Exercicis: Funció valor absolut

Expressa la funció $f(x) = |3x - 6|$ com una funció definida a trossos, indicant clarament els intervals corresponents a cada expressió algebraica.

Calcula el valor numèric de la funció $g(x) = |-x^2 + 4x|$ per als punts $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ i $x = 5$.

Determina el domini i el recorregut de la funció $h(x) = |x| + 5$. Justifica la teva resposta basant-te en les propietats del valor absolut.

Donada la gràfica següent d'una funció amb valor absolut, dedueix la seva expressió analítica de la forma $y = |x - a|$.

Resol l'equació $|2x - 8| = 0$ i explica què representa geomètricament aquest resultat respecte a la gràfica de la funció $f(x) = |2x - 8|$.

Donada la funció definida a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \ge -4 \\ -x - 4 & \text{si } x < -4 \end{cases}$

Escriu la seva expressió analítica de forma compacta utilitzant el valor absolut.

Expressa com una funció definida a trossos la funció quadràtica amb valor absolut $f(x) = |x^2 - 25|$.

Determina les coordenades exactes dels punts de tall amb els eixos cartesians de la funció $h(x) = |x - 3| - 5$.

La Lucía està resolent l'equació $|2x - 8| = -4$ al seu examen i escriu el següent raonament:

«Com que el valor absolut es desdobla en dues opcions:

1) $2x - 8 = -4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

2) $-(2x - 8) = -4 \implies -2x + 8 = -4 \implies -2x = -12 \implies x = 6$.

Per tant, l'equació té dues solucions: $x = 2$ i $x = 6$».

1. a) Sense resoldre l'equació de nou, comprova mitjançant substitució directa si els valors $x = 2$ i $x = 6$ són realment solucions de l'equació original $|2x - 8| = -4$. Què observes?
2. b) Localitza i explica l'error conceptual que ha comès la Lucía abans de començar a aïllar la incògnita. Quina és la resposta correcta i raonada sobre el nombre de solucions d'aquesta equació?

Una funció amb valor absolut de la forma $f(x) = |x - a| + b$ té les següents característiques en el pla cartesià:

• La seva gràfica té forma de «V» amb vèrtex al punt $(4, -3)$.

• Talla l'eix d'abscisses (eix $X$) en dos punts simètrics respecte a la vertical del vèrtex.

1. a) Determina raonadament els valors dels paràmetres $a$ i $b$.
2. b) Troba analíticament els dos punts de tall amb l'eix $X$, resolent l'equació $f(x) = 0$.
3. c) Reescriu $f(x)$ com una funció definida a trossos i raona si el vèrtex trobat correspon a un mínim absolut o a un màxim absolut de la funció.

En un laboratori, la desviació de la temperatura d'una reacció química respecte a la temperatura ideal de $22^\circ\text{C}$ ve donada per la funció $D(t) = |2t - 12|$, on $t$ és el temps en minuts. Expressa $D(t)$ com una funció a trossos i determina en quin instant la desviació és nul·la.

El marge de benefici d'una empresa, en milers d'euros, respecte al seu objectiu anual es modelitza mitjançant la funció $M(x) = |x^2 - 40x + 300|$, sent $x$ el nombre de mesos transcorreguts. Expressa la funció a trossos per identificar en quins períodes l'empresa va estar exactament en l'objectiu, per sota d'aquest (abans d'aplicar el valor absolut) o per sobre.

Simplifica l'expressió de la funció $f(x) = 2x + |x - 4|$ escrivint-la com una funció definida a trossos. A continuació, calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[2, 6]$.

En una simulació de billar, una bola rebota contra la banda situada a l'eix d'abscisses. La trajectòria de la bola segueix la funció $y = 4 - |x - 3|$, on $x$ i $y$ estan mesurats en unitats de la quadrícula del simulador.

Determina analíticament (sense dibuixar la gràfica, o usant-la només per comprovar):

1. a) Les coordenades del punt on la bola assoleix la seva màxima separació de la banda.

1. b) Les coordenades dels punts on la bola impactaria amb l'eix X.

Troba analíticament els punts d'intersecció entre la funció amb valor absolut $f(x) = |3x - 2|$ i la funció constant $g(x) = 7$.

