Exercicis: Progressions aritmètiques

Escriu el terme general i calcula el vintè terme de la progressió aritmètica següent: $7, 11, 15, 19, \dots$

En una progressió aritmètica, el primer terme és $a_1 = -5$ i la diferència és $d = \frac{3}{2}$. Calcula el valor del terme que ocupa la posició $40$.

Dada la successió definida pel terme general $b_n = 5 - 3n$, demostra que es tracta d'una progressió aritmètica i determina el valor de la seva diferència.

Calcula la suma dels primers $30$ termes d'una progressió aritmètica sabent que el primer terme és $a_1 = 4$ i el trentè terme és $a_{30} = 91$.

El vuitè terme d'una progressió aritmètica és $32$ i la seva diferència és $d = 4$. Troba el primer terme $a_1$ i l'expressió del seu terme general $a_n$.

Esbrina si el nombre $102$ pertany a la progressió aritmètica el terme general de la qual és $c_n = 4n - 6$. En cas afirmatiu, indica quina posició ocupa en la successió.

Calcula la suma dels primers $50$ múltiples positius de $6$ (és a dir, la suma de la successió $6, 12, 18, \dots$).

Els tres primers termes d'una progressió aritmètica són $x$, $x+4$ i $2x-1$. Calcula el valor numèric de $x$ i escriu quins són aquests tres primers termes.

En Marcos ha de resoldre l'exercici següent: «Interpola $3$ mitjans aritmètics entre els nombres $8$ i $28$». En el seu examen escriu el següent:

«Com que cal intercalar $3$ nombres, la diferència entre termes consecutius es calcula dividint la distància total entre $3$:

Per tant, els termes demanats són: $8 + 6,67 = 14,67$; $14,67 + 6,67 = 21,34$; i $21,34 + 6,67 = 28,01$».

1. a) Localitza l'error conceptual comès per en Marcos i explica, utilitzant la idea d'«intervals» o «salts» entre termes, per què el seu denominador és incorrecte.
2. b) Corregeix el desenvolupament calculant el valor exacte de la diferència $d$ i escriu els $3$ mitjans aritmètics correctes.

L'Alejandro prepara una cursa popular de $10\text{ km}$ al seu municipi. La seva entrenadora li ha pautat un pla de $20$ dies seguits de cursa: el primer dia recorrerà $2\text{ km}$ i, cada dia successiu, incrementarà la distància en exactament $300\text{ m}$ ($0,3\text{ km}$) respecte al dia anterior.

1. a) Abans d'aplicar cap fórmula, fes una estimació raonada del volum total: si corregués tots els dies al ritme del primer dia acumularia $40\text{ km}$, i si corregués tots els dies la distància de l'últim dia n'acumularia bastant més. Estima mentalment entre quins dos valors rodons (múltiples de $10$) estarà la suma total i respon si consideres versemblant que superi els $100\text{ km}$.
2. b) Modela la distància diària mitjançant una progressió aritmètica, determina la distància que correrà el dia $20$ i calcula amb la fórmula de la suma el total exacte de quilòmetres recorreguts durant els $20$ dies.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial ha estat encertada i reflexiona sobre si l'increment diari proposat és adequat per evitar lesions.

Una empresa constructora estableix un pla de bonificacions mensuals per motivar els seus empleats. El primer mes un empleat rep $50$ €, el segon mes $65$ €, el tercer mes $80$ €, i així successivament. Quants diners en total haurà rebut l'empleat en concepte de bonificacions al cap de $2$ anys complets de treball?

Una ciclista comença el seu pla d'entrenament recorrent $12$ km el primer dia. Per millorar la seva resistència, cada dia augmenta la distància del seu recorregut en $1,5$ km respecte al dia anterior. Quin dia del seu entrenament recorrerà exactament $42$ km? Quants quilòmetres totals haurà recorregut sumant tots els dies fins a aquest dia inclòs?

En una progressió aritmètica se sap que el quart terme és $15$ i el desè terme és $39$. Planteja un sistema d'equacions per calcular la diferència $d$ i el primer terme $a_1$. Posteriorment, troba la suma dels $20$ primers termes d'aquesta progressió.

