Exercicis: Taula i gràfica d'una funció

Donada la funció lineal $f(x) = 2x - 3$:

1. a) Completa una taula de valors per a $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$.
2. b) Representa gràficament la funció en el pla cartesià utilitzant els punts obtinguts.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 4$:

1. a) Calcula les imatges per a $x = -3, -2, 0, 2, 3$ i organitza els resultats en una taula.
2. b) Dibuixa la gràfica de la funció i identifica les coordenades del seu vèrtex.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa la gràfica següent d'una funció $f(x)$ definida per trams rectes:

A partir de la gràfica, determina:

1. a) El domini i el recorregut de la funció.
2. b) El valor de $f(-2)$ i $f(1)$.

Donada la funció irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$:

1. a) Determina analíticament el seu domini.
2. b) Completa una taula de valors per a $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ i utilitza-la per esbossar la gràfica.

Calcula analíticament els punts de tall amb l'eix d'abscisses (eix X) i amb l'eix d'ordenades (eix Y) de la funció racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.

Donada la funció valor absolut $f(x) = |2x - 5|$:

1. a) Avalua la funció en els punts $x = 0; 2; 2,5; 3; 5$ i construeix una taula de valors.
2. b) Representa gràficament la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Identifica si la taula de valors següent correspon a una funció lineal o a una funció quadràtica calculant les diferències entre valors consecutius de $y$. A continuació, obtén la seva expressió analítica $y = f(x)$.

El cost $C(t)$ en euros de deixar un cotxe en un pàrquing ve donat per la funció $C(t) = 2 + 1,5t$, on $t$ és el temps en hores.

1. a) Fes una taula de valors per a les primeres 4 hores ($t=0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Representa gràficament la funció en aquest interval.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En Marcos ha de representar la funció a trossos $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$ i decideix calcular el valor a la frontera $x = 2$ per a la seva taula de valors. En el seu quadern escriu: «Com que $x = 2$ és el punt de canvi, substitueixo en totes dues branques: $f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ i $f(2) = 2^2 - 3 = 1$; per tant, el punt $(2, 5)$ i el punt $(2, 1)$ pertanyen a la gràfica».\na) Identifica l'error conceptual que comet en Marcos i explica per què la seva afirmació contradiu la definició matemàtica de funció.\nb) Indica quin és l'únic valor correcte per a $f(2)$, justificant quin tram correspon segons la condició donada.\nc) Per analitzar el comportament de la gràfica just després de la frontera sense cometre l'error d'en Marcos, quin valor de $x$ proposaries per a la taula i quin valor de la funció s'obté?

Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{3}{x - 4}$:\na) Abans de calcular cap valor exacte, estima quin signe i quin ordre de magnitud (molt proper a zero o molt gran en valor absolut) esperes que prengui $f(x)$ quan avaluem en valors molt propers a $4$, com ara $x = 3,9$ i $x = 4,1$. Justifica la teva predicció a partir dels signes del numerador i del denominador.\nb) Comprova la teva estimació calculant els valors de la funció per a $x = 3,9$; $x = 3,99$; $x = 4,01$ i $x = 4,1$, i organitza'ls en una taula de valors.\nc) A partir dels resultats numèrics obtinguts, interpreta què passa geomètricament a la recta $x = 4$ i raona si es tracta d'una asímptota vertical.

La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) d'un forn industrial des que s'encén ve donada per la funció $T(t) = 20 + 15t$, on $t$ es mesura en minuts.

1. a) Quina és la temperatura inicial del forn?
2. b) Construeix una taula de valors per a $t = 0, 5, 10, 15$.
3. c) Quant de temps ha de transcorrer perquè el forn arribi als $200^\circ\text{C}$?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

1. a) Construeix una taula de valors avaluant la funció en $x = -2; 0; 0,99; 1; 2; 3$.
2. b) Representa gràficament la funció i indica si és contínua en $x = 1$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la funció quadràtica $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.

1. a) Calcula analíticament les coordenades del seu vèrtex i els punts de tall amb els eixos.
2. b) Crea una taula de valors prenent dos punts a l'esquerra del vèrtex i dos a la dreta.
3. c) Representa gràficament la paràbola.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El gràfic següent mostra l'evolució de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) d'una tassa de cafè en funció del temps $t$ (en minuts) des que es serveix.

