Exercicis: Valor absolut d'un nombre real

Calcula el valor numèric de l'expressió següent: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.

Resol l'equació amb valor absolut: $|3x| = 12$.

Expressa la desigualtat $|x| \le 5$ en forma d'interval.

Escriu l'interval $(-8, 8)$ utilitzant la notació de valor absolut.

Calcula la distància a la recta real entre els punts $A = -6$ i $B = 11$ utilitzant el valor absolut.

Resol l'equació $|x - 4| = 3$.

Expressa la desigualtat $|x + 2| > 4$ com una unió d'intervals.

Determina quins valors reals de $x$ compleixen l'equació $|x| = -5$ i justifica la teva resposta.

En Lucas intenta resoldre a la pissarra l'equació $|3x - 6| = -9$ i escriu el desenvolupament següent:

$3x - 6 = -9 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$

$3x - 6 = 9 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$

Per tant, afirma convençut que l'equació té dues solucions: $x = -1$ i $x = 5$.

1. a) Sense necessitat de substituir els valors obtinguts en l'equació original, explica quin error conceptual comet en Lucas ja des del primer pas.
2. b) Determina quin és el veritable conjunt de solucions i justifica la teva resposta recolzant-te en la interpretació geomètrica del valor absolut com a distància.
3. c) Quina condició hauria de complir el nombre situat a l'altre costat de la igualtat perquè el mètode de desdoblar en dos casos amb signes oposats hagués estat vàlid?

En un laboratori de metrologia s'analitzen sensors industrials segons el marge de tolerància admissible en les seves lectures.

1. a) Escriu una inequació amb valor absolut de la forma $|x - c| \le r$ el conjunt de solucions de la qual coincideixi exactament amb l'interval tancat $[-3, 7]$. Dedueix de manera raonada els valors del centre $c$ i del radi de tolerància $r$ a partir dels extrems de l'interval.
2. b) Sense necessitat de recalcular el centre ni el radi, modifica la inequació anterior per descriure els sensors que han de ser rebutjats per sobrepassar la tolerància permesa, és a dir, aquells la lectura dels quals pertany al conjunt $(-\infty, -3) \cup (7, +\infty)$.

Una fàbrica de rodaments d'acer estipula que la longitud ideal d'una peça és de $250 \text{ mm}$. El control de qualitat rebutja qualsevol peça la longitud de la qual difereixi de la ideal en més de $1,2 \text{ mm}$. Expressa aquesta condició mitjançant una inequació amb valor absolut i determina l'interval de longituds vàlides.

Resol la inequació $\left| \frac{2x - 3}{4} \right| \le 1$ i representa la solució en forma d'interval.

Expressa l'interval tancat $[3, 11]$ mitjançant una inequació de la forma $|x - c| \le r$, determinant el valor del centre $c$ i del radi $r$.

Un cultiu de bacteris en un laboratori de biologia s'ha de mantenir a una temperatura exacta de $37^\circ\text{C}$. L'experiment s'arruïna si la temperatura oscil·la en $2,5^\circ\text{C}$ o més. Escriu la condició de fracàs de l'experiment fent servir valor absolut i resol-la per trobar els intervals de temperatura crítics.

Troba tots els valors reals de $x$ que satisfan l'equació amb dos valors absoluts: $|3x - 1| = |x + 5|$.

El preu d'una acció en borsa és avui de $60$ euros. Un model financer prediu que el preu $p$ de la setmana que ve complirà la relació $|p - 60| \le 4,8$. Quins són els preus màxim i mínim que contempla la predicció?

Simplifica l'expressió algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabent que la variable $x$ pertany a l'interval $(-2, 3)$.

Troba tots els nombres reals $x$ tals que la seva distància al punt $7$ és exactament el doble de la seva distància al punt $-2$.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) estableix l'avís groc per calor a la campiña cordovesa quan la temperatura màxima prevista $T$ (en $^\circ\text{C}$) satisfà la inequació $|T - 39,5| \le 2,5$.

1. a) Resol la inequació i interpreta el resultat determinant l'interval tancat de temperatures que comprèn aquest nivell d'avís. Assenyala amb claredat quina és la temperatura central de referència i l'oscil·lació màxima permesa.
2. b) L'AEMET eleva la situació a avís taronja si la temperatura supera estrictament el límit superior de l'avís groc però no arriba a assolir els $44,0\,^\circ\text{C}$. Modela aquest nou interval de temperatures mitjançant una única inequació amb valor absolut de la forma $|T - c| < r$.
3. c) Si una estació meteorològica automàtica registra $36,4\,^\circ\text{C}$, justifica matemàticament si es troba o no dins del rang d'avís groc calculant el valor numèric de $|T - 39,5|$ i interpretant la distància obtinguda.

Considera l'equació amb dos valors absoluts $|x - 1| + |x - 7| = 10$.