Interpola cinc medis aritmètics entre els nombres $-8$ i $22$. Escriu la progressió aritmètica completa resultant indicant la seva diferència.

Un teatre té les seves butaques distribuïdes en forma de ventall. La primera fila té $20$ butaques, la segona $24$, la tercera $28$, i així successivament en progressió aritmètica. Si el teatre té un total de $15$ files, quantes butaques hi ha a l'última fila? Quina és la capacitat total (nombre total de butaques) del teatre?

Un objecte en caiguda lliure en un planeta fictici recorre $4,9$ m en el primer segon. En cada segon posterior, la distància recorreguda durant aquest segon augmenta en $9,8$ m respecte a la distància recorreguda en el segon anterior. Quina distància recorre l'objecte exclusivament durant el desè segon de la seva caiguda?

En una progressió aritmètica, el primer terme és $a_1 = 3$ i la diferència és $d = 2$. Si la suma dels $n$ primers termes és $S_n = 360$, planteja l'equació de segon grau corresponent i determina el nombre de termes $n$ que s'han sumat.

Per repoblar un bosc després d'un incendi, una brigada forestal planta arbres de manera progressiva. La primera setmana aconsegueixen plantar $120$ arbres, però a causa de la fatiga acumulada i de la menor disponibilitat de terreny accessible, cada setmana planten $5$ arbres menys que la setmana anterior. Quantes setmanes transcorreran fins que la brigada hagi plantat un total exacte de $1470$ arbres? (Nota: Analitza matemàticament les possibles solucions i justifica quina té sentit en el context del problema).

Després dels incendis forestals patits a la comarca de la Sierra de la Culebra (Zamora), un col·lectiu ambiental organitza jornades dominicals de reforestació amb espècies autòctones. Durant la primera setmana aconsegueixen plantar $140$ plançons. En les setmanes successives, gràcies a l'arribada continuada de nous voluntaris, aconsegueixen plantar cada setmana $25$ plançons més que en l'anterior.

1. a) Escriu l'expressió del terme general $a_n$ que determina quants plançons es planten en la setmana $n$.
2. b) L'objectiu de la campanya municipal és assolir un acumulat d'almenys $3\,500$ plançons plantats en total. Planteja l'equació de segon grau que permet esbrinar en quina setmana s'assolirà aquesta fita.
3. c) Resol l'equació, indica quantes setmanes completes de feina seran necessàries i interpreta el significat algebraic de la solució negativa descartant-la amb un argument contextual.

En una progressió aritmètica se sap que el terme en cinquena posició val $a_5 = 19$ i el terme en divuitena posició val $a_{18} = 71$. Per determinar la diferència $d$ i el primer terme $a_1$, dos estudiants proposen camins diferents:

• La Paula planteja un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites a partir de la fórmula clàssica:

• En Sergio proposa relacionar directament ambdós termes comptant el nombre de salts entre ells:

1. a) Resol el problema seguint ambdós mètodes i comprova que s'obtenen valors idèntics per a $d$ i $a_1$.
2. b) Justifica quin mètode resulta més eficient en aquest cas (menor nombre de passos operatius i menor risc d'error algebraic).
3. c) Utilitzant el mètode que consideris més avantatjós, raona formalment si el nombre $250$ pot ser un terme d'aquesta successió o si és impossible que hi pertanyi.

En una progressió aritmètica de diferència $d = 3$, el primer terme és $a_1 = -10$. Calcula la suma dels termes compresos entre la posició $20$ i la posició $40$, totes dues incloses.

Els angles interiors d'un hexàgon convex estan en progressió aritmètica. Si se sap que l'angle més gran mesura $140^\circ$, calcula la mesura dels altres cinc angles interiors de l'hexàgon. (Recorda que la suma dels angles interiors d'un polígon de $n$ costats és $180^\circ \cdot (n-2)$).

Determina els valors del paràmetre $k$ perquè les expressions algebraiques $k^2 - 2$, $3k + 1$ i $k^2 + 4k$ siguin tres termes consecutius d'una progressió aritmètica. Per a cada valor de $k$ trobat, escriu els tres termes corresponents.

