Exercicis: Posició relativa de dues rectes

Determina la posició relativa de les rectes $r: 2x - 3y + 5 = 0$ i $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparant directament els seus coeficients.

Dades les rectes $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ i $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica la seva posició relativa justificant la teva resposta a partir del valor dels seus pendents.

Estudia la posició relativa de la recta $r$, que passa pels punts $A(1, 2)$ i $B(3, 5)$, i la recta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.

Calcula les coordenades exactes del punt de tall de les rectes secants $r: x + 2y - 4 = 0$ i $s: 3x - y - 5 = 0$.

Esbrina el valor del paràmetre $k$ perquè les rectes $r: kx + 4y - 2 = 0$ i $s: 3x - 2y + 5 = 0$ siguin estrictament paral·leles.

Dos drons d'exploració segueixen trajectòries rectilínies descrites per les equacions $r: x - y + 2 = 0$ i $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcula les coordenades del punt del pla on les seves trajectòries es creuen.

Determina la posició relativa de les rectes donades en forma paramètrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ i $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.

Troba el valor de $m$ perquè les rectes $r: mx - 6y + 1 = 0$ i $s: 2x + 3y - 4 = 0$ siguin secants i no paral·leles.

La Lucía ha de determinar la posició relativa de les rectes $r: 4x - 6y + 3 = 0$ i $s: \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{2}$. En el seu examen escriu el raonament següent:

«La recta $r$ té pendent $m_r = -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3}$. Per a la recta $s$, el seu vector director és $\vec{v}_s = (3, 2)$, per la qual cosa el seu pendent és $m_s = \dfrac{2}{3}$. Com que els pendents tenen signes diferents ($-\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{2}{3}$), concloc que les rectes són secants i es tallen en un únic punt; si tinguessin el mateix signe, serien paral·leles».

Identifica i explica raonadament els dos errors (un de càlcul algebraic i un altre de concepte) que ha comès la Lucía. Tot seguit, resol de manera correcta l'exercici determinant la veritable posició relativa d'ambdues rectes mitjançant la comparació dels seus vectors directors o dels seus pendents.

Donada la recta $r: 3x - 4y + 12 = 0$, planteja i obtén les equacions generals de dues rectes diferents, $s$ i $t$, que compleixin de manera inversa les condicions geomètriques següents:

1. a) La recta $s$ ha de ser paral·lela a $r$ i passar exactament per l'origen de coordenades $(0, 0)$.
2. b) La recta $t$ ha de ser paral·lela a $r$, però la seva ordenada a l'origen ha de ser el triple que l'ordenada a l'origen de $r$.

Justifica algebraicament per què cap de les tres rectes ($r$, $s$ i $t$) és coincident amb les altres analitzant la proporcionalitat dels seus coeficients.

En un sistema de seguretat, dos feixos làser es modelen en un pla de coordenades. El primer feix segueix la recta $r: x + y - 6 = 0$ i el segon passa pels emissors ubicats a $P(2, 1)$ i $Q(-2, -1)$. Determina si els feixos làser són paral·lels, coincidents o si es creuen. Si es creuen, troba el punt exacte d'intersecció.

Les trajectòries de dos avions en la pantalla d'un radar bidimensional vénen donades per $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ i $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Comprova si les rutes es creuen i, en cas afirmatiu, calcula el punt d'intersecció de les trajectòries en el pla.

Discuteix la posició relativa de les rectes $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ i $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ en funció dels possibles valors del paràmetre $m$.

Calcula el valor de $k$ perquè les rectes $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ i $t: 3x + ky - 2 = 0$ es tallin exactament en el mateix punt del pla.

Un arquitecte dissenya dues passarel·les rectes en un parc. La passarel·la A segueix la direcció del vector $\vec{u} = (4, -2)$ i passa per la font ubicada a $F(0, 5)$. La passarel·la B ve donada per l'equació $x + 2y - 10 = 0$. Demostra analíticament que totes dues passarel·les es superposen, i són en realitat la mateixa recta.

Troba les coordenades dels vèrtexs del triangle format per la intersecció de les tres rectes $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ i $t: x + 4y - 12 = 0$.

Dades les rectes $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ i $s: 3x - 2y + k = 0$, esbrina si existeix cap valor del paràmetre $k$ per al qual les rectes siguin coincidents. Raona la teva resposta de forma analítica.

Un raig de llum en un experiment d'òptica segueix la trajectòria descrita per la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. Un mirall pla està col·locat exactament sobre l'eix d'abscisses ($y = 0$). Determina les coordenades del punt d'incidència del raig sobre el mirall.

Donades les rectes $r: 3x - 2y + 7 = 0$ i $s: \begin{cases} x = 1 - 4\lambda \\ y = 2 - 6\lambda \end{cases}$ (amb $\lambda \in \mathbb{R}$), es vol determinar la seva posició relativa i trobar el seu punt de tall si existís. Per resoldre-ho, es plantegen dues estratègies:

• Mètode A: Transformar la recta $s$ a la seva equació general implícita $Ax + By + C = 0$ i contrastar la proporcionalitat dels coeficients $\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$ i $\frac{C_1}{C_2}$.

• Mètode B: Substituir directament les expressions paramètriques de $x(\lambda)$ i $y(\lambda)$ de la recta $s$ en l'equació general de $r$ i resoldre l'equació de primer grau resultant en $\lambda$.

Aplica ambdós mètodes pas a pas per classificar la posició relativa de les rectes i justifica quin dels dos procediments resulta més directe, eficient i amb menys risc d'error en aquest cas particular.

