Exercicis: Mètodes de resolució

Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant el mètode de reducció:

$3x - 2y = 7$

$5x + 4y = 8$

Troba el valor de les incògnites $x$, $y$, $z$ en el sistema d'equacions lineals següent, que ja es troba en forma esglaonada:

$2x - y + 3z = 14$

$3y - z = 5$

$2z = 8$

Resol el sistema d'equacions no lineals següent emprant el mètode de substitució:

$x - y = 2$

$x^2 + y^2 = 10$

Troba la solució del sistema d'equacions següent que involucra expressions amb radicals:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$

$x - y = 5$

Resol el sistema d'equacions exponencials següent expressant tots dos membres de cada equació com a potències de la mateixa base:

$2^{x+y} = 32$

$3^{x-y} = 9$

Aplica la definició de logaritme per plantejar un sistema lineal equivalent i resol el sistema d'equacions següent:

$\log_2(x + y) = 3$

$x - 2y = 2$

Un agricultor ha recol·lectat $500$ kg de fruita entre pomes i peres. Sabent que el triple dels quilos de pomes equival exactament al doble dels quilos de peres, planteja i resol un sistema d'equacions lineals per determinar quants quilos de cada fruita ha recol·lectat.

Aplica el mètode de Gauss per transformar i resoldre el sistema següent de tres equacions lineals amb tres incògnites:

$x + y + z = 6$

$x - y + 2z = 5$

$x + y - z = 0$

Mateo resol el següent sistema d'equacions mitjançant un canvi de variable:

Per a fer-ho, defineix $u = \dfrac{1}{x}$ i $v = \dfrac{1}{y}$, transformant-lo en un sistema lineal. Després d'aplicar el mètode de reducció, calcula de manera网 impecable que $u = 2$ i $v = 1$. Tanmateix, en el pas final conclou: «Com que $u = 2$ i $v = 1$, la solució del sistema original és $x = 2$ i $y = 1$».

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual que ha comès Mateo en la seua deducció final.
2. b) Desfés correctament el canvi de variable i troba la solució real $(x, y)$ del sistema.
3. c) Comprova numèricament la solució obtinguda substituint-la en les dues equacions del sistema original.

Observa el següent sistema d'equacions exponencials:

Dos estudiants proposen camins diferents per a abordar-lo:

• Lucía proposa aïllar directament $3^y$ en la primera equació ($3^y = 2^{x+1} - 1$) i substituir aquesta expressió en la segona equació, aplicant que $3^{y+1} = 3 \cdot 3^y$.

• Marcos proposa aplicar primer les propietats de les potències per a reescriure el sistema com a $2 \cdot 2^x - 3^y = 1$ i $2^x + 3 \cdot 3^y = 11$, introduir les variables auxiliars $u = 2^x$ i $v = 3^y$, i resoldre el sistema lineal resultant per reducció.

1. a) Compara tots dos procediments analitzant la seua dificultat algebraica. Quin dels dos mètodes minimitza el risc de cometre errors amb les propietats de les potències? Justifica la teua resposta.
2. b) Resol el sistema emprant el mètode que consideres més convenient i determina els valors de $x$ i $y$.

Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant el mètode de Gauss i indica si és un sistema compatible determinat:

$2x - y + 3z = 1$

$x + 2y - z = 4$

$4x - y + z = 2$

Troba totes les solucions del sistema d'equacions no lineals següent, en què totes dues equacions són de segon grau:

$x^2 + y^2 - 4x = 5$

$x^2 - y^2 - 4x = -3$

Resol el sistema d'equacions exponencials següent efectuant els canvis de variable $u = 3^x$ i $v = 2^y$:

$3^x + 2^{y+1} = 17$

$3^{x-1} - 2^y = 1$

Troba el valor de $x$ i $y$ en el sistema d'equacions logarítmiques següent, aplicant prèviament les propietats dels logaritmes per simplificar les expressions:

$\log(x) + \log(y) = 2$

$\log(x^2) - \log(y) = 1$

En un laboratori químic es vol obtenir $100$ litres d'una dissolució d'àcid al $30\%$. Per a fer-ho es barrejaran dues dissolucions disponibles al magatzem: una al $20\%$ de concentració i una altra al $45\%$. Planteja i resol un sistema d'equacions lineals per calcular quants litres de cada dissolució s'han d'emprar.