La suma dels $n$ primers termes d'una successió ve donada per l'expressió $S_n = 2n^2 + 5n$. Troba l'expressió matemàtica del terme general $a_n$ i demostra rigorosament que aquesta successió és una progressió aritmètica.

En un magatzem industrial s'apilen tubs d'acer cilíndrics de manera que cada fila té exactament un tub menys que la fila immediatament inferior sobre la qual descansa. Si la fila més alta (la cúspide) té $1$ un sol tub i en total hi ha $210$ tubs apilats, quantes files de tubs componen l'apilament? Quants tubs hi ha a la fila base recolzada a terra?

Troba tres nombres que estiguin en progressió aritmètica sabent que la seva suma és $24$ i que la suma dels seus quadrats és $242$.

Demostra algebraicament que si els nombres $a^2$, $b^2$ i $c^2$ estan en progressió aritmètica, aleshores els nombres $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ i $\frac{1}{a+b}$ també formen una progressió aritmètica.

Una empresa adquireix una màquina industrial per $32000$ € i arriba a un acord per pagar-la en quotes mensuals que formen una progressió aritmètica. Si se sap que la primera quota a pagar és de $500$ € i l'última quota serà de $2700$ €, en quants mesos saldarà l'empresa el seu deute? Quin és l'increment mensual exacte de la quota respecte al mes anterior?

En lloc de donar-te els termes d'una progressió aritmètica perquè en calculis la suma, es coneix únicament la funció polinòmica que proporciona la suma acumulada dels seus $n$ primers termes:

1. a) Dedueix de manera raonada el valor del primer terme $a_1$ avaluant adequadament $S_1$.
2. b) A partir del principi conceptual $a_n = S_n - S_{n-1}$ (per a tot $n \ge 2$), obtén l'expressió simplificada del terme general $a_n$ en funció de $n$.
3. c) Demostra formalment que la successió obtinguda és una progressió aritmètica calculant la diferència $a_n - a_{n-1}$ i verificant que és constant.
4. d) Planteja ara el problema invers complementari: dissenya l'expressió algebraica de la suma $S_n$ corresponent a una progressió aritmètica el primer terme de la qual sigui $a_1 = 10$ i la diferència de la qual sigui $d = -3$. Comprova que la teva expressió és correcta calculant amb ella $S_4$ i contrastant-la amb la suma manual dels quatre primers termes.

Un auditori municipal a Saragossa projecta renovar les butaques de la seva platea principal amb una disposició en trapezi esglaonat. La normativa tècnica i el disseny de l'espai imposen les condicions següents:

1. La primera fila (la més propera a l'escenari) tindrà $a_1 = 15$ seients.

2. Cada fila posterior tindrà exactament $2$ seients més que l'anterior ($d = 2$).

3. Per seguretat i amplada de les vies d'evacuació, l'aforament total del recinte no pot depassar sota cap concepte els $650$ espectadors, però l'ajuntament exigeix maximitzar l'aforament sense sobrepassar aquest límit.

4. La profunditat física de la sala no permet construir més de $25$ files.

1. a) Modela algebraicament la capacitat acumulada $S_n$ en funció del nombre de files $n$.
2. b) Planteja la雪 inequació d'aforament $S_n \le 650$, resol l'equació quadràtica associada i determina, justificant la tria en el conjunt dels nombres naturals, el nombre exacte de files $n$ que s'han d'instal·lar per aconseguir l'aforament màxim permès.
3. c) Indica quantes butaques hi haurà a l'última fila instal·lada i a quant puja l'aforament total definitiu de l'auditori.
4. d) Si per motius de visibilitat tècnica es decideix finalment suprimir les $5$ primeres files completes (començant el públic a asseure's a partir del que abans era la fila $6$) però mantenint la mateixa última fila calculada en l'apartat anterior, quantes butaques útils quedaran a l'auditori? Resol-ho aplicant les propietats de la suma de progressions aritmètiques sense calcular fila per fila.