el valor numèric de $\tan C$. A partir d'aquest, troba la mesura exacta en graus de l'angle $C$ i raona si el triangle és acutangle o obtusangle.
3. c) Comprova numèricament si per a aquest triangle es verifica la igualtat $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$. Tot seguit, demostra algebraicament que aquesta relació és una identitat que es compleix per a qualsevol triangle no rectangle partint de la igualtat $\tan(A+B) = -\tan C$.