Exercicis: Sistemes de tres equacions i tres incògnites

Resol el següent sistema d'equacions lineals, que ja es troba esglaonat, utilitzant el mètode de substitució cap enrere:

$x + 2y - z = 4$

$3y + z = 5$

$2z = 4$

Aplica el mètode de Gauss per triangular i resoldre el següent sistema d'equacions:

$x - y + z = 2$

$2x + y - z = 1$

$x + 2y + z = 7$

Comprova si la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ és solució del següent sistema. Justifica la teva resposta.

$3x + y - z = 0$

$x - 2y + z = 5$

$2x + y + z = 3$

La suma de tres nombres és $12$. El primer més el segon sumen $7$. El segon més el tercer sumen $9$. Planteja un sistema de tres equacions amb tres incògnites i determina el valor d'aquests nombres.

Triangula el següent sistema mitjançant el mètode de Gauss i indica si és un Sistema Incompatible (SIN):

$x + y + z = 1$

$2x + y - z = 0$

$3x + 2y = 5$

Resol el següent sistema on a cada equació falta una incògnita:

$x + y = 5$

$y + z = 7$

$x + z = 6$

Aplica el mètode de Gauss al sistema següent i comprova que es tracta d'un Sistema Compatible Indeterminat (SCI) quan s'obté una equació del tipus $0 = 0$:

$x - y + 2z = 3$

$-2x + 2y - 4z = -6$

$3x - 3y + 6z = 9$

Escriu un sistema lineal de tres equacions amb tres incògnites la solució única del qual sigui la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.

Marcos està resolent un sistema de tres equacions amb tres incògnites i, després d'aplicar correctament les primeres transformacions del mètode de Gauss, arriba al sistema esglaonat següent:

En el seu quadern, Marcos conclou el següent:

«Com que l'última fila és $0z = 0$, aïllo i obtinc $z = \frac{0}{0} = 0$. En substituir en la segona fila resulta $y + 3\cdot 0 = 4 \implies y = 4$. Finalment, a la primera fila queda $x + 2\cdot 4 - 0 = 5 \implies x = -3$. Per tant, el sistema és compatible determinat i la seva única solució és la terna $(-3, 4, 0)$».

Identifica l'error conceptual que ha comès Marcos en interpretar la fila $0z = 0$, explica detalladament per què la seva deducció és matemàticament incorrecta i corregeix l'exercici: classifica el sistema com correspon i troba l'expressió general de totes les seves solucions en funció d'un paràmetre real $\lambda$.

Dissenya un sistema lineal de tres equacions amb tres incògnites ($x$, $y$, $z$) que compleixi simultàniament aquestes tres condicions:

1. Ja ha d'estar en forma esglaonada (triangular), de manera que pugui resoldre's directament per substitució cap enrere sense necessitat d'aplicar transformacions prèvies.

2. Cap dels coeficients de les incògnites ni dels termes independents pot ser igual a $0$ ni a $1$.

3. La seva única solució ha de ser exactament la terna $(2, -1, 3)$.

Explica de manera raonada el procés invers que segueixes per construir cada equació, de baix cap a dalt (començant per la tercera i acabant a la primera), i comprova formalment que el teu sistema condueix a aquesta solució.

En una cafeteria es venen tres tipus d'entrepans: de pernil, de formatge i de truita. Un grup d'amics demana $3$ de pernil, $2$ de formatge i $1$ de truita, i paga $14$ euros. Un altre grup demana $2$ de pernil, $1$ de formatge i $3$ de truita, i paga $13$ euros. Un tercer grup demana $1$ de pernil, $3$ de formatge i $2$ de truita, i paga $15$ euros. Planteja i resol un sistema per calcular el preu de cada tipus d'entrepà.

L'edat d'un avi, el seu fill i el seu nét sumen $120$ anys. L'avi té exactament el doble d'anys que el fill. A més, el fill té $30$ anys més que el nét. Determina l'edat de cadascun d'ells plantejant un sistema de tres equacions.

Resol el sistema compatible indeterminat següent i expressa les seves infinites solucions en funció d'un paràmetre $\lambda$:

$x + 2y - z = 4$

$2x - y + 3z = 3$

$3x + y + 2z = 7$

En un partit de bàsquet, un jugador ha anotat un total de $15$ canastres, aconseguint $30$ punts. Sabent que el nombre de canastres de dos punts és el triple que el de canastres de tres punts, i que també ha anotat tirs lliures (que valen un punt), planteja un sistema d'equacions per esbrinar quantes canastres de cada tipus ha encistellat.

