Exercicis: Composició de funcions

Dades les funcions $f(x) = 3x + 2$ i $g(x) = x^2 - 1$, calcula el valor numèric de la composició $(g \circ f)(2)$.

Troba l'expressió algebraica de la funció composta $(f \circ g)(x)$ sabent que $f(x) = 5x - 4$ i $g(x) = x^2 + 3x$.

Utilitzant les funcions $f(x) = 5x - 4$ i $g(x) = x^2 + 3x$, troba l'expressió de $(g \circ f)(x)$ i comprova analíticament que la composició de funcions no és commutativa.

Dades les funcions racionals $f(x) = \frac{2}{x}$ i $g(x) = x + 3$, determina l'expressió simplificada de $(f \circ g)(x)$ i la de $(g \circ f)(x)$.

Considera les funcions $f(x) = x - 2$, $g(x) = 3x$ i $h(x) = x^2$. Calcula el valor numèric de la composició successiva $(h \circ g \circ f)(4)$.

Dada la funció composta $h(x) = \sqrt{2x + 5}$, expressa-la com la composició de dues funcions més simples $(g \circ f)(x)$, indicant clarament quina és l'expressió de $f(x)$ i quina és la de $g(x)$.

Dades la funció constant $f(x) = 7$ i la funció quadràtica $g(x) = 2x^2 - x$, determina les expressions algebraiques de $(f \circ g)(x)$ i $(g \circ f)(x)$.

Comprova analíticament que en compondre la funció $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ amb la funció identitat $I(x) = x$, s'obté la mateixa funció original. Calcula i simplifica tant $(f \circ I)(x)$ com $(I \circ f)(x)$.

Lucía ha de calcular el valor numèric de la composició $(f \circ g)(2)$ per a les funcions $f(x) = 2x^2 - 1$ i $g(x) = 3x - 5$. Al seu examen escriu el procediment següent:

«Com que em demanen $(f \circ g)(2)$, calculo primer $f(2) = 2 \cdot 2^2 - 1 = 7$. Després introdueixo aquest resultat a la segona funció: $g(7) = 3 \cdot 7 - 5 = 16$. Per tant, $(f \circ g)(2) = 16$».

1. a) Identifica l'error conceptual que ha comès Lucía i explica, recorrent a la definició teòrica de la composició de funcions, per què el seu raonament no és correcte.
2. b) Fes els càlculs en l'ordre adequat per trobar el valor correcte de $(f \circ g)(2)$.
3. c) Quina expressió o valor ha calculat en realitat Lucía? Justifica la teva resposta.

Donades les funcions $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ i $g(x) = x^2 - 4$, necessites calcular el valor exacte de $(g \circ f)(5)$. Per resoldre-ho es proposen dos camins diferents:

• Mètode 1: Obtenir primer la fórmula general simplificada de $(g \circ f)(x)$ substituint l'expressió de $f(x)$ a cada variable de $g(x)$, reduir a comú denominador i, al final, substituir $x = 5$.

• Mètode 2: Calcular directament la imatge de la primera funció en el punt indicat, $f(5)$, i aplicar després la funció $g$ sobre el nombre obtingut.

1. a) Aplica tots dos mètodes per separat i comprova que s'arriba al mateix resultat numèric.
2. b) Compara el nombre d'operacions i el risc d'error algebraic que implica cada alternativa. Justifica quin dels dos mètodes és més convenient quan només interessa avaluar la funció en un nombre concret i en quin cas pràctic sí que seria obligatori utilitzar el Mètode 1.

Una botiga d'electrònica aplica un descompte del $15\%$ a tots els seus productes, la qual cosa es modelitza amb la funció $d(x) = 0,85x$. A més, un client té un cupó de fidelitat de $20$ euros de descompte directe, modelitzat per la funció $c(x) = x - 20$. Determina les expressions de $(c \circ d)(x)$ i $(d \circ c)(x)$. Quin ordre de composició beneficia més el client si vol comprar un ordinador el preu inicial del qual és de $600$ euros?

En llançar una pedra a un estany, es forma una ona circular el radi de la qual augmenta amb el temps segons la funció $r(t) = 2,5t$ (amb $r$ en centímetres i $t$ en segons). Sabent que l'àrea del cercle ve donada per $A(r) = \pi r^2$, troba la funció $(A \circ r)(t)$ que descriu l'àrea en funció del temps i calcula l'àrea de la superfície afectada al cap de $4$ segons.

