Exercicis: Notació científica

Escriu en notació científica els nombres següents, ajustant la mantissa perquè estigui compresa entre $1$ i $10$:

1. a) $0,000000456$
2. b) $34500000000$
3. c) $0,0023 \cdot 10^5$
4. d) $456 \cdot 10^{-4}$

Fes les multiplicacions i divisions següents mentalment (sense utilitzar la calculadora), aplicant les propietats de les potències, i expressa el resultat en notació científica:

1. a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
2. b) $\frac{8 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^{-7}}$
3. c) $(1,5 \cdot 10^6) \cdot (4 \cdot 10^{-2})$

Indica l'ordre de magnitud i el nombre de xifres significatives de les mesures experimentals següents:

1. a) $4,05 \cdot 10^8$ m
2. b) $1,200 \cdot 10^{-5}$ kg
3. c) $9 \cdot 10^{12}$ s

Efectua les sumes i restes següents de nombres en notació científica que tenen el mateix exponent. Extreu factor comú i dona el resultat final:

1. a) $3,2 \cdot 10^5 + 4,5 \cdot 10^5$
2. b) $8,7 \cdot 10^{-4} - 3,2 \cdot 10^{-4}$
3. c) $5,15 \cdot 10^{12} + 2,03 \cdot 10^{12}$

El diàmetre d'un glòbul vermell humà és d'aproximadament $0,0075$ mm. Expressa aquesta quantitat en metres utilitzant la notació científica.

La fortuna estimada d'una de les persones més riques del sector tecnològic ascendeix a $185000$ milions de dòlars. Escriu aquesta xifra en notació científica.

Arrodoneix els nombres següents perquè tinguin exactament tres xifres significatives i, a continuació, expressa'ls en notació científica:

1. a) $4567892$
2. b) $0,00034091$
3. c) $98,99$

Justifica si les expressions següents estan escrites correctament en notació científica estandarditzada. En cas negatiu, corrigeix-les perquè la mantissa $N$ compleixi $1 \le |N| < 10$:

1. a) $12,4 \cdot 10^3$
2. b) $0,85 \cdot 10^{-2}$
3. c) $1 \cdot 10^6$
4. d) $-45,2 \cdot 10^{-8}$

En un examen, en Sergio ha de calcular la suma següent i oferir el resultat en notació científica:

En Sergio escriu al seu full:

«Com que $3,5 + 2,5 = 6,0$ i $10^4 \cdot 10^5 = 10^9$, el resultat és $6,0 \cdot 10^9$».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per en Sergio en fer l'operació i explica per què el seu raonament contradiu les propietats de les potències i del factor comú.
2. b) Resol correctament l'operació pas a pas, mostrant la igualació prèvia d'exponents, i expressa el resultat en notació científica formal.

Segons dades de l'Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía (IDAE), el consum elèctric mitjà per llar a Espanya és d'uns $9\text{ kWh}$ diaris, equivalents a $3,24 \cdot 10^7\text{ J}$. Es vol calcular l'energia anual total consumida per una urbanització de $50$ habitatges ($5 \cdot 10^1$ llars) durant un any comú de $365$ dies ($3,65 \cdot 10^2$ dies).

1. a) Sense fer servir la calculadora, fes una estimació prèvia arrodonint les mantisses a l'enter més proper per predir exclusivament l'ordre de magnitud (la potència de $10$) del resultat final.
2. b) Efectua el càlcul algebraic exacte expressant el resultat en notació científica.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial ha coincidit amb l'ordre de magnitud obtingut i argumenta per què estimar prèviament l'exponent ajuda a evitar errors típics en introduir potències a la calculadora.

Efectua les sumes i restes següents ajustant prèviament els exponents per poder extreure factor comú. Expressa el resultat final en notació científica:

1. a) $4,5 \cdot 10^7 + 3,8 \cdot 10^8$
2. b) $9,2 \cdot 10^{-5} - 6,1 \cdot 10^{-6}$

Fes la següent operació combinada i expressa el resultat final en notació científica, arrodonint a tres xifres significatives:

$\frac{(2,5 \cdot 10^6) \cdot (4,2 \cdot 10^{-3})}{3,1 \cdot 10^{-4} + 1,9 \cdot 10^{-5}}$

Un disc dur de servidor té una capacitat d'emmagatzematge de $2$ TB (Terabytes). Sabent que $1\text{ TB} = 1024\text{ GB}$, $1\text{ GB} = 1024\text{ MB}$, $1\text{ MB} = 1024\text{ KB}$ i $1\text{ KB} = 1024\text{ B}$ (Bytes). Calcula quants bytes exactes pot emmagatzemar el disc dur i expressa el resultat en notació científica.

