Exercicis: Paritat d'una funció

Determina analíticament si la funció polinòmica $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ és parella, senar o cap de les dues.

Estudia la paritat de la funció racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicant si presenta simetria respecte a l'eix d'ordenades o respecte a l'origen.

Observa la gràfica següent i classifica la funció representada com a parella, senar o sense simetria evident, justificant la teva resposta a partir dels punts destacats.

Sabent que el cost de manteniment d'una màquina segueix una funció parella $C(t)$ respecte al temps òptim $t=0$, i que $C(4) = 150$ euros, quin serà el valor de $C(-4)$?

La posició d'un objecte en un entorn virtual tridimensional es regeix per una funció senar $p(t)$. Si en l'instant $t=3$ s la seva posició en un dels eixos és $p(3) = -12$ m, quina era la seva posició en l'instant $t=-3$ s?

Comprova matemàticament si la funció polinòmica $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta algun tipus de simetria respecte a l'eix d'ordenades o respecte a l'origen.

Completa els valors que falten perquè la funció $f(x)$ sigui senar en tot el seu domini: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$

Determina analíticament la paritat de la funció trigonomètrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordant les propietats del sinus per a angles negatius.

La Lucía afirma a classe: «Com que a la funció $f(x) = 2x^3 - 5x + 3$ els exponents de les $x$ són $3$ i $1$ (tots dos senars), la funció ha de ser senar. Per demostrar-ho, calculo $f(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) + 3 = -2x^3 + 5x + 3 = -(2x^3 - 5x - 3)$, i com que gairebé tots els termes canvien de signe, es pot considerar senar tret de la constant».\na) Identifica l'error conceptual i algebraic comès per la Lucía en aplicar la definició de funció senar.\nb) Determina analíticament si $f(x)$ és parella, senar o cap de les dues.\nc) Raona quina modificació mínima caldria fer en el terme independent perquè la funció resultant sí que sigui simètrica respecte a l'origen de coordenades.

Donada la funció $g(x) = x^3 \cdot \sin(x)$:\na) Estima la seva paritat abans de calcular: analitza la simetria de cada factor per separat ($x^3$ i $\sin(x)$) i, aplicant la regla dels signes per al producte de funcions simètriques, anticipa si esperes que $g(x)$ sigui parella, senar o cap de les dues.\nb) Comprova formalment la teva estimació calculant $g(-x)$ pas a pas i utilitzant la propietat trigonomètrica de $\sin(-x)$.\nc) Avalua numèricament $g\left(\frac{\pi}{2}\right)$ i $g\left(-\frac{\pi}{2}\right)$. Coincideixen aquests valors amb el que prediu la paritat obtinguda? Justifica la teva resposta.

El perfil d'un arc arquitectònic es modelitza mitjançant la funció $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, on $x$ és la distància horitzontal al centre en metres. Demostra analíticament si aquest perfil és simètric respecte a l'eix central vertical (funció parella).

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la funció de beneficis d'una empresa, donada per $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sigui una funció parella i, per tant, simètrica respecte a $x=0$.

La força d'atracció electromagnètica entre dos components metàl·lics es modelitza amb una funció senar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, on $d$ és la distància. Determina el valor que ha de tenir obligatòriament el paràmetre $b$ perquè es compleixi aquesta simetria.

Donades dues funcions, $f(x)$ que és parella i $g(x)$ que és senar, demostra analíticament quin tipus de paritat té la funció producte $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.

La gràfica mostra la meitat dreta (per a $x \ge 0$) del perfil d'una antena parabòlica. Sabent que la seva equació global correspon a una funció parella, descriu com seria la meitat esquerra i quin valor prendrà $f(-x)$ en funció de $f(x)$.

Estudia la paritat de la funció $f(x) = x|x|$, que descriu la força d'arrossegament aerodinàmic d'un vehicle en funció de la seva velocitat $x$.

Determina analíticament si la funció $g(x) = \frac{x^3 - x}{|x|}$ és parella, senar o cap de les dues.

Una empresa d'anàlisi de dades utilitza la funció $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ per mesurar l'error simètric d'un algorisme de predicció. Analitza i demostra la paritat d'aquesta funció.

En una estació de control d'AEMET en una zona d'alta insolació, l'oscil·lació tèrmica respecte a la temperatura mitjana diària durant un dia clar d'equinocci s'aproxima mitjançant el model $T(t) = \frac{12 \cdot \cos(0,26 \cdot t)}{1 + 0,01 \cdot t^2}$, on $t$ és el temps en hores transcorregut des del migdia solar ($t = 0$, que correspon a les 13:30 h oficials), definit per a l'interval $t \in [-12, 12]$.\na) Demostra analíticament si el model de temperatura $T(t)$ és una funció parella, senar o no presenta simetria.\nb) Interpreta físicament el resultat: què prediu aquest model sobre la temperatura a les 10:30 h oficials en comparació amb la temperatura a les 16:30 h oficials?\nc) Si a partir de les hores de la tarda el vent habitual introdueix un refredament addicional lineal modelitzat per un terme $-0,4 \cdot t$ en tota l'expressió, raona si la nova funció resultant mantindria la simetria respecte al migdia solar.