El perímetre d'una parcel·la rectangular mesura $140$ m i la longitud de la seva diagonal és de $50$ m. Planteja un sistema d'equacions no lineals que descrigui la situació i resol-lo per determinar les dimensions de la parcel·la.

Una empresa tecnològica emsambla tres tipus de drons: A, B i C. En total fabriquen $60$ drons al mes. El nombre de drons del tipus A és el doble que els del tipus C, i la suma dels drons tipus B i C supera en $12$ els del tipus A. Planteja un sistema de tres equacions amb tres incògnites i resol-lo mitjançant el mètode de Gauss.

Resol el sistema d'equacions següent que conté fraccions algebraiques, indicant clarament les restriccions prèvies sobre les incògnites:

$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$

$\frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Considera el següent sistema no lineal amb radicals:

1. a) Abans d'operar analíticament, fes una estimació raonada de la solució:

• Dedueix algebraicament per què $x$ ha de ser estrictament més gran que $5$ i alhora menor que $49$.

• Sabent a partir del sistema que $x + \sqrt{x} = 12$, estima el valor exacte o aproximat de $x$ provant quadrats perfectes senzills que complisquen aquesta acotació. Quin valor estimat li correspon a $y$?

1. b) Resol algebraicament el sistema per substitució o mitjançant el canvi de variable $u = \sqrt{x}$.
2. c) Comprova totes les solucions algebraiques obtingudes en el sistema original, determina si alguna és falsa i valora si el resultat final coincideix amb la teua estimació inicial.

Una empresa de logística de repartiment a l'àrea metropolitana de València decideix renovar la seua flota adquirint furgonetes elèctriques i furgonetes híbrides endollables acollides al pla d'incentius MOVES. En una primera fase, adquireix $3$ furgonetes elèctriques i $4$ d'híbrides per un import total de $230\,000$ €. En una segona fase, aprofitant una campanya promocional en què el fabricant rebaixa un $10\,\%$ el preu de cada furgoneta elèctrica i un $5\,\%$ el de cada furgoneta híbrida, l'empresa compra $2$ elèctriques i $5$ híbrides per un desemborsament de $202\,625$ €.

1. a) Modelitza la situació plantejant un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites. Defineix amb precisió què representa cada incògnita i especifica les seues unitats.
2. b) Resol el sistema mitjançant el mètode que consideres més idoni (substitució, igualació o reducció) per a determinar el preu original de cada tipus de vehicle abans dels descomptes.
3. c) Si l'empresa disposa d'un romanent pressupostari de $105\,000$ €, en tindrà prou per a adquirir una furgoneta elèctrica i dues d'híbrides als preus rebaixats de la segona fase? Justifica quantitativament la teua resposta.

Discuteix el sistema d'equacions lineals següent en funció del paràmetre $k$:

$x + 2y = 5$

$3x + ky = 15$

Troba el valor de $k$ per al qual el sistema té infinites solucions i expressa la solució general en funció d'un paràmetre real $\lambda$.