Determina rigorosament el domini de la funció composta $(g \circ f)(x)$ sabent que $f(x) = x - 4$ i $g(x) = \sqrt{x}$.

Dades les funcions $f(x) = 2x + k$ i $g(x) = 4x - 3$, troba el valor del paràmetre $k$ perquè es compleixi la propietat commutativa en aquest cas particular, és a dir, que $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ per a qualsevol valor de $x$.

La demanda elèctrica d'una ciutat, en megawatts, depèn de la temperatura ambient segons la funció $D(T) = 50T^2 - 100T + 200$. A la vegada, la temperatura varia amb el temps en hores segons $T(t) = 1,5t + 10$. Calcula la demanda elèctrica exacta que hi haurà quan hagin transcorregut $6$ hores.

Observa la gràfica següent on es representen les funcions $f(x)$ (en blau) i $g(x)$ (en verd). A partir de la informació visual i sense necessitat d'obtenir les seves expressions algebraiques, determina els valors numèrics de $(f \circ g)(2)$ i $(g \circ f)(-1)$.

Sabent que $f(x) = 3x + 2$ i que la funció composta és $(g \circ f)(x) = 9x^2 + 12x + 5$, determina l'expressió algebraica de la funció exterior $g(x)$.

El cost diari de producció de $x$ peces en una fàbrica ve donat per la funció $C(x) = 15x + 500$ euros. El nombre de peces que emsambla una màquina en $t$ hores de funcionament continu és $x(t) = 40t$. Expressa el cost de producció en funció del temps de funcionament de la màquina i calcula el cost total després d'una jornada de $8$ hores.

Coneixem la funció polinòmica de primer grau $f(x) = 2x - 3$, però desconeixem l'expressió d'una segona funció $g(x)$. Tanmateix, se sap que en compondre-les s'obté com a resultat la funció quadràtica:

1. a) Troba raonadament l'expressió algebraica de $g(x)$. Per a fer-ho, fes el canvi de variable $u = 2x - 3$, aïlla $x$ en funció de $u$ i substitueix-lo en l'expressió composta $(g \circ f)(x)$.
2. b) Comprova que la teva deducció és correcta calculant de nou $g(f(x))$ a partir de la fórmula que has trobat per a $g(x)$.
3. c) Raona si la funció $g(x)$ trobada és única o si podrien existir altres funcions diferents que produeixin exactament la mateixa composició amb $f(x)$.

En una estació d'esquí de Sierra Nevada (Granada), l'altitud $h$ (mesurada en centenars de metres sobre el nivell del mar) que assoleix un telecadira depèn del temps $t$ (en minuts transcorreguts des de l'estació base) segons la funció:

D'altra banda, segons els registres meteorològics de l'AEMET per a aquest dia, la temperatura exterior $T$ (en graus Celsius) disminueix de manera lineal amb l'altitud seguint la funció:

1. a) Determina quina de les dues composicions, $(T \circ h)(t)$ o $(h \circ T)(t)$, modelitza la temperatura que experimenta un esquiador al llarg del trajecte. Justifica la teva elecció explicant el paper de les entrades i sortides de cada funció.
2. b) Obtén l'expressió algebraica simplificada de la funció composta triada i indica quin és el seu domini en el context real del problema.
3. c) Interpreta el significat físic del coeficient que multiplica $t$ (el pendent) i calcula a quina temperatura exacta es trobarà l'esquiador en arribar al cim ($t = 10$ minuts).

Dades les funcions $f(x)$ i $g(x)$, on $f(x) = 2x$ si $x < 1$ i $f(x) = x^2$ si $x \geq 1$, i la funció $g(x) = x + 3$. Determina l'expressió analítica completa de la funció composta $(f \circ g)(x)$, prestant especial atenció als intervals de definició.

Considera les funcions $f(x) = \sqrt{x + 3}$ i $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$. Realitza un estudi analític rigorós per determinar el domini de definició de la funció composta $(f \circ g)(x)$.

Un globus aerostàtic esfèric s'infla mitjançant un compressor que injecta aire a un ritme constant, de manera que el seu volum en metres cúbics ve donat per $V(t) = 12t$ (amb $t$ en minuts). Sabent que el volum d'una esfera és $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ i la seva superfície és $S = 4\pi r^2$, troba la funció composta $S(t)$ que proporciona la superfície del globus directament en funció del temps transcorregut.