Una màquina talla varetes de metall amb una longitud objectiu de $250\text{ mm}$. La funció d'error de tall es defineix com a $E(x) = |x - 250|$. Si el control de qualitat exigeix que $E(x) \le 1,5$, planteja la inequació corresponent i determina l'interval de longituds vàlides per a les varetes.

Expressa la funció $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ com una funció definida a trossos. Indica en quin interval o intervals la paràbola original $y = x^2 - 5x + 6$ ha estat reflectida respecte a l'eix d'abscisses.

Determina les coordenades del vèrtex i els punts de tall amb els eixos de la funció $f(x) = -|2x - 6| + 8$. Les branques d'aquesta funció s'obren cap a les ordenades positives o negatives?

En una etapa de muntanya de La Vuelta Ciclista a España al seu pas per Astúries, el perfil altimètric d'un tram de $20\text{ km}$ es modelitza mitjançant la funció:

$h(x) = 60 \cdot |x - 8| + 450$

on $x$ és la distància recorreguda en quilòmetres des de l'inici del tram ($0 \le x \le 20$) i $h(x)$ és l'altitud sobre el nivell del mar en metres.

1. a) Identifica les coordenades del vèrtex de la gràfica d'$h(x)$ i interpreta el seu significat físic a la cursa (punt quilomètric i altitud del fons de la vall).
2. b) Expressa la funció $h(x)$ com una funció definida a trossos per a l'interval de domini $[0, 20]$.
3. c) L'organització fixa un avituallament líquid en tots els punts del tram on l'altitud no superi els $690\text{ m}$. Planteja una inequació amb valor absolut per a aquesta condició i calcula el tram quilomètric (interval d'$x$) on estarà situada aquesta zona d'avituallament.

Es considera la funció $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$ i la recta horitzontal $y = 3$.

1. a) Estima raonadament:

• Troba les arrels i les coordenades del vèrtex de la paràbola interior $g(x) = x^2 - 6x + 5$.

• Explica com actua el valor absolut sobre la part de la paràbola situada per sota de l'eix $X$ i dedueix quina és l'altura màxima que assoleix la «cresta» reflectida.

• A partir de l'altura d'aquesta cresta i del comportament general de la gràfica, estima de manera justificada quantes solucions reals tindrà l'equació $|x^2 - 6x + 5| = 3$.

1. b) Comprova algebraicament:

• Resol l'equació $|x^2 - 6x + 5| = 3$ plantejant les dues equacions que sorgeixen en suprimir el valor absolut.

• Troba totes les solucions exactes i confirma si la teva estimació prèvia sobre el nombre de solucions era encertada.

Donada la funció $f(x) = |x^2 - 2x + k|$, determina el valor del paràmetre $k$ sabent que la gràfica de la funció toca l'eix d'abscisses en un únic punt. Per a aquest valor de $k$, expressa $f(x)$ sense utilitzar el valor absolut.

Expressa la funció racional amb valor absolut $f(x) = \left| \frac{2x - 4}{x + 1} \right|$ com una funció definida a trossos. A continuació, determina el seu domini i les equacions de les seves asímptotes horitzontals i verticals.

La gràfica següent mostra una funció amb valor absolut ennidat de la forma $f(x) = ||x| - c|$. Observa els vèrtexs i els punts de tall, dedueix el valor de $c$ i escriu l'expressió de la funció a trossos per a l'interval $x \in [-4, 4]$.

L'error d'altitud d'un dron d'inspecció durant una maniobra es modelitza mitjançant la suma de dos valors absoluts: $E(t) = |t^2 - 4t + 3| + |t - 2|$, on $t$ és el temps en segons. Expressa la funció $E(t)$ sense utilitzar valors absoluts en l'interval de temps $t \in [1, 3]$.

Troba analíticament els punts d'intersecció de les funcions $f(x) = |x + 1|$ i $g(x) = |2x - 5|$. Suggeriment: analitza els diferents casos segons el signe de les expressions dins del valor absolut.

En processament de senyals, una ona triangular invertida es pot modelitzar amb la funció $S(t) = A - |B t - C|$. Determina els paràmetres $A, B, C > 0$ sabent que el senyal assoleix el seu valor màxim de $12\text{ V}$ en l'instant $t = 5\text{ s}$, i que creua l'eix d'abscisses (valor $0\text{ V}$) en els instants $t = 2\text{ s}$ i $t = 8\text{ s}$.

