Exercicis: Funció inversa

Troba l'expressió analítica de la funció inversa o recíproca de la funció afí $f(x) = 3x - 5$.

Determina la funció recíproca de la funció racional $g(x) = \frac{4}{x+2}$.

Calcula la funció inversa de $h(x) = \sqrt{2x - 1}$, indicant el domini de la nova funció obtinguda.

Donada la gràfica de la funció exponencial $f(x) = 2^x$, dibuixa a la teva llibreta els eixos de coordenades, la recta bisectriu del primer quadrant ($y = x$) i esboça la gràfica de la seva funció inversa $f^{-1}(x)$. Identifica les coordenades de com a mínim tres punts pels quals passi $f^{-1}(x)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Comprova, utilitzant la composició de funcions, si $f(x) = \frac{x+1}{2}$ i $g(x) = 2x - 1$ són funcions inverses. Has de verificar que $(f \circ g)(x) = x$ i que $(g \circ f)(x) = x$.

Obtén la funció inversa de la funció exponencial $f(x) = 2^{x-3}$.

Troba la funció recíproca de la funció logarítmica $g(x) = \log_3(x) + 1$.

Sabent que $f(x) = x^3 + 2x + 1$, calcula el valor numèric de $f^{-1}(4)$ sense necessitat de trobar l'expressió algebraica completa de la funció inversa.

En Marcos ha de trobar la funció inversa de $f(x) = \frac{3x - 5}{2}$. En el seu examen escriu la resolució següent:

«Com que la inversa es denota per $f^{-1}(x)$, aplico la propietat de les potències d'exponent negatiu invertint la fracció:

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual comès per en Marcos, distingint amb claredat entre el recíproc o invers multiplicatiu d'un nombre i la funció inversa respecte de la composició.
2. b) Corregeix l'exercici fent el procediment adequat pas a pas per trobar la veritable expressió de $f^{-1}(x)$.
3. c) Comprova que el teu resultat és correcte verificant que $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

En una estació meteorològica de l'AEMET situada al nivell del mar es registra una temperatura de $24\text{ }^\circ\text{C}$. A la comarca muntanyosa adjacent, la temperatura descendeix linealment a raó de $0,65\text{ }^\circ\text{C}$ per cada $100\text{ m}$ d'altitud ($h$, expressada en centenars de metres), segons el model $T(h) = 24 - 0,65h$.

1. a) Abans de fer cap càlcul analític, estima si per trobar una temperatura d'$11\text{ }^\circ\text{C}$ caldrà ascendir a més o a menys de $1500\text{ m}$ d'altitud ($h = 15$) i justifica breument el teu raonament qualitatiu.
2. b) Aïlla la variable $h$ en l'equació per obtenir la funció inversa $h(T)$, interpreta quina magnitud calcula aquesta funció i troba amb ella l'altitud exacta (en metres) a la qual la temperatura és d'$11\text{ }^\circ\text{C}$.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació prèvia i valora si el resultat és coherent amb el comportament físic del model.

El cost de producció mensual en euros de $x$ unitats d'un component electrònic ve donat per la funció $C(x) = \frac{120x + 500}{x + 2}$. Troba la funció inversa $C^{-1}(x)$ i interpreta què representa aquesta nova funció en el context del problema.

La relació que permet convertir una temperatura donada en graus Celsius ($C$) a graus Fahrenheit ($F$) és $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Troba la funció inversa $C(F)$ i utilitza-la per calcular a quants graus Celsius corresponen $68$ graus Fahrenheit.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$, troba la seva funció inversa $f^{-1}(x)$. A continuació, calcula el domini de $f(x)$ i el domini de $f^{-1}(x)$, i explica la relació que existeix entre aquests dominis i els recorreguts (imatges) de totes dues funcions.

El nombre d'usuaris d'una nova aplicació de missatgeria creix segons el model $U(t) = 150 \cdot e^{0,2t}$, on $t$ es mesura en setmanes i $U(t)$ en milers d'usuaris. Determina la funció inversa $t(U)$ i utilitza-la per calcular quant de temps exacte ha de transcorrer perquè l'aplicació assoleixi els $3000$ milers d'usuaris (tres milions).

