Exercicis: Característiques de les funcions

Determina el domini de definició de la funció racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.

Calcula el domini de la funció amb radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.

Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció polinòmica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.

Estudia la simetria (parell, imparell o cap) de la funció polinòmica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.

Determina els intervals en què la funció $q(x) = -3x + 12$ té signe positiu i en quins té signe negatiu.

Indica quin és el recorregut o imatge de la funció quadràtica $r(x) = x^2 + 4$.

A partir de la representació gràfica de la paràbola $y = f(x)$, indica els seus intervals de creixement i decreixement, així com les coordenades del seu extrem relatiu.

Calcula el domini de la funció logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.

La Carla afirma en el seu examen que el domini de definició de la funció $f(x) = \ln(9 - x^2)$ és l'interval tancat $[-3, 3]$. Per justificar-ho, escriu en el seu desenvolupament: «Com que cal calcular el domini, plantejo la杓inequació $9 - x^2 \ge 0$, la solució de la qual és $x^2 \le 9$, per la qual cosa $x \in [-3, 3]$. Poso claudàtors perquè a $x = 3$ i a $x = -3$ el radicand dóna zero i l'arrel de zero sí que existeix».

1. a) Troba i explica detalladament els dos errors conceptuals que ha comès la Carla en identificar i aplicar les restriccions de les operacions elementals.
2. b) Raona què passa matemàticament si intentem avaluar $f(3)$ en una calculadora científica i per què el resultat no pot ser un nombre real.
3. c) Corregeix el procediment de la Carla i escriu el domini correcte de $f(x)$ utilitzant la notació adequada d'intervals.

Dissenya l'expressió analítica d'una funció racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (on $P(x)$ i $Q(x)$ són polinomis) que satisfaci simultàniament les tres condicions següents:

1. El seu domini exacte sigui $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

2. Sigui una funció parella, és a dir, simètrica respecte a l'eix d'ordenades ($Y$).

3. Prengui únicament valors estrictament negatius ($f(x) < 0$) per a qualsevol valor de $x$ que pertanyi al seu domini.

Justifica pas a pas com tries el numerador i el denominador per garantir cada condició i explica per què un denominador simple de la forma $Q(x) = x^2 - 4$ no serviria si el numerador fos una constant negativa.

Troba el domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.

Calcula els punts de tall amb els eixos i estudia el signe de la funció racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.

Determina analíticament si la funció $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ és parell, imparell o no té simetria.

Es llança un projectil verticalment cap amunt. L'altura $h(t)$ en metres que aconsegueix després de $t$ segons ve donada per la funció $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina en quin instant aconsegueix l'altura màxima i quin és el valor d'aquesta altura.

Un agricultor disposa de $100$ metres de tanca per cercar un hort rectangular aprofitant un mur de pedra ja existent (no necessita tanca en aquest costat). Si $x$ és la longitud dels costats perpendiculars al mur, la funció que descriu l'àrea és $A(x) = x(100-2x)$. Determina el domini de la funció en el context del problema i calcula les dimensions que maximitzen l'àrea.

Observa la gràfica de la funció periòdica següent que modela el voltatge en un circuit electrònic. Determina el seu període $T$ i calcula el valor de $f(17)$.

Dada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$

Troba els seus punts de tall amb els eixos i estudia el seu signe en tot el seu domini.

Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.

Per estudiar el signe de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1}$ en tot el seu domini, dos companys de classe debaten sobre quin camí seguir:

• Estratègia A (Taula de signes tradicional): Igualar a zero numerador i denominador per separat, situar totes les solucions obtingudes sobre la recta real i avaluar un punt de prova a cada interval resultant.

• Estratègia B (Anàlisi estructural prèvia): Analitzar el signe global de cada terme mitjançant inspecció algebraica de les seves propietats abans de descompondre en intervals.

1. a) Aplica l'Estratègia B per determinar de manera raonada els intervals de positivitat ($f(x) > 0$), negativitat ($f(x) < 0$) i els punts de tall amb l'eix $X$.
2. b) Explica quina dificultat algebraica o pèrdua de temps sorgeix en intentar aplicar el pas del denominador en l'Estratègia A en el conjunt dels nombres reals ($\mathbb{R}$).
3. c) Justifica quin dels dos mètodes és més segur i eficient per evitar errors quan apareixen expressions quadràtiques irreductibles en denominadors.