1. a) Interpreta geomètricament $|x - 1|$ i $|x - 7|$ com les distàncies d'un nombre real $x$ als punts $1$ i $7$ a la recta numèrica. Quant val la suma d'aquestes dues distàncies si $x$ se situa en qualsevol punt de l'interior del segment $[1, 7]$?
2. b) A partir del raonament anterior, explica per què és impossible que existeixin solucions dins de l'interval $[1, 7]$ i estima raonadament, aprofitant la simetria de la recta real i sense fer càlculs algebraics, quines han de ser les dues solucions exactes de l'equació.
3. c) Resol l'equació formalment estudiant els tres intervals determinats pels punts crítics $x = 1$ i $x = 7$ (o definint el primer membre com una funció a trossos) i comprova si la teva estimació inicial era correcta.

Resol la inequació quadràtica amb valor absolut: $|x^2 - 2x| < 3$.

El sistema de navegació d'un submarí requereix que la seva profunditat ideal $h$ (en metres, on $h > 0$) es mantingui en el rang $|h - 250| \le 30$. Tanmateix, els forts corrents marins introdueixen una pertorbació, de manera que la profunditat real $h_r$ del submarí compleix $|h_r - h| \le 12$. Calcula l'interval absolut de profunditats reals entre les quals pot moure's el submarí en el pitjor dels casos.

Discuteix el nombre de solucions de l'equació $|x - 4| + |x + 1| = k$ en funció dels valors del paràmetre real $k$.

Resol la equació següent que conté valors absoluts niats: $||x - 2| - 5| = 3$.

Demostra, utilitzant la desigualtat triangular ($|x + y| \le |x| + |y|$), que per a qualssevol nombres reals $a$ i $b$, es compleix la desigualtat $|a - b| \ge ||a| - |b||$.

La gràfica següent representa una funció definida mitjançant la diferència de dos valors absoluts, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ amb $a < b$. Observant els vèrtexs i els trams constants en la figura, determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$, i escriu l'expressió analítica de $f(x)$ definida a trossos sense usar valors absoluts.

Resol la inequació fraccionària $\frac{3}{|x - 1|} \ge 2$.

En un model d'aprenentatge automàtic, l'error $E$ entre la predicció $y$ i el valor real $t$ es defineix com a $E = |y - t|$. Si es garanteix pel disseny del model que $|y - 15| \le 1,5$ i $|t - 15| \le 2,5$, determina una cota superior per a l'error màxim possible $E$ utilitzant les propietats del valor absolut, i troba l'interval de valors possibles per a la diferència $y - t$.

Per resoldre la inequació $|2x - 3| \le |x + 3|$, dos estudiants de Batxillerat proposen camins diferents:

• Mètode A: Dividir la recta real en tres intervals a partir dels punts crítics que anul·len cada valor absolut ($x = -3$ i $x = 1,5$), reescriure l'expressió sense barres a cada zona i resoldre els tres sistemes resultants.

• Mètode B: Com que ambdós membres són no negatius per a qualsevol $x \in \mathbb{R}$, elevar ambdós membres al quadrat obtenint $(2x - 3)^2 \le (x + 3)^2$, i resoldre mitjançant la factorització d'una diferència de quadrats $(2x - 3)^2 - (x + 3)^2 \le 0$.

1. a) Aplica el Mètode B factoritzant la diferència de quadrats (sense desenvolupar els binomis al quadrat) per trobar el conjunt de solucions en forma d'interval.
2. b) Justifica formalment per què el Mètode B és matemàticament rigorós en aquest exercici i explica per què deixaria de ser aplicable de manera directa si la inequació fos $|2x - 3| \le |x + 3| - 4$.
3. c) Compara la càrrega algebraica i el risc d'error entre ambdós mètodes. Quin dels dos resulta més avantatjós per a inequacions de la forma $|A(x)| \le |B(x)|$?

En una prova escrita, en Mateo intenta deduir i aplicar propietats del valor absolut, però comet errors conceptuals encadenats:

«Per la desigualtat triangular sabem que $|a| = |(a - b) + b| \le |a - b| + |b|$, d'on en restar $|b|$ s'obté $|a| - |b| \le |a - b|$. Com que la distància mai no és negativa, podem concloure que sempre $|a - b| = |a| - |b|$. Per tant, per resoldre la inequació $|x - 4| \ge 5$, n'hi ha prou amb escriure $|x| - 4 \ge 5$, és a dir, $|x| \ge 9$, la solució de la qual és $(-\infty, -9] \cup [9, +\infty)$».

1. a) Assenyala amb precisió les dues errades de raonament lògic comeses per en Mateo i aporta un contraexemple numèric senzill amb valors concrets d'$a$ i $b$ que refuti la igualtat $|a - b| = |a| - |b|$.
2. b) A partir del pas correcte d'en Mateo ($|a| - |b| \le |a - b|$), intercanvia els papers d'$a$ i $b$ per deduir rigorosament la desigualtat triangular inversa: $\big||a| - |b|\big| \le |a - b|$. Quina condició han de complir els signes d'$a$ i $b$ perquè aquesta expressió assoleixi la igualtat?
3. c) Resol de manera correcta la inequació $|x - 4| \ge 5$ i interpreta sobre la recta real per què la solució obtinguda per en Mateo estava desplaçada respecte a la solució veritable.