Considera la família de funcions racionals $f(x) = \frac{a \cdot x^3 + (b - 4) \cdot x^2 + 6x}{x^2 + 2}$, on $a$ i $b$ són paràmetres reals.\na) Troba els valors d'$a$ i $b$ perquè la funció $f(x)$ sigui senar i la seva gràfica passi pel punt $(1, 3)$.\nb) És possible triar valors per a $a$ i $b$ de manera que $f(x)$ sigui una funció parella? Si creus que és possible, calcula'ls; si no ho és, justifica de manera algebraica per què cap parell de valors reals no pot aconseguir-ho.

Demostra que qualsevol funció $f(x)$ definida a $\mathbb{R}$ es pot expressar com la suma d'una funció parella $P(x)$ i una funció senar $I(x)$ utilitzant les expressions $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ i $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$.

Sabent que qualsevol funció $f(x)$ definida a $\mathbb{R}$ es pot expressar com la suma d'una funció parella $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ i una funció senar $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$, descompon la funció exponencial $f(x) = e^x$ en la suma d'una funció parella i una funció senar.

Estudia la paritat de la funció $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilitzada en física per modelitzar certs potencials elèctrics en l'interval $(-1, 1)$.

Si $f(x)$ és una funció parella i $g(x)$ és una funció senar, determina i demostra rigorosament la paritat de la funció composta $h(x) = f(g(x))$.

Un enginyer dissenya una peça mecànica el contorn superior de la qual ve donat per $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabent que el contorn és una funció senar, passa pels punts $(2, \frac{10}{3})$ i $(3, \frac{15}{4})$, i té una asímptota vertical a $x=1$ (per a $x>0$), calcula els valors exactes dels paràmetres $a, b$ i $c$.

Analitza la paritat de la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, que representa la diferència de distàncies d'un punt $P(x, 0)$ de l'eix d'abscisses a dos focs emissors de calor situats a $F_1\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ i $F_2\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Sigui $f(x)$ una funció polinòmica de grau 4. Si $f(x)$ és una funció parella, $f(0)=3$, $f(1)=4$ i $f(2)=11$, determina l'expressió analítica completa de $f(x)$.

La derivada d'una funció ens dóna el pendent de la seva recta tangent en cada punt. Si $f(x)$ és una funció senar i derivable en tot $\mathbb{R}$, demostra matemàticament que la seva funció derivada $f'(x)$ ha de ser obligatòriament una funció parella.

Per estudiar la paritat de la funció $h(x) = \frac{x^3 \cdot \sin(x^2)}{1 + \cos(x)}$, es plantegen dos camins diferents:\n- Mètode 1 (Avaluació directa): Substituir sistemàticament $x$ per $-x$ en tota l'expressió, operar aplicant les identitats trigonomètriques de paritat i comparar $h(-x)$ amb $h(x)$ i $-h(x)$.\n- Mètode 2 (Àlgebra de simetries): Descompondre $h(x)$ en el producte i quocient dels blocs elementals $f_1(x) = x^3$, $f_2(x) = \sin(x^2)$ i $f_3(x) = 1 + \cos(x)$, analitzar la paritat de cada bloc mitjançant les regles de composició i suma, i deduir la simetria global.\na) Aplica tots dos mètodes detallant tots els passos analítics.\nb) Compara tots dos camins: quin resulta més segur i eficient per evitar errors amb els signes en funcions niades complexes? Justifica la teva postura.\nc) Utilitzant el mètode que hagis justificat com a més eficient en l'apartat anterior, dedueix directament la paritat de la funció modificada $k(x) = \frac{x^3 \cdot \sin^2(x)}{1 + \cos(x)}$ sense desenvolupar el càlcul directe complet.

Dissenya l'expressió algebraica d'una funció racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (on $P(x)$ i $Q(x)$ són polinomis de coeficients reals, sense factors comuns i amb el menor grau possible) que compleixi simultàniament aquestes quatre condicions:\n1. El seu domini és exactament $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.\n2. $f(x)$ és una funció senar en tot el seu domini.\n3. La seva gràfica talla l'eix d'abscisses en el punt $x = 1$.\n4. La gràfica passa pel punt $(3; -4,8)$.\n\nPer construir-la, respon raonadament als passos següents:\na) Dedueix el polinomi del denominador $Q(x)$ i justifica quina paritat té.\nb) Demostra quina paritat obligatòria ha de tenir el numerador $P(x)$ perquè el quocient compleixi la condició de ser senar.\nc) Dedueix tots els zeros obligatoris que ha de tenir $P(x)$ basant-te en la simetria i escriu l'expressió factoritzada de $P(x)$ en funció d'una constant $a$.\nd) Determina el valor exacte de la constant $a$ utilitzant el punt donat i escriu la fórmula final simplificada de $f(x)$.