Resol el sistema d'equacions lineals següent que conté coeficients fraccionaris. Simplifica les equacions abans d'aplicar el mètode de Gauss:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z = 1$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 2$

$\frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} = 3$

Troba els valors del paràmetre $k$ per als quals el sistema següent és incompatible:

$x + y - z = 2$

$2x - y + z = 1$

$3x + y - z = k$

Tres màquines A, B i C fabriquen peces en una indústria. Treballant juntes, la màquina A i la B fabriquen $50$ peces per hora. La màquina B i la C fabriquen juntes $70$ peces per hora. Finalment, la màquina A i la C fabriquen juntes $60$ peces per hora. Calcula quantes peces per hora fabrica cada màquina individualment.

En un triangle, la suma dels seus tres angles interiors $A$, $B$ i $C$ és $180^{\circ}$. L'angle $A$ és igual a la suma dels angles $B$ i $C$. A més, l'angle $B$ és el doble de l'angle $C$. Planteja un sistema de tres equacions i determina la mida dels tres angles.

Per resoldre el sistema d'equacions lineals següent:

dues alumnes proposen estratègies inicials diferents:

• Estratègia de Marta (Gauss directe): Mantenir l'ordre de les equacions i utilitzar directament la primera fila ($3x - y + 2z = 7$) com a fila pivot per fer zeros a la columna de les $x$.

• Estratègia d'Irene (Gauss amb pivot unitari): Intercanviar prèviament la primera i la segona equació perquè el coeficient de $x$ a la fila pivot sigui $1$, i a partir d'aquí realitzar les combinacions lineals per anul·lar els termes en $x$ de les altres dues files.

Analitza raonadament els avantatges i inconvenients de cada estratègia (atenent a l'aparició de coeficients fraccionaris i a la probabilitat de cometre errors de càlcul). Justifica quina de les dues opcions resulta més convenient i aplica-la pas a pas fins a esglaonar el sistema i trobar la seva solució.

Una empresa de paqueteria urgent a Sevilla renova la seva flota de repartiment adquirint un total de $20$ vehicles entre tres tecnologies de baixes emissions: furgonetes elèctriques pures ($x$), furgonetes híbrides endollables ($y$) i furgonetes de gas natural comprimit ($z$). Es disposa de la informació següent sobre la compra:

• El cost mitjà d'adquisició és de $45\,000$ € per cada furgoneta elèctrica, $35\,000$ € per cada híbrida i $25\,000$ € per cada furgoneta de gas, assolint una inversió total de $670\,000$ €.

• Per política mediambiental interna, el nombre de furgonetes elèctriques adquirides ha de coincidir exactament amb la suma del nombre d'híbrides més el doble de les de gas natural.

Planteja el sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites que modelitza la situació, resol-lo aplicant el mètode d'eliminació de Gauss i interpreta el resultat indicant si la solució obtinguda és viable i quants vehicles de cada tipus integren la nova flota.

Discuteix el sistema d'equacions següent en funció dels valors del paràmetre $m$. Indica per a quins valors de $m$ el sistema és Compatible Determinat, Compatible Indeterminat o Incompatible.

$x + y + z = 1$

$x + my + z = m$

$x + y + m^{2}z = m^{2}$

La suma de les tres xifres d'un nombre és $15$. Si s'inverteix l'ordre de les xifres, el nombre resultant és $198$ unitats més gran que el nombre original. A més, la xifra de les desenes és la mitjana aritmètica de les xifres de les centenes i de les unitats. Troba el nombre original. (Nota: Un nombre de tres xifres $c$, $d$, $u$ té un valor de $100c + 10d + u$).

Resol el sistema d'equacions no lineal següent fent un canvi de variable adequat (per exemple, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 7$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 6$

Geomètricament, una equació lineal amb tres incògnites representa un pla en l'espai. Observa la representació gràfica següent on tres plans es tallen al llarg d'una única recta, formant un feix de plans.