La funció quadràtica $f(x) = x^2 - 6x + 8$ no té funció inversa en tot $\mathbb{R}$ perquè no és injectiva. Restringeix el seu domini a l'interval $[3, +\infty)$ i calcula l'expressió analítica de la seva funció inversa en aquest interval.

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la funció $f(x) = \frac{3x + 2}{x + k}$ sigui la seva pròpia inversa, és a dir, que es compleixi la condició $f(f(x)) = x$ per a qualsevol valor del seu domini.

La depreciació anual d'un equip industrial es modelitza amb la funció $V(t) = 12000 \cdot (0,8)^t$, on $V$ és el valor actual en euros i $t$ el temps transcorregut en anys des de la seva compra. Troba la funció inversa $t(V)$ i indica quants anys han passat exactament si l'equip es valora avui en $6144$ euros.

Es mostra la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 2$ restringida al domini $x \ge 0$. Dibuixa a la teva llibreta la recta $y = x$ i la gràfica de la funció inversa $f^{-1}(x)$. Determina algebraicament el punt exacte de tall entre totes dues corbes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El consum de combustible d'un automòbil que circula per una autovia espanyola a velocitat constant ve modelitzat per la funció $C(v) = 4,2 + 0,0003 \cdot (v - 80)^2$, on $v$ és la velocitat del vehicle en $\text{km/h}$, restringida a l'interval reglamentari $[80, 120]$, i $C(v)$ és el consum en litres cada $100\text{ km}$ ($\text{L}/100\text{ km}$).

1. a) Justifica matemàticament, analitzant la monotonia de $C(v)$ en l'interval $[80, 120]$, per què la funció és injectiva en aquest domini i per què això garanteix l'existència de la seva funció inversa.
2. b) Obtén l'expressió analítica de la funció inversa $v(C)$ i indica raonadament el seu domini de definició i la seva interpretació en el context de la conducció.
3. c) Si l'ordinador de viatge indica que el consum mitjà en un tram pla ha estat de $4,68\text{ L}/100\text{ km}$, utilitza la funció $v(C)$ per determinar la velocitat exacta a la qual circulava el vehicle.

Es vol determinar el valor dels coeficients d'una funció homogràfica de la forma $f(x) = \frac{ax + 4}{2x - 3}$ (amb $x \neq 1,5$) perquè satisfaci simultàniament dues condicions: la seva gràfica ha de passar pel punt $(1, -7)$ i ha de ser idèntica a la seva pròpia funció inversa, és a dir, $f(x) = f^{-1}(x)$ en tot el seu domini.

1. a) Planteja i resol l'equació que permet calcular el paràmetre real $a$ a partir del punt pel qual passa la gràfica.
2. b) Amb el valor d'$a$ trobat, calcula l'expressió algebraica de $f^{-1}(x)$ aïllant la variable independent i verifica si efectivament es compleix la igualtat $f(x) = f^{-1}(x)$.
3. c) Raona geomètricament quina simetria respecte a la recta $y = x$ ha de posseir la gràfica de qualsevol funció que coincideixi amb la seva pròpia inversa.

El nivell d'intensitat sonora en decibels (dB) percebut per l'oïda humana es calcula mitjançant la funció $\beta(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, on $I$ és la intensitat acústica en $\text{W/m}^2$ i $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ és la intensitat llindar d'audició. Troba la funció inversa $I(\beta)$ que determina la intensitat en funció dels decibels. Si el llindar de dolor humà es situa en $120 \text{ dB}$, quina és la intensitat acústica corresponent?

Donades les funcions $f(x) = \frac{x}{x-2}$ i $g(x) = \sqrt{x+1}$, obtén pas a pas l'expressió analítica de la funció inversa de la composició, és a dir, $(f \circ g)^{-1}(x)$, i determina el domini de validesa d'aquesta nova funció.

Calcula la funció inversa de la funció definida a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Comprova analíticament que el domini de $f^{-1}$ coincideix exactament amb el recorregut de $f$.

