Exercicis: Punt mitjà d'un segment

Calcula les coordenades del punt mitjà del segment d'extrems $A(2, -4)$ i $B(-6, 8)$.

El punt $M(1, 3)$ és el punt mitjà del segment que uneix els punts $A(-2, 5)$ i $B$. Determina les coordenades de l'extrem $B$.

Els punts $P(-3, -1)$ i $Q(5, 7)$ són els extrems del diàmetre d'una circumferència. Troba les coordenades del seu centre.

Troba el punt mitjà del segment que determinen els punts de tall de la recta $2x + 3y - 12 = 0$ amb els eixos de coordenades.

Els vèrtexs oposats d'un quadrat estan situats en els punts $A(1, 1)$ i $C(7, 5)$. Determina les coordenades del centre del quadrat.

Per determinar les coordenades de l'extrem $B$ d'un segment del qual es coneix l'origen $A(-3, 5)$ i el punt mitjà $M(1, -2)$, en Marcos ha fet el càlcul següent al seu examen:

1. a) Explica detalladament quin punt geomètric ha calculat en realitat en Marcos i per què el seu plantejament algebraic és erroni.
2. b) Planteja les equacions correctes a partir de la definició de punt mitjà i troba les coordenades reals de l'extrem $B$.

Un dron de salvament marítim parteix de la base costanera $A(-7, 8)$ i vola en línia recta fins a localitzar una embarcació avariada a $B(3, -2)$, amb coordenades expressades en quilòmetres respecte a la torre de control.

1. a) Sense fer càlculs amb fórmules, observa els signes i els valors numèrics de les coordenades d'$A$ i $B$: estima raonadament en quin quadrant del pla cartesià s'ha de trobar el punt mitjà $M$ de la trajectòria i acota entre quins nombres enters estaran la seva abscissa i la seva ordenada. Justifica la teva deducció a partir de la posició relativa de tots dos punts.
2. b) Calcula amb exactitud les coordenades de $M$ aplicant la mitjana aritmètica i comprova si la teva estimació prèvia ha estat correcta.

Els punts mitjans dels costats d'un triangle són $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ i $M_3(-1, 5)$. Planteja un sistema d'equacions i calcula les coordenades dels tres vèrtexs del triangle $A, B$ i $C$.

Tres vèrtexs consecutius d'un paral·lelogram són $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ i $C(6, -1)$. Utilitzant la propietat que les diagonals d'un paral·lelogram es tallen en el seu punt mitjà, troba les coordenades del quart vèrtex $D$.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè el punt mitjà del segment d'extrems $A(-k, 2)$ i $B(4, k-1)$ pertanyi a la bisectriu del primer quadrant ($y = x$).

Un feix làser surt de l'emissor $S(2, 8)$ i ha d'impactar en el receptor $T(10, 8)$ després de rebotar en un mirall pla situat sobre la recta $y = 5$. Comprova si el punt mitjà del segment $ST$ coincideix amb el punt d'impacte al mirall.

Troba l'equació de la mediana corresponent al vèrtex $A$ en el triangle de vèrtexs $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ i $C(-3, 5)$.

En el mapa territorial d'una comarca (amb distàncies en quilòmetres), la seu central comarcal de missatgeria s'ubica a $A(1, 3)$ i una filial a $C(9, 7)$. L'empresa projecta construir una nau intermèdia de distribució en el punt mitjà $M$ del segment $AC$.

1. a) Calcula les coordenades del centre de distribució $M$.
2. b) L'empresa vol completar un recinte logístic amb forma de paral·lelogram $ABCD$, de manera que $AC$ i $BD$ siguin les seves diagonals. Si el segon magatzem està ubicat a $B(2, 8)$, troba raonadament les coordenades del quart magatzem $D$ utilitzant la propietat que comparteixen les diagonals d'un paral·lelogram respecte al seu punt mitjà.
3. c) Una autovia rectilínia segueix el traçat de la recta $r: x - 2y + 5 = 0$. Esbrina analíticament si el centre de distribució $M$ i el magatzem $D$ tenen accés directe a l'autovia (és a dir, si pertanyen a la recta $r$).

