Exercicis: Resolució de triangles obliqüangles

En un triangle $ABC$, es coneixen els costats $a = 5$ cm i $b = 8$ cm, i l'angle comprès entre ells $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del costat $c$.

Els tres costats d'un triangle mesuren $a = 3$ m, $b = 5$ m i $c = 7$ m. Determina la mesura de l'angle de major amplitud d'aquest triangle.

En un triangle $ABC$, els angles $A$ i $B$ mesuren $30^\circ$ i $105^\circ$ respectivament. Si el costat oposat a l'angle $A$ té una longitud de $a = 8$ cm, troba la longitud del costat $c$ (oposat a l'angle $C$).

En un triangle es coneixen les dades següents: $a = 12$ m, $b = 8$ m i l'angle $A = 120^\circ$. Calcula la mesura de l'angle $B$.

Troba l'àrea d'un triangle $ABC$ del qual coneixem els costats $b = 14$ cm, $c = 20$ cm i l'angle que formen, $A = 60^\circ$.

Els costats adjacents d'un paral·lelogram mesuren $6$ cm i $10$ cm, i formen un angle obtús de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal major del paral·lelogram.

En un triangle isòsceles, el costat desigual (la base) mesura $12$ m i els angles iguals mesuren $75^\circ$ cadascun. Determina la longitud dels costats iguals utilitzant el teorema del sinus.

En un triangle $ABC$, el costat $a$ mesura $10$ cm i l'angle oposat $A$ mesura $45^\circ$. Calcula el radi $R$ de la circumferència circumscrita a aquest triangle.

En Marcos ha de calcular la longitud del costat $a$ d'un triangle del qual coneix $b = 5\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ i l'angle comprès $A = 120^\circ$. A la seva llibreta escriu la resolució següent:

1) Assenyala l'error de càlcul que ha comès en Marcos en operar amb els signes.

2) Sense necessitat de refer els comptes encara, raona per què un resultat de $a = 7\text{ cm}$ és geomètricament impossible en aquest triangle (relaciona l'amplitud de l'angle $A$ amb les mesures relatives dels costats).

3) Corregeix el procediment i calcula el valor correcte del costat $a$ arrodonit a dos decimals.

En un triangle coneixem els costats $a = 6\text{ cm}$ i $b = 6\text{ cm}$, i l'angle comprès entre ells $C = 62^\circ$.

1) Estima: abans de fer cap càlcul numèric amb fórmules, raona si el tercer costat $c$ serà lleugerament més gran, més petit o igual a $6\text{ cm}$. Per a justificar-ho, imagina com seria la figura si l'angle fos exactament de $60^\circ$ (triangle equilàter) i analitza què passa en obrir l'angle dos graus més.

2) Comprova: calcula amb exactitud la longitud del costat $c$ mitjançant el teorema del cosinus (arrodoneix a dos decimals).

3) Valora si el resultat obtingut confirma la teva estimació qualitativa i calcula l'error absolut que hauries comès si haguessis aproximat directament $c \approx 6\text{ cm}$.

Dos vaixells surten simultàniament d'un port amb rutes rectilínies que formen entre si un angle de $75^\circ$. El primer vaixell navega a una velocitat constant de $15$ nusos i el segon a $20$ nusos. Calcula la distància en milles nàutiques que separarà tots dos vaixells al cap de $2$ hores de navegació.

Per mesurar l'alçària $h$ d'un aerogenerador, ens situem en un punt $A$ a terra i mesurem l'angle d'elevació fins al punt més alt, i obtenim $40^\circ$. Avancem $30$ metres en línia recta cap a la base de l'aerogenerador fins a arribar a un punt $B$, des d'on el nou angle d'elevació és de $55^\circ$. Calcula l'alçària de l'aerogenerador.

En el disseny d'un braç robòtic articulat, el primer esglaó mesura $40$ cm i el segon mesura $35$ cm. Si l'angle que forma el primer esglaó amb la base horitzontal és de $50^\circ$ i l'extrem del segon esglaó toca exactament la base horitzontal, calcula les dues possibles distàncies des de l'origen del braç fins al punt de contacte en la base.

Un terreny agrícola té forma de quadrilàter $ABCD$. Les mesures dels seus costats són $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m i $DA = 60$ m. Sabent que l'angle al vèrtex $B$ és de $70^\circ$, calcula l'àrea total del terreny dividint-lo en dos triangles.

Dos remolcadors tiren d'una barcassa mitjançant dos cables que formen entre si un angle de $45^\circ$. Si les tensions exercides pels cables són de $4500$ N i $6000$ N, troba la magnitud de la força resultant i l'angle que forma aquesta resultant amb el cable que exerceix la força de $6000$ N.

Un dron de vigilància es troba en un punt $C$ observant un tram recte de carretera delimitat per dues ciutats $A$ i $B$ que disten $5$ km entre si. Els angles de depressió des del dron cap a les ciutats són tals que en el triangle format, l'angle a $A$ és de $35^\circ$ i l'angle a $B$ és de $62^\circ$. Calcula l'altitud a la qual vola el dron respecte a la carretera.

