Exercicis: Inequacions amb arrels quadrades

Resol la inequació $\sqrt{x - 2} < 5$. Expressa la solució en forma d'interval.

Determina el conjunt de solucions de la inequació $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.

Troba els valors de $x$ que satisfan la desigualtat $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.

Resol la inequació $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.

Troba la solució de la inequació $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.

Resol el sistema d'inequacions següent amb una incògnita: $\sqrt{x} \ge 2$ i $\sqrt{x} < 5$.

Determina el domini de la funció real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.

Analitza i resol la inequació $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica la teva resposta.

En Marcos intenta resoldre la inequació irracional $\sqrt{2x - 8} \leq -2$. Per fer-ho, escriu al seu examen els passos següents:

1) «Econsegueixo elevar ambdós membres al quadrat: $(\sqrt{2x - 8})^2 \leq (-2)^2 \implies 2x - 8 \leq 4$».

2) «Aïllo la incògnita: $2x \leq 12 \implies x \leq 6$».

3) «Calculo el domini de l'arrel: $2x - 8 \geq 0 \implies x \geq 4$».

4) «Interseco ambdues condicions i la solució és l'interval $[4, 6]$».

Explica detalladament quin error conceptual greu ha comès en Marcos en el pas 1, per què la propietat d'elevar al quadrat no és aplicable en aquest cas i quina és la solució real i justificada de la inequació sense necessitat de fer càlculs.

Es planteja la inequació $\sqrt{25 - x} \leq 3$.

1. a) Abans de resoldre-la algebraicament, raona qualitativament quin tipus d'interval esperes: fitat per l'esquerra, per la dreta o per ambdós extrems? Justifica-ho analitzant què passa amb el radicand a mesura que $x$ creix i quina limitació imposa l'existència de l'arrel.
2. b) Fes una estimació mental avaluant en valors senzills ($x = 0$, $x = 16$, $x = 25$) per conjecturar si la solució contindrà valors propers a $25$ o propers a $0$.
3. c) Resol la inequació mitjançant el procediment algebraic formal (domini i elevació al quadrat) i comprova si la teva estimació inicial era coherent.

El període $T$ d'oscil·lació d'un pèndol simple ve donat per la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, on $L$ és la longitud del pèndol en metres i $g$ és l'acceleració de la gravetat. Assumint $g \approx \pi^2 \text{ m/s}^2$, troba el rang de longituds $L$ per a les quals el període d'oscil·lació està estrictament entre $1$ i $3$ segons.

Un dron de vigilància està programat per mantenir-se a una distància estrictament menor de $5$ km d'una base situada en l'origen de coordenades $(0,0)$. Si la trajectòria del dron ve donada pels punts de la forma $(x, 3)$, planteja i resol la inequació amb arrels que determina els valors de $x$ permesos per a la trajectòria.

Resol la inequació $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Tingues en compte les restriccions del domini del radicand.

El temps de producció $T$ en hores per fabricar $x$ lots d'un component electrònic segueix el model $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el torn de treball màxim diari és de $14$ hores, quants lots complets es poden produir com a màxim respectant el límit de temps?

Determina el domini de la funció real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.

El disseny d'un panell solar rectangular exigeix que la seva base mesuri $2$ metres fixos i que la seva diagonal $d$ compleixi la relació $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ metres, on $x$ és un paràmetre d'ajust estructural. Troba els valors de $x$ que garanteixen que l'altura del panell sigui de com a mínim $2$ metres.

Troba el conjunt de solucions que satisfan simultàniament el sistema d'inequacions següent:

$\sqrt{3x + 1} \le 4$

$x^2 - 2x - 3 > 0$

La velocitat $v$ (en km/h) d'un vehicle abans de frenar bruscament es pot estimar mitjançant la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, on $d$ és la longitud de les marques de derrapada en metres. Si en un tram d'autovia el límit de velocitat és de $120\text{ km/h}$, planteja una inequació i determina quines longituds de derrapada indiquen que el conductor superava el límit de velocitat.

La Direcció General de Trànsit (DGT) i els equips d'atestats utilitzen models matemàtics per estimar la velocitat prèvia a la frenada a partir de les marques de pneumàtics sobre l'asfalt. En un tram mullat d'una carretera comarcal espanyola, la velocitat estimada $v$ (en $\text{km/h}$) i la distància de frenada $d$ (en metres) es relacionen mitjançant l'expressió $v = \sqrt{120 \cdot d}$.

Després d'un incident, un conductor sosté que circulava a una velocitat reglamentària (és a dir, $v \leq 90\text{ km/h}$), mentre que els mesuraments d'un radar de tram previ asseguren que la seva velocitat no era inferior a $60\text{ km/h}$.