El centre de Salvament Marítim a Tarifa monitora dues embarcacions en aigües de l'Estret mitjançant coordenades cartesianes (on $1\text{ unitat} = 1\text{ milla nàutica}$). Una llanxa de salvament navega en línia recta seguint la trajectòria de la recta $r$, que passa pel punt $A(-1, 3)$ i porta la direcció del vector $\vec{u} = (2, -1)$. Al mateix temps, un vaixell de càrrega manté una ruta descrita per l'equació $s: x + 2y - 15 = 0$.

1. a) Determina raonadament la posició relativa d'ambdues trajectòries. Hi ha risc de col·lisió entre les seves trajectòries si totes dues naus continuessin el seu rumb indefinidament? Si es tallen, troba les coordenades del punt de trobada.
2. b) A causa d'una fallada de govern al timó, el vaixell de càrrega altera la seva trajectòria i passa a seguir la recta $s_k: kx + 6y - 10 = 0$. Calcula el valor exacte de $k$ perquè el nou rumb sigui estrictament paral·lel a la llanxa de rescat i analitza si hi ha algun valor de $k$ que faci que ambdues trajectòries siguin coincidents.

Discuteix la posició relativa de les rectes $r: ax + y - b = 0$ i $s: 2x - ay + 4 = 0$ realitzant una anàlisi exhaustiva en funció dels paràmetres simultanis $a$ i $b$.

Tres carreteres rectes es modelen en un pla topogràfic mitjançant les equacions $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ i $t: ax + y - 2 = 0$. Determina els valors del paràmetre $a$ per als quals les tres carreteres es tallen en un únic punt o són paral·leles entre si, impedint que es formi un triangle delimitat per elles.

Un paral·lelogram té dos dels seus costats sobre les rectes $r: x - 2y + 4 = 0$ i $s: x - 2y - 6 = 0$. Un altre dels seus costats es troba sobre la recta $t: 2x + y - 2 = 0$. Sabent que un dels vèrtexs del paral·lelogram és el punt $P(4, 4)$, calcula l'equació de la recta que conté el quart costat i determina les coordenades exactes dels quatre vèrtexs.

Determina el valor o valors de $k$ perquè el punt d'intersecció de les rectes secants $r: 2x + ky - 6 = 0$ i $s: x - y + 2 = 0$ pertanyi a la bisectriu del primer i tercer quadrant ($y = x$).

Es considera la família o feix de rectes definit per l'expressió matemàtica $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demostra que totes les rectes que componen aquest feix es tallen en un mateix punt fix i calcula les seves coordenades. A continuació, troba l'equació general de la recta d'aquest feix que és paral·lela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.

Una bola de billar segueix la trajectòria donada per la recta $r: x - y + 2 = 0$ i rebota a la banda representada per la recta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sabent que l'angle d'incidència és igual al de reflexió, calcula les coordenades del punt exacte on la bola impacta amb la banda i esbrina l'equació de la recta que descriu la trajectòria després del rebot.

Dades les rectes $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ i $s: ax + by - 5 = 0$, calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè totes dues rectes siguin idèntiques. Posteriorment, troba l'equació general d'una recta perpendicular a totes dues que passi per l'origen de coordenades.

Les òrbites projectades de dos cometes en un pla espacial segueixen les trajectòries $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ i $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determina si existeix cap moment (valor de $m$) en què les trajectòries siguin estrictament paral·leles. Per a quins valors de $m$ les òrbites es creuen en un únic punt?

Es consideren les rectes $r: x - 2y + 4 = 0$ i $s: 3x + y - 9 = 0$.

1. a) Estima: Sense resoldre el sistema d'equacions algebraicament ni representar-les a escala mil·limètrica, dedueix de manera raonada en quin quadrant del pla cartesià es tallaran necessàriament aquestes dues rectes, i demostra per què l'abscissa d'aquest punt de tall ha de pertànyer estrictament a l'interval obert $(0, 3)$. Basa la teva estimació exclusivament en el signe dels pendents i en els punts de tall de cada recta amb els eixos cartesians.
2. b) Comprova: Resol analíticament el sistema format per les equacions de $r$ i $s$ per determinar les coordenades exactes del punt de tall $P(x, y)$.
3. c) Valora: Contrasta el resultat analític obtingut amb la teva estimació inicial i reflexiona sobre com l'anàlisi qualitativa prèvia permet detectar incoherències en càlculs algebraics.

En el pla afí es consideren dues rectes fixes, $r: x - y - 1 = 0$ i $s: 2x + y - 5 = 0$, juntament amb una tercera recta que depèn d'un paràmetre real: $t_k: kx + y - 7 = 0$.

Es vol investigar sota quines condicions les tres rectes delimiten un triangle en el pla.

1. a) Explica de manera deductiva quines són les dues úniques causes geomètriques per les quals tres rectes coplanàries (sabent que $r$ i $s$ ja són secants) NO formen un triangle.
2. b) Imposa les condicions algebraiques de posició relativa per calcular els valors de $k$ que fan que $t_k$ sigui paral·lela a la recta $r$ o paral·lela a la recta $s$. Comprova a més si per a algun d'aquests valors $t_k$ arriba a ser coincident amb aquestes.
3. c) Troba el valor de $k$ per al qual les tres rectes són concurrents, és a dir, passen simultàniament pel mateix punt.
4. d) A partir dels apartats anteriors, determina amb precisió el conjunt de valors de $k \in \mathbb{R}$ per als quals les tres rectes SÍ determinen un triangle.