Un heptàgon regular (polígon de $7$ costats iguals) està inscrit en una circumferència de $10$ cm de radi. Utilitzant el teorema del cosinus i/o del sinus en els triangles centrals, calcula el perímetre i l'àrea d'aquest heptàgon.

Una placa solar de $2$ metres de longitud s'instal·larà sobre una teulada plana que té una inclinació de $15^\circ$ respecte a la horitzontal. Per maximitzar-ne el rendiment, la placa ha de formar un angle de $35^\circ$ respecte a la horitzontal. Calcula la longitud $x$ del suport vertical que s'ha de col·locar a l'extrem superior de la placa per unir-la amb la teulada.

D'un triangle se'n coneixen els tres costats: $a = 4\text{ cm}$, $b = 7\text{ cm}$ i $c = 10\text{ cm}$. Per a resoldre'l completament cal trobar-ne els tres angles. Dos companys proposen camins diferents per a calcular el segon angle després d'haver obtingut el primer:

• Lucía: «Calculo primer l'angle menor, $A$, amb el teorema del cosinus. Després, per a fer comptes més ràpids i senzills, calculo l'angle major, $C$, usant el teorema del sinus ($\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$), i finalment $B = 180^\circ - A - C$».

• Sergio: «És perillós calcular $C$ amb el teorema del sinus. És molt més segur calcular directament $C$ amb el teorema del cosinus, o bé usar el teorema del sinus per a calcular $B$, però mai per a $C$».

1) Justifica matemàticament l'objecció d'en Sergio: quina limitació té la funció $\arcsin$ a la calculadora en buscar angles que podrien ser obtusos?

2) Comprova l'error del mètode de la Lucía: calcula l'angle $A$ amb el teorema del cosinus i mostra quin valor erroni per a $C$ proporcionaria el teorema del sinus si s'aplica directament.

3) Aplica el camí segur proposat per en Sergio per a calcular amb precisió els tres angles del triangle.

Durant la campanya de prevenció d'incendis de la Junta d'Andalusia (dispositiu INFOCA), dues torres de vigilància forestal, Torre Almadén ($A$) i Torre Yelmo ($B$), situades a una distància de $12\text{ km}$ en línia recta, detecten una columna de fum en un punt $C$. Els observadors prenen referències respecte al segment rectilini $AB$: des de la torre $A$ s'observa el fum sota un angle de $48^\circ$, i des de la torre $B$, sota un angle de $74^\circ$ (totes dues visuals dirigides cap al mateix costat de la línia $AB$).

1) Modela geomètricament la situació i calcula la distància en línia recta des de cadascuna de les dues torres fins al focus de l'incendi $C$.

2) Per a actuar sobre el terreny s'avaluen dues opcions:

• Un helicòpter bombarder amb base a la torre $A$, que s'enlaira immediatament i vola en línia recta cap al foc a una velocitat constant de $190\text{ km/h}$.

• Un vehicle autobomba tot terreny amb base a la torre $B$, que avança a una mitjana de $45\text{ km/h}$ per pistes forestals, recorrent un trajecte real que s'estima un $25\,\%$ més gran que la distància en línia recta.

Calcula el temps de desplaçament (en minuts i segons) de cada mitjà i determina raonadament quin arribarà primer al focus de l'incendi.

Els costats d'un triangle vénen donats per les expressions $x$, $x+2$ i $x+4$ centímetres. Sabent que l'angle de major amplitud del triangle mesura $120^\circ$, planteja l'equació corresponent, troba el valor exacte de $x$ i calcula el perímetre del triangle.

En un triangle $ABC$, es sap que el costat $a = 10$ cm, l'angle $B = 30^\circ$ i que l'àrea total del triangle és de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Planteja un sistema per trobar el valor exacte dels costats $b$ i $c$, i esbrina la mesura dels angles $A$ i $C$.

Demostra geomètricament o mitjançant l'ús dels teoremes trigonomètrics (Sinus i Cosinus) que en qualsevol triangle $ABC$ es compleix la relació de projeccions: $a = b \cos C + c \cos B$. A continuació, utilitza aquesta identitat juntament amb el teorema del sinus per demostrar la fórmula del sinus de la suma de dos angles: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.

Les agulles d'un rellotge de paret mesuren $12$ cm (la minutera) i $8$ cm (l'agulla horària). Calcula la distància exacta en centímetres que separa les puntes de totes dues agulles quan el rellotge marca exactament les 10:10. Tingues en compte el desplaçament proporcional de l'agulla horària.

Dos avions volen a la mateixa altitud. L'avió 1 es troba en el punt $A$ i vola cap al Nord a una velocitat constant de $800$ km/h. L'avió 2 es troba en el punt $B$, situat a $200$ km exactes al Nord-est ($45^\circ$ respecte al Nord) del punt $A$. Si l'avió 2 vola cap a l'Oest a una velocitat constant $v$ i tots dos col·lideixen en un punt $C$, determina el valor de la velocitat $v$ i el temps que triguen a col·lidir.