A partir de la gràfica:

1. a) Indica la temperatura inicial del cafè.
2. b) Cap a quin valor tendeix la temperatura a mesura que transcorre molt de temps? Quin significat físic té l'asímptota horitzontal?
3. c) La funció és creixent o decreixent? Justifica la teva resposta.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$:

1. a) Determina el seu domini.
2. b) Construeix una taula de valors avaluant la funció en punts propers a $x = 2$ per l'esquerra i per la dreta ($x = 1,9; 1,99; 2,1; 2,01$).
3. c) A partir dels resultats obtinguts, quin element gràfic presenta la funció en $x = 2$?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un laboratori s'estudia el creixement d'una població de bacteris. El nombre de bacteris $N(t)$ en milers ve donat per la funció $N(t) = 100 \cdot 2^t$, on $t$ és el temps en hores.

1. a) Construeix una taula de valors per a les primeres 4 hores ($t = 0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Representa gràficament la funció. Quin tipus de creixement s'observa?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la funció $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.

1. a) Calcula analíticament el seu domini de definició.
2. b) Fes una taula de valors per a $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$.
3. c) Representa gràficament la funció i indica quin és el seu recorregut.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dada la funció valor absolut $f(x) = |x^2 - 4|$:

1. a) Expressa la funció definida a trossos eliminant el valor absolut.
2. b) Troba els punts de tall amb els eixos.
3. c) Construeix una taula de valors en l'interval $[-3, 3]$ i dibuixa la seva gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una localitat espanyola, la factura mensual de l'aigua s'estructura en dos blocs de consum per fomentar l'estalvi:\n- Bloc 1: Si el consum mensual $x$ no supera els $15\text{ m}^3$, s'aplica una quota fixa de $6\text{ \euro}$ més $0,50\text{ \euro}$ per cada metre cúbic consumit.\n- Bloc 2: Si el consum supera els $15\text{ m}^3$, els primers $15\text{ m}^3$ es facturen segons el Bloc 1, i cada metre cúbic addicional que excedeixi de $15$ es cobra a $1,20\text{ \euro}$.\na) Escriu l'expressió analítica del cost total $C(x)$ (en euros) en funció dels metres cúbics $x$ consumits ($x \ge 0$) com una funció definida a trossos.\nb) Elabora una taula de valors estratègica que inclogui el consum nul ($x = 0$), el punt frontera del canvi de bloc i un valor a cada costat del canvi ($x = 14$ i $x = 16$).\nc) Determina si la factura experimenta un salt brusc en passar de $15\text{ m}^3$ a un consum lleugerament superior o si el cost varia de forma contínua. Justifica la teva resposta utilitzant els valors de la teva taula.

Es vol dissenyar la fórmula analítica d'una funció racional de la forma $f(x) = \dfrac{ax + b}{x - c}$ perquè compleixi les característiques següents observades en la seva taula de valors clau:\n1. La seva gràfica talla l'eix d'abscisses únicament en el punt $(4, 0)$.\n2. La seva gràfica talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, -2)$.\n3. La funció no està definida a $x = 2$, i presenta en aquesta recta una asímptota vertical.\na) Determina raonadament els valors de les constants reals $a$, $b$ i $c$.\nb) Amb la funció ja obtinguda, confecciona una taula de valors estratègica que contempli els punts de tall amb els eixos i dos valors situats immediatament abans i després del valor prohibit ($x = 1,9$ i $x = 2,1$).\nc) Explica què passa amb els valors de $f(x)$ quan la variable $x$ pren valors positius cada vegada més grans ($x = 100$, $x = 1000$) i dedueix l'equació de la seva asímptota horitzontal.

El benefici mensual $B(x)$, en euros, d'una fàbrica de components electrònics en funció del nombre d'unitats produïdes $x$ es modelitza mitjançant la funció $B(x) = -5x^2 + 300x - 4000$.

1. a) Troba els punts d'equilibri (producció per a la qual el benefici és zero).
2. b) Genera una taula de valors estratègica que inclogui els punts d'equilibri i el vèrtex.
3. c) Quantes unitats s'han de produir per maximitzar el benefici i de quant és aquest benefici màxim?

Una funció quadràtica de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ passa pels punts $(0, 3)$, $(1, 0)$ i $(2, -1)$.

1. a) Planteja i resol el sistema d'equacions per trobar els valors de $a, b$ i $c$.
2. b) Amb l'expressió analítica obtinguda, calcula el vèrtex i construeix una taula de valors per representar la paràbola.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dada la funció definida a trossos dependent d'un paràmetre $k$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

1. a) Troba el valor de $k$ perquè les dues branques de la funció "connectin" en el punt $x = 2$ (és a dir, perquè la funció sigui contínua).
2. b) Amb el valor de $k$ trobat, construeix una taula de valors en l'interval $[0, 4]$ i esboça la gràfica de la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La massa $M(t)$ en grams d'un isòtop radioactiu disminueix amb el temps $t$ (en dies) segons la funció exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{T}}$, on $M_0$ és la massa inicial i $T$ és el període de semidesintegració.

