Exercicis: Distàncies en el pla

Calcula la distància exacta entre els punts $A(3, -2)$ i $B(-1, 1)$.

Troba la distància des de l'origen de coordenades a la recta d'equació $3x - 4y + 10 = 0$.

Determina la distància del punt $P(2, 5)$ a la recta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.

Calcula la distància del punt $Q(-1, 3)$ a la recta donada en forma explícita $y = 2x - 1$.

Troba la distància que separa les rectes paral·leles $r: 3x + 4y - 5 = 0$ i $s: 3x + 4y + 15 = 0$.

Comprova si el triangle de vértexs $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ i $C(2, 3)$ és isòsceles calculant la longitud exacta dels seus tres costats.

Calcula la distància del punt $P(-4, 7)$ a l'eix d'ordenades i a l'eix d'abscisses.

Donat el segment d'extrems $A(2, 4)$ i $B(6, -2)$, calcula primer les coordenades del seu punt mitjà $M$ i, a continuació, troba la distància de $M$ a l'extrem $A$.

Marcos ha de calcular la distància del punt $P(-2, 3)$ a la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. En el seu examen escriu el procediment següent:

1. a) Identifica i explica raonadament els dos errors conceptuals greus comesos per Marcos en la seva resolució.
2. b) Corregeix l'exercici fent el càlcul adequat i expressa la distància exacta amb el denominador racionalitzat.

Es considera el punt $P(2, 4)$ i la recta $r: 3x - 4y + 2 = 0$.

1. a) Sense aplicar encara la fórmula de la distància d'un punt a una recta, calcula les coordenades del punt $Q \in r$ que té la mateixa abscissa que $P$ (és a dir, amb $x = 2$). Troba la distància vertical entre $P$ i $Q$, i raona geomètricament per què saps amb total certesa que $d(P, r) \le d(P, Q)$, de manera que aquest valor serveix com a cota superior de la distància real.
2. b) Calcula el valor exacte de $d(P, r)$ mitjançant la fórmula general i comprova si la teva estimació i cota de l'apartat anterior eren correctes i coherents.

Un equip de topografia ha delimitat un terreny triangular les estacions base del qual se situen en les coordenades $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ i $C(4, 6)$, expressades en quilòmetres. Calcula l'àrea exacta del terreny avaluant primer la longitud de la base $AB$ i després l'altura corresponent des del vértex $C$.

Es vol instal·lar una antena de telecomunicacions sobre una carretera recta que coincideix amb l'eix d'abscisses. Aquesta antena ha d'estar exactament a la mateixa distància del poble $P(-2, 3)$ i del poble $Q(4, 1)$. En quines coordenades exactes s'ha de situar l'antena?

Dos vaixells segueixen rutes rectes i paral·leles. El primer vaixell navega per la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. El segon vaixell passa pel punt $A(3, 1)$ mantenint la mateixa direcció. Calcula la distància mínima que separa totes dues trajectòries.

En un parc, el centre d'una plaça està situat en el punt $P(0, 5)$. Una canonada recta de reg segueix la trajectòria $y = x + 1$. Es vol instal·lar un aspersor sobre la canonada que disti exactament $5$ unitats del centre de la plaça. Troba les coordenades de les dues possibles ubicacions de l'aspersor.

Un làser industrial ha de realitzar un tall principal en una planxa metàl·lica seguint la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. A més, el sistema s'ha de programar per fer dos talls paral·lels de seguretat a una distància exacta de $10$ mm a cada costat del tall principal. Troba les equacions generals de les rectes dels talls de seguretat.

Un vehicle d'exploració espacial es mou en línia recta seguint l'equació $y = 2x$. En el punt $C(5, 0)$ hi ha una base de recàrrega inalàmbrica d'emergència. Determina en quin punt exacte de la seva trajectòria el vehicle estarà a la mínima distància de la base i calcula aquesta distància.

Un panell solar té forma de quadrilàter amb vértexs en les coordenades $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ i $D(0, 3)$, mesurades en metres. Calcula el perímetre exacte del panell.

Un cometa travessa un sistema estel·lar seguint una trajectòria rectilínia d'equació $3x + y - 6 = 0$. Un satèl·lit d'observació es troba estacionari en les coordenades $S(2, 4)$. Calcula la distància mínima a la qual passarà el cometa del satèl·lit.

Una unitat tècnica d'Adif monitora un tram rectilini de via fèrria que, sobre una quadrícula topogràfica amb coordenades en quilòmetres, segueix la recta $r: 3x - 4y + 12 = 0$. S'ha instal·lat una estació base de telecomunicacions al punt $T(6, 2)$.

1. a) Modela la situació calculant la distància mínima exacta en quilòmetres entre l'estació base i la via fèrria.
2. b) El protocol de seguretat ferroviària estableix una franja d'exclusió de $2\text{ km}$ a cada costat de l'eix de la via en la qual no hi pot haver equips sense apantallament electromagnètic. Determina raonadament si l'estació $T$ necessita aquest apantallament o si se situa fora de la franja.
3. c) Des de l'estació $T$ es preveu llançar un dron d'inspecció amb una autonomia màxima d'enllaç de ràdio de $5\text{ km}$. Justifica geomètricament si el dron pot arribar a algun punt de la via fèrria i raona quants punts de la via es troben exactament a $5\text{ km}$ de la base.