Sabent que la funció racional $f(x) = \frac{ax + b}{cx - 1}$ és la seva pròpia funció inversa (és a dir, $f^{-1}(x) = f(x)$) i que la seva gràfica passa pels punts $(2, 5)$ i $(0, -3)$, planteja un sistema d'equacions i determina els valors numèrics dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.

La concentració $C(t)$ d'un reactiu en una reacció química de segon ordre evoluciona segons la llei $C(t) = \frac{C_0}{1 + k \cdot C_0 \cdot t}$, on $C_0$ és la concentració inicial i $k$ és la constant de velocitat. Aïlla el temps $t$ per trobar la funció inversa $t(C)$. Utilitza-la per demostrar que el temps de vida mitjana (el temps necessari perquè la concentració es redueixi a la meitat, $C = \frac{C_0}{2}$) és inversament proporcional a la concentració inicial $C_0$.

Sigui la funció radical $f(x) = \sqrt{x+6}$. Calcula la seva funció inversa $f^{-1}(x)$ indicant clarament el seu domini. Determina analíticament els punts de tall entre les gràfiques de $f(x)$ i $f^{-1}(x)$, sabent que per simetria aquests punts s'han de trobar sobre la recta $y = x$.

La propagació d'un virus informàtic en una xarxa tancada es modelitza mitjançant la funció logística $N(t) = \frac{5000}{1 + 49e^{-0,5t}}$, on $N(t)$ és el nombre d'ordinadors infectats i $t$ representa els dies transcorreguts des de la detecció inicial. Determina la funció inversa $t(N)$. Quin significat té el domini d'aquesta funció inversa en el context del límit de propagació del virus?

Demostra algebraicament que si $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^3 - 1}$, aleshores la seva funció inversa ve donada per l'expressió $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$. A continuació, justifica mitjançant la resolució d'una equació si la gràfica de $f(x)$ interseca la gràfica de la seva funció inversa.

Donada la funció $f(x) = \sqrt{2x + 15}$, definida per a $x \in [-7,5, +\infty)$, es volen determinar els punts de tall entre la seva gràfica i la de la seva funció inversa $f^{-1}$. Dos estudiants plantegen camins diferents:

• Mètode 1 (Aïllament directe): Calcular l'expressió de $f^{-1}(x)$, plantejar l'equació $f(x) = f^{-1}(x)$ i resoldre-la elevant al quadrat.

• Mètode 2 (Simetria): Utilitzar la propietat que, si una funció estrictament creixent es talla amb la seva inversa, els punts d'intersecció s'han de situar necessàriament sobre la recta bisectriu $y = x$, resolent directament l'equació $f(x) = x$.

1. a) Compara els dos mètodes i justifica per què el Mètode 1 resulta notablement més complex i ineficient (analitza el grau del polinomi al qual dóna lloc i el risc d'arrels estranyes en comparació amb el Mètode 2).
2. b) Aplica el Mètode 2 per resoldre l'equació, comprova raonadament la validesa de les solucions obtingudes en el domini de totes dues funcions i dona les coordenades exactes $(x, y)$ del punt o punts de tall.
3. c) Comprova que el punt trobat pertany efectivament a la gràfica de $f^{-1}$.

Considera la funció real definida a trossos:

on $b$ és un paràmetre real.

1. a) Troba el vèrtex de la paràbola corresponent al segon tram i determina el seu recorregut per a $x > 2$. Recolzant-te en el criteri de la recta horitzontal, dedueix raonadament quina condició ha de complir el valor màxim del primer tram perquè $f$ sigui injectiva a tot $\mathbb{R}$, i escriu la desigualtat que ha de satisfer el paràmetre $b$.
2. b) En el cas límit en què la funció resulta contínua ($b = -1$), justifica per què $f$ és bijectiva de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ i dedueix l'expressió analítica de la seva funció inversa $f^{-1}(x)$, indicant de manera precisa el domini de cadascun dels seus trams.
3. c) Sense necessitat de calcular prèviament $f(x)$, utilitza les propietats de la composició i la funció obtinguda a l'apartat anterior per resoldre l'equació $(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(7)$.