Sabent que en l'instant $t=0$ hi havia $200\text{ g}$ de substància i que després de $60\text{ dies}$ en queden $50\text{ g}$:

1. a) Calcula el valor dels paràmetres $M_0$ i $T$.
2. b) Construeix una taula de valors per a $t = 0, 30, 60, 90, 120$ i esboça la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa la gràfica següent d'una funció racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$:

A partir de la informació proporcionada per la gràfica (asímptotes i punts de tall):

1. a) Determina el domini i el recorregut de la funció.
2. b) Dedueix l'expressió analítica de la funció $f(x)$.

Dada la funció logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$:

1. a) Determina analíticament el seu domini i l'equació de la seva asímptota vertical.
2. b) Construeix una taula de valors triant valors estratègics de $x$ que donin com a resultat potències exactes de base 2 per a l'argument del logaritme.
3. c) Representa la gràfica de la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol construir un tancat rectangular aprofitant un mur ja existent per a un dels seus costats. Es disposa de $20\text{ m}$ de tanca metàl·lica per als altres tres costats.

1. a) Expressa l'àrea $A(x)$ del tancat en funció de la longitud $x$ d'un dels costats perpendiculars al mur.
2. b) Determina el domini de validesa de la funció $A(x)$ en el context del problema.
3. c) Construeix una taula de valors i utilitza-la per esboçar la gràfica i trobar les dimensions que maximitzen l'àrea.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En la figura següent es mostra la gràfica de la funció exponencial $f(x) = 2^x$ i la recta $y = x$.

1. a) A partir dels punts destacats en la corba blava de $f(x)$, construeix una taula de valors per a la seva funció inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Dibuixa al teu quadern la gràfica de la funció inversa aprofitant la simetria respecte de la recta $y=x$.
3. c) Escriu l'expressió analítica de $f^{-1}(x)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per representar la gràfica de la funció $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$, dos estudiants proposen mètodes diferents:\n- Mètode de la Lucía: Construir directament una taula amb set enters consecutius: $x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, substituint directament en la fórmula donada.\n- Mètode d'en David: Abans de calcular punts, estudiar el domini de la funció, factoritzar el numerador per veure si es simplifica amb el denominador a $x \ne 1$, i després confeccionar una taula estratègica amb punts de tall i valors propers a les discontinuïtats.\na) Si se segueix el mètode de la Lucía, quin problema insalvable sorgeix exactament a $x = 1$? Podria portar això a deduir erròniament que la recta $x = 1$ és una asímptota vertical?\nb) Desenvolupa el mètode d'en David: simplifica l'expressió de $f(x)$ per a tot $x \ne 1$ i calcula els valors de $f(x)$ per a $x = 0,99$ i $x = 1,01$. Creixen aquests valors sense límit com en una asímptota o s'acosten a un nombre finit?\nc) Compara ambdós mètodes i justifica quin és més fiable per evitar interpretacions gràfiques falses. Descriu amb precisió quin element geomètric apareix a la gràfica en el punt d'abscissa $x = 1$ (indicant-ne les coordenades).

Durant un episodi de contaminació atmosfèrica en una ciutat, la concentració de diòxid de nitrogen $C(t)$ (en $\mu\text{g}/\text{m}^3$) durant les primeres $24$ hores es modelitza mitjançant una funció a trossos:\n- Tram inicial ($0 \le t \le 6$): La concentració segueix una paràbola $C(t) = -t^2 + bt + c$, el vèrtex de la qual (màxim del tram) s'assoleix exactament a les $t = 4\text{ h}$ amb un nivell de $36\text{ }\mu\text{g}/\text{m}^3$.\n- Tram posterior ($6 < t \le 24$): S'activen mesures de restricció de trànsit i la concentració decreix segons la funció racional $C(t) = \dfrac{k}{t - 2} + 12$.\na) Determina les constants $b$ i $c$ a partir de la informació del vèrtex i troba la concentració en l'instant inicial $t = 0$.\nb) Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la concentració no pateixi cap discontinuïtat en el canvi de tram ($t = 6$).\nc) Dissenya una taula de valors estratègica per a l'interval $[0, 24]$ que contingui: l'inici, el tall amb l'eix vertical, el vèrtex, el punt d'empalmament, un punt posterior ($t = 12$) i l'extrem final ($t = 24$). A partir de la taula, raona quin és el valor mínim al qual tendiria la concentració si les restriccions es prolonguessin indefinidament en el temps.