La massa de la Terra és d'aproximadament $5,97 \cdot 10^{24}$ kg i la del planeta Júpiter és de $1,90 \cdot 10^{27}$ kg. Quantes vegades és més massiu Júpiter que la Terra? Expressa el resultat en notació científica i també en format decimal estàndard.

En mesurar la distància entre dues ciutats mitjançant un sistema GPS s'obté un valor real de $456321$ m. Un mapa turístic aproxima aquesta distància donant un valor de $4,56 \cdot 10^5$ m. Calcula l'error absolut i l'error relatiu comesos en fer servir l'aproximació del mapa. Expressa tots dos errors en notació científica.

La velocitat de la llum al buit és d'aproximadament $3 \cdot 10^5$ km/s. Un "any llum" és la distància que recorre la llum al buit durant un any terrestre ($365,25$ dies). Calcula a quants quilòmetres equival un any llum i expressa el resultat en notació científica amb quatre xifres significatives.

Sabent que $18$ grams d'aigua contenen $6,022 \cdot 10^{23}$ molècules (nombre d'Avogadro), calcula la massa en grams d'una única molècula d'aigua. Dona el resultat en notació científica amb quatre xifres significatives.

Ordena de menor a major els nombres següents, passant-los prèviament a notació científica normalitzada i comparant els seus ordres de magnitud:

$A = 0,0045 \cdot 10^{-3}$

$B = 450 \cdot 10^{-8}$

$C = 0,45 \cdot 10^{-5}$

$D = 45000 \cdot 10^{-11}$

En un laboratori de microelectrònica s'analitzen dues partícules les càrregues elèctriques de les quals, $A$ i $B$, vénen donades en notació científica estricta: $A = a \cdot 10^p$ i $B = b \cdot 10^q$, amb $1 \le a, b < 10$ i $p, q \in \mathbb{Z}$. Se'n desconeixen els valors individuals, però se n'han determinat experimentalment el producte i el quocient:

1. a) Planteja el sistema que relaciona les dues quantitats i resol algebraicament el valor exacte d'$A$ i de $B$.
2. b) Escriu $A$ i $B$ en notació científica formal, especificant amb claredat per a cadascun la seva mantissa i el seu ordre de magnitud, i verifica que les mantisses obtingudes compleixen estrictament la condició $1 \le |m| < 10$.

D'acord amb els informes del Ministeri per a la Transició Ecològica i el Repte Demogràfic (MITECO), la capacitat total màxima dels embassaments a Espanya és de $5,60 \cdot 10^4\text{ hm}^3$. Després d'un any de precipitacions escasses, la reserva hidràulica peninsular es troba al $38,0\,\%$ d'aquesta capacitat màxima.

Dada: $1\text{ hm}^3 = 10^6\text{ m}^3 = 10^9\text{ L}$.

1. a) Modela la situació expressant en notació científica el volum d'aigua emmagatzemada tant en metres cúbics ($\text{m}^3$) com en litres ($\text{L}$).
2. b) Si el consum conjunt estimat per a tots els usos (urbà, regadiu i industrial) és de $3,20 \cdot 10^7\text{ m}^3$ diaris i s'interrompés del tot qualsevol aportació nova d'aigua, calcula quants dies complets d'abastament quedarien. Expressa la divisió en notació científica i tradueix el resultat final a dies enters, indicant quin és el seu ordre de magnitud.

El volum total d'aigua de tots els oceans de la Terra s'estima en $1,332 \cdot 10^9\text{ km}^3$. Si suposem que una gota d'aigua estàndard té un volum mitjà de $0,05$ ml, determina el nombre total de gotes d'aigua que hi ha als oceans. Expressa el resultat en notació científica. (Recorda que $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$).

Donades les magnituds físiques $A = 3,2 \cdot 10^5$ i $B = 5,1 \cdot 10^{-4}$, calcula el valor de l'expressió algebraica $\frac{A^3}{\sqrt{B}}$. Expressa el resultat final en notació científica amb tres xifres significatives i indica clarament quin és el seu ordre de magnitud.

La llei de gravitació universal estableix que la força d'atracció entre dues masses és $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Sabent que la constant $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, la massa de la Terra és $m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg, la massa de la Lluna és $m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg i la distància mitjana entre els seus centres és $d = 3,84 \cdot 10^5$ km. Calcula la força d'atracció $F$ en newtons, utilitzant notació científica en tots els càlculs intermedis.