Troba les equacions generals de les dues rectes paral·leles a $r: 5x - 12y + 8 = 0$ que es troben a una distància d'exactament $3$ unitats del punt $A(1, -1)$. A continuació, determina la distància que separa les dues rectes paral·leles entre si i explica com es pot deduir aquest últim valor de manera immediata per simetria, sense necessitat d'aplicar cap fórmula addicional.

Troba els possibles valors del paràmetre $k$ perquè la recta $r: kx + 3y - 5 = 0$ disti exactament $2$ unitats del punt $P(1, -2)$.

Les rectes $r: x - 2y + 1 = 0$ i $s: 2x + y - 3 = 0$ representen les vores de dues avingudes que es creuen. Es vol construir un carril bici que equidisti de totes dues avingudes en tot moment. Troba les equacions de les dues possibles trajectòries del carril bici (les bisectrius) i demostra analíticament que són perpendiculars.

Un triangle isòsceles té el seu costat desigual (la base) sobre la recta $r: x + y - 2 = 0$. El vértex oposat a la base és $A(4, 4)$ i es sap que l'àrea del triangle és de $12$ u$^2$. Calcula la longitud exacta de la base i dels dos costats iguals.

Troba les coordenades dels punts del pla que compleixen simultàniament dues condicions: equidisten de les rectes secants $r: 3x - 4y + 2 = 0$ i $s: 4x + 3y - 1 = 0$, i la seva distància a l'origen de coordenades és exactament de $5$ unitats.

Determina les coordenades dels vèrtexs d'un quadrat sabent que un dels seus vèrtexs és $A(1, 2)$ i que una de les seves diagonals està continguda en la recta $d: x - y - 1 = 0$.

Troba l'equació del lloc geomètric dels punts del pla $P(x, y)$ la distància dels quals a la recta $r: 3x - 4y = 0$ és exactament el doble que la seva distància al punt fix $Q(0, 2)$. Simplifica l'equació resultant.

Calcula els possibles valors del paràmetre $c$ sabent que les rectes paral·leles $r: 2x - y + c = 0$ i $s: 4x - 2y + 5 = 0$ disten entre si $3\sqrt{5}$ unitats.

Un rombe té un dels seus vèrtexs en el punt $A(2, 1)$ i la diagonal que no passa per $A$ es troba sobre la recta $r: x + 2y - 9 = 0$. Si l'àrea del rombe és de $20$ u$^2$, troba les coordenades dels tres vèrtexs restants.

Per calcular la distància entre les dues rectes paral·leles $r: 3x - 4y + 7 = 0$ i $s: 6x - 8y - 11 = 0$, es proposen tres mètodes de treball:

• Mètode A (Definició): Prendre un punt arbitrari $P \in r$ i calcular $d(P, s)$ mitjançant la fórmula de la distància d'un punt a una recta.

• Mètode B (Projecció ortogonal): Traçar una recta perpendicular comuna a totes dues, trobar els punts de tall $M \in r$ i $N \in s$, i calcular el mòdul del vector $\vec{MN}$.

• Mètode C (Fórmula simplificada): Multiplicar l'equació de $r$ per $2$ per igualar els coeficients $A$ i $B$ amb els de $s$, i aplicar directament l'expressió $d(r, s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

1. a) Aplica el Mètode A i el Mètode C resolent tots dos al complet, i comprova que proporcionen exactament el mateix resultat.
2. b) Demostra algebraicament la validesa de la fórmula del Mètode C: pren una recta genèrica $r: Ax + By + C_1 = 0$, tria-hi un punt genèric $P(x_0, y_0)$ que satisfaci $Ax_0 + By_0 = -C_1$, i calcula $d(P, s)$ respecte a $s: Ax + By + C_2 = 0$.
3. c) Compara críticament els tres mètodes: indica quin és el més eficient a la pràctica, quin comporta més risc d'error per acumulació de càlculs i per què el Mètode B resulta innecessàriament laboriós per a aquest objectiu.

Es consideren les rectes secants $r: 4x - 3y + 6 = 0$ i $s: 3x + 4y - 12 = 0$. Es busquen punts situats sobre l'eix d'abscisses ($OX$) que equidistin simultàniament de totes dues rectes.

1. a) Escriu les coordenades d'un punt genèric de l'eix d'abscisses, planteja la condició algebraica $d(P, r) = d(P, s)$ i obtén les coordenades exactes dels dos únics punts, $P_1$ i $P_2$, que verifiquen aquesta igualtat.
2. b) Determina les equacions generals de les dues bisectrius, $b_1$ i $b_2$, dels angles que formen $r$ i $s$. Comprova mitjançant substitució directa que $P_1$ pertany a una d'elles i $P_2$ a l'altra.
3. c) Demostra que les dues bisectrius $b_1$ i $b_2$ són perpendiculars entre si i raona quin significat geomètric té el fet que els punts trobats a l'apartat a) siguin precisament les interseccions de cada bisectriu amb l'eix d'abscisses.