Resol el sistema següent de tres equacions amb tres incògnites mitjançant el mètode de Gauss. Comprova que es tracta d'un sistema compatible indeterminat i expressa el seu conjunt de solucions en funció d'un paràmetre $\lambda$:

$x - 2y + z = 3$

$2x + y - 3z = 1$

$4x - 3y - z = 7$

Analitza el sistema d'equacions lineals següent i demostra, utilitzant les transformacions del mètode de Gauss, que és un sistema incompatible:

$x + y + z = 4$

$2x - y + 3z = 5$

$3x + 4z = 10$

Resol el sistema mixt següent que combina una equació exponencial i una equació logarítmica:

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(6)$

Un inversor reparteix un capital total de $50000$ € entre tres fons d'inversió: renda variable, renda fixa i bons de l'Estat. El fons de renda variable ofereix un $8\%$ de rendibilitat anual, el de renda fixa un $5\%$ i els bons un $3\%$. L'inversor decideix destinar a renda fixa el doble de capital que a bons de l'Estat. Si al cap d'un any els beneficis totals generats ascendeixen a $2900$ €, quants diners va invertir en cada fons? Planteja el sistema corresponent i resol-lo pel mètode de Gauss.

Dos ciclistes surten simultàniament des de dues ciutats A i B, separades per una distància de $120$ km, i circulen en sentits oposats per trobar-se. El ciclista que surt de A viatja a una velocitat constant que supera en $5$ km/h la del ciclista que surt de B. Sabent que es creuen exactament al cap de $3$ hores, planteja un sistema d'equacions per trobar la velocitat de cadascun i la distància que ha recorregut cada ciclista fins al punt de trobada.

Resol el sistema d'equacions no lineals simètric següent. Per facilitar la resolució, utilitza el canvi de variables $S = x + y$ i $P = x \cdot y$:

$x^2 + y^2 = 34$

$x \cdot y = 15$

Determina analíticament els punts d'intersecció entre la circumferència d'equació $x^2 + y^2 = 25$ i la hipèrbola equilàtera d'equació $x \cdot y = 12$. Planteja el sistema no lineal associat, resol-lo detallant els passos i explica quantes solucions reals existeixen.

Dissenya un sistema de dues equacions amb dues incògnites ($x$ i $y$) que complisca simultàniament les quatre condicions següents:

1. Una de les equacions ha de ser lineal amb coeficients enters.

2. L'altra equació ha de contenir almenys un radical on la incògnita $x$ estiga dins del radicand, de manera que no siga un sistema lineal.

3. En resoldre el sistema aïllant i elevant al quadrat per a suprimir l'arrel, s'ha de generar una equació quadràtica que tinga per solucions algebraiques els parells $(4, 3)$ i $(9, -2)$.

4. El parell $(4, 3)$ ha de ser l'única solució real i vàlida del sistema original, mentre que el parell $(9, -2)$ ha de ser una solució falsa o estranya generada exclusivament per haver elevat al quadrat.

Mostra pas a pas la construcció d'ambdues equacions, resol el sistema complet que has creat justificant on i per què apareix la solució falsa, i raona per què elevar al quadrat no és una transformació d'equivalència estricta d'equacions.

Es proposa resoldre el següent sistema d'equacions logarítmiques en el cos dels nombres reals:

Dos alumnes defensen estratègies de partida diferents:

• Sara aplica directament la propietat del logaritme d'una potència, escriu $\log(x^2) = 2\log(x)$ i planteja el canvi de variable $u = \log(x)$, $v = \log(y)$, amb la qual cosa obté únicament la solució $(x, y) = (10\sqrt{10}, 10)$.

• David sosté que aplicar aquesta propietat en aquest sistema en concret redueix el domini de validesa i fa perdre solucions reals. Proposa mantenir el bloc $\log(x^2)$ intacte i aplicar el canvi $u = \log(x^2)$, $v = \log(y)$.

1. a) Determina el domini de definició de les variables $x$ i $y$ en el sistema original i explica amb rigor matemàtic per què el pas de Sara no és una transformació d'equivalència en tot aquest domini.
2. b) Resol el sistema seguint l'enfocament de David fins a trobar totes les solucions reals exactes.
3. c) Conclou quantes solucions reals té el sistema original i escriu la relació general correcta entre $\log(x^2)$ i $\log|x|$ per a evitar aquest tipus d'errors a batxillerat.