1. a) Tradueix aquesta situació a una inequació doble amb arrels quadrades en funció de la distància $d$.
2. b) Determina el domini de validesa física i matemàtica de l'expressió.
3. c) Resol la inequació per trobar l'interval admisible de longituds de frenada $d$ que farien compatibles ambdós testimonis, expressant el resultat en forma d'interval amb nombres decimals aproximats a les centèsimes.

Es vol construir una inequació de la forma $\sqrt{a \cdot x + b} < c$, on $a$, $b$ i $c$ són nombres reals fixats, de manera que el seu conjunt de solucions sigui exactament l'interval semiobert $[-3, 5)$.

1. a) Justifica, a partir de les propietats de les arrels quadrades, per què la constant $c$ ha de ser estrictament positiva.
2. b) Sabent que $a = 2$, determina de forma raonada els valors que han de prendre els paràmetres $b$ i $c$ (exigint que $c$ sigui un nombre enter).
3. c) Explica per què l'extrem esquerre de l'interval solució és tancat ($-3 \in [-3, 5)$) mentre que el dret és obert ($5 \notin [-3, 5)$), relacionant cadascun d'ells amb una etapa diferent de la resolució.

Resol la inequació $\sqrt{x + 6} > x$. Para especial atenció als casos en què el segon membre pugui ser negatiu.

Una antena de telecomunicacions té un radi de cobertura eficaç de $10\text{ km}$. Un vehicle viatja per una carretera recta i la seva distància a l'antena en quilòmetres en l'instant $t$ (en minuts) ve donada per la funció $d(t) = \sqrt{t^2 - 12t + 52}$. Determina l'interval de temps durant el qual el vehicle disposa de cobertura.

Determina els valors del paràmetre $m$ per als quals la inequació $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ es satisfà per a qualsevol nombre real $x$.

Resol la inequació $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.

Per connectar una estació base a un repetidor, s'ha d'estendre un cable de fibra òptica. El cost d'estendre el cable per un terreny rocós és proporcional a la distància en línia recta $\sqrt{x^2 + 16}$, i el cost per terreny pla és proporcional a la distància restant $(8 - x)$. El model de cost total simplificat ve donat per $C(x) = 2\sqrt{x^2 + 16} + (8 - x)$. Per a quins valors de $x \ge 0$ el cost total compleix la restricció pressupostària $C(x) \le 16$?

Resol la inequació amb radicals niats $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.

En la teoria de la relativitat especial, el factor de dilatació temporal de Lorentz ve donat per $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, on $v$ és la velocitat de l'objecte i $c$ la velocitat de la llum. Planteja i resol una inequació per trobar el rang de velocitats $v$ (expressades com una fracció de $c$, assumint $v \ge 0$) per a les quals el factor de Lorentz és estrictament major que $2$.

Donades les funcions $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ i $g(x) = x - 2$, resol algebraicament la inequació $f(x) > g(x)$ i corrobora el teu resultat observant la representació gràfica adjunta.

Per resoldre la inequació $\sqrt{2x + 5} > x - 5$, dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• La Lucía proposa elevar directament ambdós membres al quadrat: $2x + 5 > (x - 5)^2$, resoldre la inequació polinòmica resultant i creuar el conjunt solució amb el domini d'existència de l'arrel ($2x + 5 \geq 0$).

• En Sergio sosté que el mètode de la Lucía és incorrecte perquè el signe de $x - 5$ no és constant. El seu mètode consisteix a distingir dos casos: quan $x - 5 < 0$ (on la desigualtat és directa si l'arrel existeix) i quan $x - 5 \geq 0$ (on és lícit elevar al quadrat), unint finalment les solucions d'ambdós casos.

1. a) Demostra mitjançant un contraexemple numèric (triant un valor concret de $x$) que el mètode de la Lucía omet solucions vàlides.
2. b) Justifica formalment per què el mètode d'en Sergio és rigorós basant-te en el signe de cada membre i en la monotonia de la funció $f(t) = t^2$.
3. c) Desenvolupa completament el mètode d'en Sergio i troba l'interval solució definitiu de la inequació.

Donada la inequació amb dues arrels $\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 1} \leq 2$:

1. a) Determina el domini conjunt d'existència de la inequació, raonant per què la condició s'ha d'aplicar a ambdós radicands simultàniament.
2. b) Explica per què transformar la inequació en $\sqrt{2x + 3} \leq 2 + \sqrt{x - 1}$ abans d'elevar al quadrat és un pas imprescindible per garantir que ambdós membres siguin no negatius i conservar l'equivalència de la desigualtat.
3. c) Resol la inequació aplicant de manera justificada les transformacions necessàries i expressa el conjunt final de solucions com un interval tancat els extrems del qual siguin nombres reals exactes (en funció de radicals irreductibles).