El punt $M(3, 2)$ és el punt mitjà d'un segment d'extrems desconeguts $A$ i $B$. Se sap a més que l'extrem $A$ es troba sobre la recta $r: y = 2x - 1$, mentre que l'extrem $B$ està recolzat sobre l'eix d'abscisses ($y = 0$).

1. a) Escriu les coordenades genèriques dels punts $A$ i $B$ en funció d'un únic paràmetre independent per a cadascun.
2. b) Planteja i resol el sistema d'equacions lineals que determina de manera única les coordenades numèriques d'$A$ i $B$.
3. c) Comprova analíticament si el segment $AB$ resulta ser perpendicular a la recta $r$ calculant els pendents d'ambdós elements.

Calcula les coordenades del punt simètric de $A(1, 5)$ respecte de la recta $r: 2x - y - 3 = 0$.

Determina l'equació del lloc geomètric dels punts mitjans de tots els segments que uneixen l'origen de coordenades amb els punts de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.

Demostra analíticament que els punts mitjans dels costats del quadrilàter de vèrtexs $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ i $D(-2,4)$ formen un paral·lelogram (paral·lelogram de Varignon) i calcula la seva àrea.

El baricentre d'un triangle és el punt $G(2, 1)$. Si dos dels seus vèrtexs són $A(-1, 3)$ i $B(4, -2)$, troba les coordenades del tercer vèrtex $C$ basant-te en la propietat del baricentre respecte dels punts mitjans dels costats.

Per determinar les coordenades del quart vèrtex $D$ d'un paral·lelogram del qual els tres primers vèrtexs consecutius són $A(-2, 3)$, $B(4, 1)$ i $C(6, 7)$, dos estudiants proposen camins diferents:

• La Lucía proposa calcular el punt mitjà $M$ de la diagonal $AC$ i utilitzar que $M$ és també el punt mitjà de la diagonal $BD$ per aïllar directament les coordenades de $D$.

• En Sergio proposa trobar les equacions implícites de la recta paral·lela a $AB$ que passa per $C$ i de la recta paral·lela a $BC$ que passa per $A$, i obtenir $D$ com el punt d'intersecció d'ambdues rectes.

1. a) Resol el problema aplicant el procediment proposat per la Lucía.
2. b) Resol el problema aplicant el procediment proposat per en Sergio.
3. c) Compara tots dos mètodes: valora el nombre d'operacions algebraiques i el risc d'error operatiu en cadascun, justificant quin és més eficient. Es podria aplicar l'estratègia de la Lucía si el quadrilàter fos un trapezi no paral·lelogram? Raona la teva resposta a partir de les propietats geomètriques de les diagonals.

Un equip de topografia que delimita una reserva natural triangular $ABC$ ha extraviat les coordenades dels tres vèrtexs originals, però conserva en els seus registres les coordenades dels punts mitjans dels tres costats: $M_1(2, 1)$ (punt mitjà del costat $AB$), $M_2(5, 4)$ (punt mitjà del costat $BC$) i $M_3(1, 5)$ (punt mitjà del costat $CA$).

1. a) Planteja el sistema d'equacions que relaciona les coordenades desconegudes dels vèrtexs amb les dels punts mitjans donats i obtén les coordenades exactes d'$A$, $B$ i $C$.
2. b) Determina les coordenades del baricentre $G$ del triangle original $ABC$ i les del baricentre $G'$ del triangle medial $M_1M_2M_3$ format pels punts mitjans. Quina conclusió obtens en comparar tots dos resultats?
3. c) Demostra algebraicament que la igualtat $G = G'$ es verifica de manera universal per a qualsevol triangle del pla, sense importar les coordenades que tinguin els seus vèrtexs.