Exercicis: Equació de segon grau

Resol la següent equació de segon grau completa aplicant la fórmula general:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Troba les solucions de la següent equació de segon grau incompleta, extreient factor comú:

$3x^2 - 12x = 0$

Resol la següent equació de segon grau incompleta aïllant directament la incògnita:

$2x^2 - 18 = 0$

Sense arribar a resoldre l'equació, determina el nombre de solucions reals que té calculant el valor del seu discriminant:

$5x^2 - 3x + 2 = 0$

Donada l'equació $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma i el producte de les seves arrels utilitzant les relacions de Cardano-Vieta, sense necessitat de resoldre l'equació.

Marcos ha de resoldre en un examen l'equació quadràtica $5x^2 - 15x = 0$. Al seu full escriu el següent desenvolupament:

1) Trasllado el terme: $5x^2 = 15x$.

2) Divideixo ambdós membres entre $x$: $\frac{5x^2}{x} = \frac{15x}{x} \implies 5x = 15$.

3) Aïllo la incògnita: $x = \frac{15}{5} = 3$.

Conclusió de Marcos: «L'única solució de l'equació és $x = 3$».

1. a) Detecta i explica amb precisió algebraica l'error que ha comès Marcos en el pas 2 i quina repercussió directa té sobre el nombre de solucions trobades.
2. b) Resol l'equació correctament emprant l'extracció de factor comú i justifica per què la propietat del producte zero ($A \cdot B = 0 \iff A = 0 \text{ o } B = 0$) garanteix que no es perdi cap solució.

Donades les tres equacions de segon grau següents:

(A) $3x^2 - 75 = 0$

(B) $2x^2 + 8x = 0$

(C) $x^2 - 5x + 6 = 0$

Un company afirma que l'estratègia més segura i ràpida consisteix a aplicar de manera sistemàtica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ a totes tres per igual.

1. a) Compara per a cadascuna de les equacions l'ús de la fórmula general enfront del mètode específic més directe (aïllament d'arrel quadrada, factorització per factor comú o relacions de Cardano-Vieta per càlcul mental). Justifica raonadament quin mètode minimitza el risc de cometre errors operatius en cada cas.
2. b) Resol cadascuna de les equacions aplicant el procediment òptim que has justificat.

En un experiment de física, es llança un coet d'aigua verticalment cap amunt. La seva altura $h$ en metres respecte al terra, en funció del temps $t$ en segons, ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina en quin instant o instants el coet es troba exactament a $17$ metres d'altura.

Determina el valor (o valors) del paràmetre $k$ perquè l'equació $x^2 - kx + 9 = 0$ tingui una única solució real doble.

Es vol emmarcar una fotografia de $20 \text{ cm}$ d'alt per $30 \text{ cm}$ d'amplada amb un marc de fusta d'amplada uniforme $x$. Si l'àrea total del marc (sense comptar la fotografia) és de $216 \text{ cm}^2$, planteja una equació i troba l'amplada del marc.

El producte de dos nombres enters senars consecutius és $323$. Planteja una equació de segon grau i resol per trobar quins són aquests dos nombres. Hi ha més d'una parella possible?

En l'equació paramètrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, es sap que una de les solucions és $x = 3$. Sense necessitat de fer servir la fórmula general, calcula el valor del paràmetre $m$ i troba l'altra solució.

Considera l'equació quadràtica $x^2 - 19x + 84 = 0$.

1. a) Sense calcular el discriminant ni aplicar la fórmula general, utilitza les relacions de Cardano-Vieta ($x_1 + x_2 = 19$, $x_1 \cdot x_2 = 84$) per estimar i acotar raonadament entre quins valors s'han de situar les solucions. Dedueix primer el signe de totes dues arrels i tanteja parelles de nombres enters situats a distàncies simètriques respecte a la meitat de la suma ($9,5$) fins a proposar una estimació fonamentada de les solucions.
2. b) Resol formalment l'equació amb la fórmula general i compara el resultat obtingut amb la teva estimació inicial. Explica per què el coneixement previ de la suma i el producte de les arrels permet detectar immediatament possibles errors de càlcul en la resolució.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra durant una jornada d'alerta per calor a Còrdova que la temperatura $T$ (en graus Celsius) a partir de les 12:00 del migdia es modelitza mitjançant la funció $T(t) = -t^2 + 8t + 28$, on $t$ representa el temps transcorregut en hores des de les 12:00 ($t \in [0, 8]$).