La gràfica mostrada correspon a la funció $f(x) = |x^2 + bx + c|$. A partir dels punts singulars observables (arrels i màxim local), planteja un sistema d'equacions i determina els valors dels paràmetres $b$ i $c$.

Troba el domini de definició de la funció irracional $h(x) = \sqrt{8 - |x^2 - 8|}$. Per a fer-ho, planteja i resol la inequació amb valor absolut corresponent.

Per resoldre l'equació $|x - 2| + |x - 6| = 8$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode 1 (analític a trossos): Estudiar el signe dels binomis a la recta real, descompondre l'expressió en tres intervals ($(-\infty, 2)$, $[2, 6)$ i $[6, +\infty)$), resoldre l'equació a cada tram i verificar la validesa de les solucions.

• Mètode 2 (geomètric de distàncies): Interpretar $|x - a|$ com la «distància entre $x$ i $a$» a la recta real, considerant la distància fixa entre els punts $2$ i $6$.

1. a) Aplica el Mètode 1: expressa $f(x) = |x - 2| + |x - 6|$ com a funció definida a trossos i obtén algebraicament les solucions de l'equació.
2. b) Aplica el Mètode 2: raona quina és la suma de distàncies a $2$ i a $6$ per a qualsevol punt situat dins del segment $[2, 6]$ i dedueix geomètricament les dues solucions de l'equació quan aquesta suma ha de ser $8$.
3. c) Tria i justifica el mètode: Si ara et demanen resoldre l'equació $|x - 2| + |x - 6| = 3$, quin dels dos mètodes permet donar una resposta justificada de manera immediata sense fer operacions llargues? Explica quina és aquesta conclusió.

Considera la família de funcions quadràtiques amb valor absolut donada per $f_k(x) = |x^2 - 4x + k|$, on $k \in \mathbb{R}$ és una constant.

1. a) Determina raonadament per a quins valors del paràmetre $k$ la gràfica de $f_k(x)$ no pateix cap reflex respecte a l'eix $X$ (és a dir, coincideix en tot el seu domini amb la paràbola original $y = x^2 - 4x + k$).
2. b) Justifica, estudiant les arrels del polinomi interior, quants punts angulosos (cantonades a l'eix $X$ on la funció canvia bruscament de direcció) té la gràfica de $f_k(x)$ en cadascun d'aquests tres casos: $k > 4$, $k = 4$ i $k < 4$.
3. c) Problema invers: Sabent que la recta horitzontal $y = 5$ talla la gràfica de $f_k(x)$ en exactament tres punts diferents, dedueix de manera justificada el valor del paràmetre $k$ i calcula les coordenades exactes d'aquests tres punts d'intersecció.

Repte del tema. Investiga la demanda elèctrica al web de Red Eléctrica de España (REE) per a un dia complet. El teu producte final serà un breu informe analític realitzat amb l'ajuda de GeoGebra o un full de càlcul.

1. Dades i derivada: Descarrega les dades horàries $D(t)$ de $24$ hores. Modela la corba i identifica'n domini, recorregut i monotonia. Determina i interpreta gràficament els pics i les valls de consum resolent $D'(t) = 0$.

2. Composició, inversa i transformacions: Si el preu horari mitjà és $C(x) = 0,15x$ €/MWh, troba raonadament la funció composta $(C \circ D)(t)$. Selecciona un tram matinal estrictament creixent per deduir i interpretar la funció inversa $D^{-1}$. Aplica després una translació $D(t - 2)$ per simular un retard en els hàbits de consum.

3. Paritat i valor absolut: Centra l'eix temporal a les $12{,}0$ h i comprova formalment si la corba presenta paritat (simetria parella o senar). Dissenya la funció de desviació $F(t) = |D(t) - D_{\text{mitjana}}|$, analitzant l'efecte del valor absolut sobre els seus punts crítics.

Es valorarà:

• Rigor en la caracterització de $D(t)$ i en la interpretació gràfica de la funció derivada.

• Precisió en el càlcul i significat de la funció composta, la inversa local i la translació.

• Justificació matemàtica adequada de la paritat i de l'operador valor absolut.

• Claredat expositiva i correcció gràfica en les evidències aportades amb GeoGebra.