En un triangle $ABC$ de costats $a=13$ cm, $b=14$ cm i $c=15$ cm, es tracen la circumferència circumscrita de radi $R$ i la circumferència inscrita de radi $r$. Calcula l'àrea del triangle utilitzant la fórmula d'Heró i, a partir d'aquesta, obtén els valors exactes de $R$ i $r$.

Atès el triangle $ABC$ amb costats $a = 7$ cm, $b = 5$ cm i $c = 8$ cm. Es traça la bisectriu interior de l'angle $C$, que talla el costat $AB$ en el punt $D$. Aplicant el teorema del cosinus per trobar l'angle $C$ i utilitzant les propietats de les àrees o el teorema del sinus, calcula la longitud exacta del segment bisectriu $CD$ (denotat com a $x$).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una piràmide regular de base quadrada té un costat de la base de $100$ m. Sabent que l'angle diedre que formen dues cares triangulars adjacents és de $105^\circ$, planteja la geometria de la secció transversal adequada i calcula l'alçària total de la piràmide.

Un perit topògraf necessita reconstruir les mesures originals d'una parcel·la triangular $ABC$ a partir d'un informe antic incomplet que només recull tres dades exactes:

• La superfície de la parcel·la és de $80\text{ m}^2$.

• El límit $b$ mesura exactament el doble que el límit $a$ ($b = 2a$).

• L'angle comprès $C$ compleix que $\cos C = 0,6$.

1) A partir de la identitat fonamental de la trigonometria i la fórmula de l'àrea d'un triangle en funció de dos costats i l'angle comprès, planteja una equació i dedueix les longituds exactes dels costats $a$ i $b$.

2) Calcula la longitud del tercer costat $c$ aplicant el teorema del cosinus.

3) Problema invers: raona per què existeix una altra parcel·la no congruent amb l'anterior que té exactament la mateixa superfície ($80\text{ m}^2$) i les mateixes longituds $a$ i $b$, però una forma diferent. Troba el valor del seu nou angle comprès $C'$, calcula la longitud que tindria el costat $c$ en aquesta segona configuració i determina quina de les dues parcel·les requeriria menys metres de tanca per al seu tancament perimetral.

L'Elena resol a classe de Matemàtiques un exercici de delimitació d'un terreny triangular $ABC$ del qual es coneixen $a = 14\text{ m}$, $b = 20\text{ m}$ i l'angle $A = 35^\circ$. Presenta a la pissarra el desenvolupament següent:

«Aplico el teorema del sinus:

Com que els tres angles sumen $180^\circ$, tenim $C = 180^\circ - 35^\circ - 55^\circ = 90^\circ$. Com que el triangle resulta ser rectangle en $C$, calculo el costat restant $c$ fent servir el teorema de Pitàgores: $c = \sqrt{20^2 - 14^2} = \sqrt{204} \approx 14,28\text{ m}$».

1) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per l'Elena:

a) Per què la seva deducció per a l'angle $B$ és incompleta i omet una solució geomètrica vàlida?

b) Encara en el supòsit que l'angle $C$ fos de $90^\circ$, per què el plantejament que fa del teorema de Pitàgores és fals?

2) Resol el problema amb total rigor: determina els dos possibles triangles que compleixen les dades inicials, indicant per a cadascun d'ells els valors dels angles $B$ i $C$ i la longitud del costat $c$.

3) Si tancar el perímetre de la finca costa $45\text{ \euro/m}$, calcula la diferència econòmica que suposaria optar per una configuració o una altra.

Repte del tema. Redissenya la xarxa de vigilància ambiental del teu municipi utilitzant el visor oficial de l'Institut Geogràfic Nacional (IGN, Iberpix).

1. Recollida de dades i recompte: Selecciona 4 punts elevats del teu entorn. Aplica tècniques de recompte ($C_{4,3}$) per calcular quants triangles de cobertura diferents podries formar. Tria'n un, anota les seves coordenades o distàncies i expressa els seus angles tant en graus sexagesimals com en radians.

2. Resolució d'oblicangles: Determina tots els costats i angles desconeguts d'aquest triangle aplicant amb precisió els teoremes del sinus i del cosinus a GeoGebra o en un full de càlcul.

3. Càlcul d'altures i raons compostes: Per instal·lar una antena sobre un dels vèrtexs, planteja el seu càlcul mitjançant resolució de triangles rectangles amb visuals esglaonades (per exemple, a distàncies $d$ i $2d$, o amb angles $\alpha$ i $2\alpha$). Utilitza les fórmules de l'angle doble o de la resta d'angles per aïllar l'altura de la torre sense mesurar-la directament.

4. Proposta raonada: Elabora un informe tècnic breu amb la captura del mapa, el desenvolupament analític de les raons trigonomètriques emprades i les conclusions de cobertura.

Es valorarà:

• Rigor en la conversió de graus a radians i en l'ús d'identitats (suma/resta o angle doble).

• Resolució algebraica i geomètrica correcta de triangles rectangles i oblicangles mitjançant els teoremes del sinus i del cosinus.

• Aplicació adequada del recompte combinatori i precisió amb les dades cartogràfiques reals.