El producte interior brut (PIB) mundial en un any determinat va ser d'aproximadament $8,5 \cdot 10^{13}$ euros. Si la població mundial en aquell moment era de $7,8 \cdot 10^9$ habitants, calcula el PIB per càpita mitjà. Si es projecta que la població creixerà un $1,2\%$ anual i el PIB creixerà un $2,5\%$ anual, estima el PIB per càpita al cap de $10$ anys. Expressa tots els resultats en notació científica.

Un algorisme de xifratge de màxima seguretat utilitza claus de $256$ bits, la qual cosa significa que el nombre total de claus possibles és $2^{256}$. Utilitzant les propietats dels logaritmes decimals i sabent que $\log_{10} 2 \approx 0,30103$, expressa el nombre total de combinacions en notació científica estàndard $N \cdot 10^n$, on $1 \le N < 10$.

S'ha mesurat l'aresta d'un cub perfecte amb un instrument de precisió i es sap que la seva longitud està compresa en l'interval $[1,25 \cdot 10^{-2}, 1,26 \cdot 10^{-2}]$ m. Determina l'interval en què es troba el volum del cub expressat en $\text{mm}^3$, donant els extrems en notació científica. Calcula la cota d'error absolut si prenem com a volum estimat el punt mitjà d'aquest interval.

L'energia alliberada per un terratrèmol es relaciona empíricament amb la seva magnitud $M$ en l'escala de Richter mitjançant la fórmula $\log_{10} E = 11,8 + 1,5M$, on $E$ es mesura en ergs. Calcula l'energia alliberada per un terratrèmol de magnitud $7,5$ i per un altre de magnitud $8,5$. Quantes vegades és més gran l'energia del segon respecte al primer? Expressa els resultats d'energia en notació científica.

Una mostra de material radioactiu utilitzada en la datació de fòssils conté inicialment $N_0 = 4,5 \cdot 10^{20}$ nuclis. La quantitat de nuclis decau exponencialment segons la llei $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, on $\lambda = 3,2 \cdot 10^{-4}\text{ anys}^{-1}$. Calcula el nombre de nuclis que quedaran sense desintegrar al cap de $5000$ anys. Expressa el resultat final en notació científica amb dues xifres significatives.

Per operar la suma de magnituds astronòmiques:

un grup d'alumnes planteja tres mètodes de treball:

• Mètode 1: Desplaçar totes les comes per igualar els tres sumands al menor exponent comú ($10^8$), operar les mantisses resultants i normalitzar al final a notació científica.

• Mètode 2: Desplaçar les comes per igualar tots els sumands a l'ordre de magnitud del terme dominant ($10^{11}$), operar amb les mantisses decimals i aplicar el criteri de xifres significatives.

• Mètode 3: Desenvolupar totes les quantitats escrivint tots els seus zeros en notació decimal ordinària, operar en columna i transformar el resultat obtingut a notació científica.

1. a) Aplica de manera detallada els mètodes 1 i 2, mostrant les transformacions numèriques intermèdies.
2. b) Avalua comparativament els tres camins. Justifica per què el Mètode 2 és el més adequat i consistent amb el treball experimental en ciències aplicades, analitzant què passa amb les xifres significatives del terme $2,50 \cdot 10^8\text{ m}$ enfront de la precisió de la mesura principal, i explica per què els Mètodes 1 i 3 són ineficients o no tenen sentit físic.

Considera dos nombres reals estrictament positius expressats en notació científica: $X = a \cdot 10^p$ i $Y = b \cdot 10^q$, amb $p, q \in \mathbb{Z}$ i complint la condició canònica $1 \le a < 10$ i $1 \le b < 10$.

1. a) Demostra formalment que si $p > q$, aleshores necessàriament $X > Y$, basant-te de manera rigorosa en les desigualtats que acoten les mantisses $a$ i $b$, sense recórrer a exemples numèrics particulars.
2. b) La Irene afirma: «En sumar dos nombres en notació científica $X + Y$ amb $p > q$, l'ordre de magnitud del resultat sempre és exactament $p$». Analitza si l'afirmació de la Irene és vertadera o falsa. Si és falsa, aporta un contraexemple numèric en notació científica i dedueix quina és la condició analítica exacta que ha de complir la suma de mantisses alineades perquè l'ordre de magnitud passi a ser $p + 1$. Demostra a més si és matemàticament possible o impossible que l'ordre de magnitud de la suma arribi a ser $p + 2$.