En un informe de l'AEMET sobre inversió tèrmica hivernal en una vall de muntanya d'Astúries, la temperatura ambient $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) es modelitza en funció de l'altitud $h$ (mesurada en centenars de metres sobre el nivell del mar, on $h = 5$ representa $500\text{ m}$) mitjançant la funció:

1. a) Determina el domini matemàtic de la funció $T(h)$ a partir de la restricció del radical i compara'l amb el domini físic del fenomen si el fons de la vall està a $200\text{ m}$ ($h=2$) i el cim a $1000\text{ m}$ ($h=10$).
2. b) Sense recórrer a derivades, dedueix el recorregut (o imatge) de la funció en aquesta vall raonant sobre els valors màxim i mínim que pot prendre el radicand. Quines són les temperatures mínima i màxima previstes?
3. c) A quina altitud s'assoleix la temperatura màxima? Justifica si la funció presenta simetria respecte a la recta vertical $h = 6$ i interpreta el seu significat físic en la distribució tèrmica dels dos vessants de la vall.

Calcula de forma raonada el domini de la funció $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.

Determina els coeficients $a$, $b$ i $c$ de la funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que el seu vèrtex és el punt $V(3, -4)$ i que talla l'eix d'abscisses a $x = 1$.

El cost mitjà mensual (en euros) per unitat produïda en una fàbrica de components electrònics ve donat per la funció $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, on $x$ és el nombre d'unitats produïdes ($x > 0$). Determina el domini en el context del problema, estudia el seu signe i demostra analíticament en quins intervals el cost mitjà és creixent o decreixent.

Demostra analíticament que la funció $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ és imparell i determina el seu domini de definició.

Una sínia té un radi de $10\text{ m}$, el seu centre se situa a $15\text{ m}$ del terra i gira a velocitat constant trigant $4\text{ min}$ a fer una volta completa. Una cabina es troba en el seu punt més baix en l'instant $t = 0\text{ min}$. Sabent que l'alçària $h(t)$ en metres de la cabina en funció del temps $t$ en minuts es modelitza amb una funció trigonomètrica, determina el seu període, les alçàries màxima i mínima que aconsegueix la cabina, i els instants de temps en què s'assoleixen durant el primer cicle complet.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tingui com a domini $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ i talli l'eix d'abscisses en els punts $x = 4$ i $x = -4$.

Calcula la funció inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ i utilitza-la per determinar el recorregut (imatge) de la funció $f(x)$.

A partir de la gràfica de la funció $y = f(x)$, fes una anàlisi completa indicant: domini, recorregut, simetria, equacions de les asímptotes, extrems relatius i intervals de signe positiu i negatiu.

Donada la funció amb múltiples restriccions operacionals $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{\ln(x)}$:

1. a) Estima abans d'operar:

• Sense resoldre inequacions, reflexiona: té sentit plantejar-se si aquesta funció és parella o imparella? Argumenta la teva resposta analitzant els valors negatius de $x$ enfront dels components de la fórmula.

• Prediu el signe que prendrà $f(x)$ per a valors molt propers a $0$ per la dreta (com $x = 0{,}1$) i per a valors com $x = 2$. Justifica la teva previsió recordant les propietats elementals dels logaritmes.

1. b) Calcula i formalitza:

• Determina amb rigor el domini de definició de $f(x)$, plantejant explícitament les tres condicions necessàries (fracció, radical d'índex parell i logaritme) i resolent la seva intersecció.

• Fes l'estudi formal del signe de $f(x)$ indicant els intervals exactes on $f(x) > 0$ i on $f(x) < 0$.

1. c) Valora i contrasta:

• Comprova si les teves estimacions inicials d'(a) concorden amb el càlcul analític de (b).

• Raona si la funció té arrels (punts on $f(x) = 0$) i descriu quin comportament experimenta la funció quan $x$ s'aproxima a $1$ per l'esquerra i per la dreta.

En un projecte de bioenginyeria es requereix modelitzar la resposta $R(x)$ d'un biosensor en funció d'un paràmetre de control $x \in \mathbb{R}$. S'ha de construir la fórmula analítica d'una funció $f(x)$ que satisfaci simultàniament les quatre condicions següents:

1. El seu domini exacte sigui $\text{Dom}(f) = [-5, 5] \setminus \{0\}$.

2. Sigui estrictament imparella en tot el seu domini: $f(-x) = -f(x)$.

3. No tingui cap arrel en el seu domini (és a dir, $f(x) \ne 0$ per a tot $x \in \text{Dom}(f)$).

4. Prengui valors estrictament positius quan $x \in (0, 5]$.

1. a) Proposa una expressió algebraica per a $f(x)$ combinant operacions elementals (fraccions algebraiques i radicals d'índex parell). Justifica com cada element de la teva fórmula assegura les condicions exigides sense anul·lar els altres.
2. b) Demostra analíticament que la funció que has dissenyat compleix la condició de simetria imparella $f(-x) = -f(x)$.
3. c) Dedueix raonadament el recorregut (imatge) de la teva funció a l'interval $(0, 5]$ i, recolzant-te en la simetria imparella, determina el recorregut complet en tot el seu domini. Justifica si la funció està fitada superiorment analitzant què passa quan $x$ s'acosta a $0$ per la dreta.