Sigui la funció racional $f(x) = \frac{x}{x - 1}$. Calcula les composicions successives $(f \circ f)(x)$ i $(f \circ f \circ f)(x)$. A partir dels resultats obtinguts, dedueix raonadament quina serà l'expressió de $f^{[n]}(x)$ (la composició de $f$ amb si mateixa $n$ vegades) depenent de si $n$ és un nombre parell o senar.

Demostra algebraicament que, si $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}$ (amb la condició $a^2 + bc \neq 0$), la funció és la seva pròpia inversa comprovant que $(f \circ f)(x) = x$ per a tot $x$ pertanyent al seu domini.

Un feix de llum travessa una sèrie de filtres òptics. Un filtre de tipus A redueix la intensitat lumínica un $20\%$, modelitzat per $f_A(I) = 0,8I$. Un filtre de tipus B redueix la intensitat en una quantitat fixa de $15 \text{ W/m}^2$, modelitzat per $f_B(I) = I - 15$. Si la intensitat inicial és $I_0$, troba l'expressió de la intensitat final després de travessar $3$ filtres de tipus A seguits de $2$ filtres de tipus B. És el resultat equivalent a travessar primer els $2$ de tipus B i després els $3$ de tipus A?

Observa la gràfica de la funció $f(x)$. A partir d'aquesta, obtén l'expressió analítica de $f(x)$ definida a trossos i calcula l'expressió algebraica detallada de $(f \circ f)(x)$.

Descompon la funció complexa $H(x) = \frac{1}{\sqrt{3^{\sin x} + 2}}$ com la composició successiva de quatre funcions elementals $f_1, f_2, f_3, f_4$ de manera que $H(x) = (f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)(x)$. Indica clarament l'expressió algebraica de cadascuna de les quatre funcions.

Donades les funcions $f(x) = x^2 - 4$ i $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, es defineix la funció composta $h(x) = (g \circ f)(x)$.

1. a) Estima: Abans de fer cap càlcul algebraic formal, reflexiona sobre la cadena de processos: quin tipus de valors reals admet la funció $g$ com a entrada per no generar indeterminacions en els nombres reals? Tenint això en compte, dedueix qualitativament quin signe ha de tenir la sortida de $f(x)$ i estima quins trams de la recta real formaran el domini de $h(x)$. En particular, raona sense operar si els valors $x = 0$ i $x = 2$ poden formar part d'aquest domini.
2. b) Calcula: Escriu la fórmula analítica de $h(x)$ i determina de manera rigorosa el seu domini aplicant les dues condicions teòriques: $x \in \operatorname{Dom}(f)$ i $f(x) \in \operatorname{Dom}(g)$. Expressa el resultat mitjançant intervals.
3. c) Comprova: Contrasta el domini obtingut analíticament amb les teves estimacions de l'apartat a). Explica detalladament per què, encara que $x = 0$ pertany al domini de $f$, queda finalment exclòs de la composició.

Es consideren la funció racional $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ i una funció desconeguda $g(x)$. Se sap que la composició entre ambdues produeix el resultat:

1. a) Determina raonadament l'expressió algebraica de la funció $g(x)$.
2. b) Troba el domini de definició de la funció composta $(f \circ g)(x)$ aplicant estrictament la definició formal de cadena de funcions: $x \in \operatorname{Dom}(g)$ i $g(x) \in \operatorname{Dom}(f)$.
3. c) Un estudiant observa l'expressió final $\frac{x + 1}{2 - 3x}$ i afirma: «El domini de $(f \circ g)$ són tots els nombres reals llevat de $x = \frac{2}{3}$, ja que per a $x = -1$ la fórmula dona $\frac{-1+1}{2-3(-1)} = \frac{0}{5} = 0$, que és un valor real perfectament vàlid». Pensa en la composició com dues màquines encadenades: la primera és $g$, que rep el nombre $x$ i lliura $g(x)$; aquesta sortida entra directament a la segona màquina, $f$, que lliura $f(g(x))$. Cada màquina només funciona amb les entrades del seu propi domini, i si la primera no lliura cap resultat, la segona no rep res. Utilitzant aquesta idea de les dues màquines encadenades, refuta l'argument de l'estudiant i explica què passa exactament en el procés de càlcul quan s'intenta avaluar la composició en $x = -1$.