1. a) El pla municipal d'emergències fixa mesures preventives en el treball a l'aire lliure quan la temperatura arriba o supera els $43\text{ }^\circ\text{C}$. Planteja l'equació de segon grau corresponent i determina a quines hores exactes de la tarda s'activen i es desactivin aquestes mesures.
2. b) Un informe preliminar assegura que en algun moment de la tarda s'arribarà als $46\text{ }^\circ\text{C}$. Sense necessitat de resoldre l'equació completa associada a aquest valor, analitza el signe del seu discriminant i conclou justificadament si aquesta afirmació és viable segons el model tèrmic.

Discuteix el nombre de solucions reals de l'equació $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en funció dels diferents valors que pot prendre el paràmetre $m$.

En un triangle rectangle de catets $6 \text{ cm}$ i $8 \text{ cm}$, s'inscriu un rectangle de manera que dos dels seus costats estiguin sobre els catets i un dels seus vèrtexs sobre la hipotenusa. Si l'àrea del rectangle ha de ser exactament de $12 \text{ cm}^2$, planteja una equació de segon grau i troba les dimensions possibles del rectangle.

Resol la següent equació de quart grau realitzant un canvi de variable adequat per transformar-la en una equació de segon grau:

$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$

Un grup d'amics decideix llogar un veler per al cap de setmana per un cost total de $360$ euros, que acorden pagar a parts iguals. En l'últim moment, dos dels amics no hi poden assistir, la qual cosa obliga a la resta del grup a pagar $9$ euros més cadascun per cobrir el cost total. Planteja una equació que es redueixi a segon grau per determinar quants amics conformaven el grup original.

Es vol determinar una equació de segon grau mònica ($x^2 + bx + c = 0$, amb $b, c \in \mathbb{R}$) les solucions desconegudes $x_1$ i $x_2$ de la qual verifiquin simultàniament dues condicions algebraiques:

1) La distància entre totes dues arrels sobre la recta real és igual a $4$ ($|x_1 - x_2| = 4$).

2) La suma dels seus inversos és $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{2}{3}$.

1. a) Recolzant-te en les relacions de Cardano-Vieta i utilitzant la identitat algebraica $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 \cdot x_2$, planteja un sistema que relacioni directament els coeficients $b$ i $c$ sense calcular per endavant les arrels individuals.
2. b) Resol el sistema per deduir quantes equacions quadràtiques diferents compleixen simultàniament ambdós requisits. Escriu cadascuna de les equacions resultants, troba les seves respectives solucions i comprova que satisfan les condicions originals.

Un tren d'alta velocitat de Renfe cobreix el trajecte directe entre Madrid i València, separades per una distància ferroviària de $390\text{ km}$. En condicions habituals, el comboi circula a una velocitat mitjana constant $v$ (expressada en $\text{km/h}$). A causa d'una limitació temporal de velocitat imposada per obres a la infraestructura, en una jornada determinada el tren redueix la seva velocitat mitjana en $65\text{ km/h}$, fet que provoca un retard d'exactament $30\text{ minuts}$ ($0,5\text{ h}$) respecte al seu horari programat.

1. a) Modela la situació relacionant la distància, les velocitats i els temps de viatge mitjançant una equació algebraica amb incògnita $v$, i transforma-la pas a pas en una equació quadràtica de la forma $a v^2 + b v + c = 0$.
2. b) Resol l'equació obtinguda per trobar la velocitat habitual $v$ del comboi. Justifica amb un argument físic rigorós per què es descarta una de les dues solucions matemàtiques del problema.
3. c) Calcula el temps que inverteix el tren en condicions normals i el que inverteix el dia de la limitació temporal, verificant que la diferència coincideix amb les dades de l'enunciat.