Atès el sistema:

$\pi_{1}: x + 2y - z = 3$

$\pi_{2}: 2x - y + z = 1$

$\pi_{3}: 4x + 3y - z = k$

Calcula el valor de $k$ perquè els tres plans es tallin en una única recta (Sistema Compatible Indeterminat amb un grau de llibertat) i expressa l'equació paramètrica d'aquesta recta d'intersecció.

Una empresa de transports adquireix tres tipus de vehicles: furgonetes, camions lleugers i camions pesants. Es sap que el nombre total de vehicles adquirits és $30$. El cost de cada furgoneta és de $20.000$ euros, el de cada camió lleuger $30.000$ euros i el de cada camió pesant $50.000$ euros. Si la inversió total ha estat de $850.000$ euros, planteja el sistema i demostra que és un Sistema Compatible Indeterminat. Després, troba totes les solucions enteres possibles sabent que l'empresa ha comprat com a mínim un vehicle de cada tipus.

Es disposa de tres aliatges de plata, coure i zinc. El primer conté un $10\%$ de plata, un $70\%$ de coure i un $20\%$ de zinc. El segon conté un $30\%$ de plata, un $40\%$ de coure i un $30\%$ de zinc. El tercer conté un $20\%$ de plata, un $50\%$ de coure i un $30\%$ de zinc. Volem obtenir $100$ kg d'un nou aliatge que contingui exactament un $22\%$ de plata i un $52\%$ de coure. Planteja el sistema d'equacions per calcular quants quilograms de cada aliatge hem de barrejar i resol-lo.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè el sistema d'equacions següent sigui Compatible Indeterminat:

$x - y + 2z = 1$

$2x + ay - z = 3$

$3x + y + bz = 4$

Demostra algebraicament que si un sistema lineal de tres equacions amb tres incògnites admet dues solucions diferents, per exemple $S_{1} = (1, 0, 0)$ i $S_{2} = (0, 1, 0)$, aleshores admet infinites solucions. Per a fer-ho, comprova que qualsevol combinació lineal de la forma $S = \lambda S_{1} + (1-\lambda)S_{2}$ també és solució del sistema.

Una cooperativa vinícola de La Rioja prepara un lot especial de $1000$ litres combinant tres varietats de raïm: Ull de llebre ($x$), Garnatxa ($y$) i Graciano ($z$). Els costos de vinificació són de $4$ € per litre d'Ull de llebre, $2$ € per litre de Garnatxa i $7$ € per litre de Graciano. El pressupost total assignat per a la producció del lot complet és de $3900$ €. A més, l'enòleg imposa com a criteri de tast que el volum d'Ull de llebre ha de ser exactament el doble que la suma dels volums de Garnatxa i Graciano junts.

1. Estima i acota: Sense resoldre el sistema formalment, dedueix el volum exacte d'Ull de llebre que ha de contenir el lot a partir de la restricció de l'enòleg i el volum total. A continuació, raona si és possible que la varietat més costosa (Graciano) superi els $200$ litres, comparant el cost restant amb els preus de Garnatxa i Graciano.

2. Resol i comprova: Planteja el sistema lineal $3\times 3$, transforma'l en un sistema triangular mitjançant el mètode de Gauss i troba els litres necessaris de cada varietat. Comprova si els valors obtinguts coincideixen amb les teves deduccions inicials i si la solució obtinguda té sentit físic per a l'enòleg.

Considera el següent sistema d'equacions lineals amb incògnites $x$, $y$, $z$, on intervenen dos paràmetres reals $k$ i $m$:

Cada una d'aquestes tres equacions representa un pla a l'espai tridimensional.

1. Aplica el mètode de reducció de Gauss fins a transformar el sistema en un d'esglaonat on l'última equació tingui la forma $a(k)\cdot z = b(m)$, detallant clarament cada operació elemental entre files.

2. Dissenya els valors numèrics que han de prendre els paràmetres $k$ i $m$ perquè els tres plans es tallin en una recta comuna (sistema compatible indeterminat). Per a aquests valors, troba la solució general en funció d'un paràmetre $\lambda$.

3. Determina raonadament quina condició han de complir $k$ i $m$ perquè el sistema sigui incompatible. En aquest cas, poden tallar-se els tres plans en un únic punt? Justifica la teva resposta connectant el resultat algebraic obtingut a l'última fila amb la interpretació geomètrica dels plans.