Exercicis: Equacions amb radicals

Resol la següent equació radical i comprova la validesa de la solució obtinguda:

$\sqrt{3x - 2} = 4$

Determina el valor de $x$ que satisfà la següent equació irracional:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Resol la següent equació que conté una arrel d'índex superior:

$\sqrt[3]{5x - 4} = -1$

Troba la solució de l'equació igualant tots dos radicals i verifica el resultat:

$\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$

El temps $t$ (en segons) que triga un objecte a caure lliurement des d'una altura $h$ (en metres) ve donat per la fórmula física $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula des de quina altura es va deixar caure una pedra si va trigar exactament $3$ segons a arribar a terra.

Troba els valors de $x$ que verifiquen la següent igualtat amb fraccions en el radicand:

$\sqrt{\frac{4x - 1}{3}} = 5$

El radi $r$ de la base d'un cilindre de volum $V$ i altura $h$ es calcula mitjançant l'expressió $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Si un envàs cilíndric de $15\text{ cm}$ d'altura té un volum de $471\text{ cm}^3$, planteja l'equació corresponent i troba el radi de la seva base (utilitza l'aproximació $\pi \approx 3,14$).

Resol la següent equació radical i explica per què una de les possibles solucions algebraiques obtingudes després d'elevar al quadrat no és vàlida:

$x - \sqrt{x + 1} = 5$

La Lucía està resolent l'equació irracional $\sqrt{3x + 1} = x - 1$ i presenta a la pissarra els passos següents:

1) Eleva al quadrat tots dos membres: $(\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2 \implies 3x + 1 = x^2 - 2x + 1$.

2) Agrupa termes: $x^2 - 5x = 0 \implies x(x - 5) = 0$.

3) Conclou: «Les solucions de l'equació són $x = 0$ i $x = 5$».

1. a) Assenyala l'error conceptual que ha comès la Lucía en la seva conclusió i explica per què l'operació d'elevar al quadrat membres complets pot introduir valors que no resolen l'equació de partida.
2. b) Escriu la resolució completa i correcta, fent la comprovació rigorosa de cada candidat a l'equació original per determinar el conjunt final de solucions vàlides.

Considera l'equació amb un radical $\sqrt{5x - 4} = x - 2$:

1. a) Sense elevar al quadrat, dedueix una cota inferior per a la incògnita tenint en compte que el radical aritmètic pren valors no negatius i que, per tant, s'ha de complir $x - 2 \ge 0$. A partir d'aquesta cota, estima quin dels nombres enters $x = 1$, $x = 4$ o $x = 8$ pot ser la solució real, avaluant mentalment tots dos membres.
2. b) Resol algebraicament l'equació aïllant el radical i elevant al quadrat tots dos membres.
3. c) Comprova els valors obtinguts a l'equació de partida i explica com la teva estimació prèvia permetia descartar per endavant la solució falsa generada pel mètode algebraic.

Resol la següent equació irracional que conté dos radicals:

$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$

Calcula la coordenada $x$ a la qual s'ha de situar un punt $P(x, 4)$ del punt $A(-2, 1)$ perquè la distància euclidiana entre tots dos sigui exactament de $5$ unitats. Planteja l'equació irracional corresponent fent servir la fórmula de la distància i resol-la.

El cost de producció $C$ (en milers d'euros) de fabricar $x$ unitats d'un component electrònic d'alta precisió segueix el model matemàtic $C(x) = 12 + \sqrt{5x + 4}$. Si el pressupost exacte destinat per a la producció d'aquest lot és de $25$ milers d'euros, quantes unitats es poden fabricar?

Troba les solucions reals de la següent equació irracional aïllant adequadament un dels radicals abans d'elevar al quadrat:

$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 4} = 6$

El període $T$ d'oscil·lació d'un pèndol simple (en segons) es relaciona amb la seva longitud $L$ (en metres) mitjançant l'expressió física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$. Considerant l'acceleració de la gravetat com a $g \approx \pi^2\text{ m/s}^2$, planteja l'equació i troba la longitud d'un pèndol el període d'oscil·lació del qual és exactament de $2,5$ segons.

Troba les solucions reals de la següent equació que conté un radical aniuat (un radical dins d'un altre):

$\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$

Resol la següent equació irracional. Et resultarà més senzill si apliques un canvi de variable adequat, per exemple $t = \sqrt{x^2 - 2}$:

$x^2 - 3\sqrt{x^2 - 2} = 6$

En un projecte d'arquitectura, es dissenya una rampa d'accés recolzada en un mur vertical de $12\text{ m}$ d'altura. La longitud de la rampa és $\sqrt{x^2 + 144}$ i la distància horitzontal des de l'inici de la rampa fins a la base del mur és $x$. Si per normativa de seguretat i pendent la rampa ha de mesurar exactament $4\text{ m}$ més que la distància horitzontal $x$, planteja i resol l'equació irracional per trobar $x$.

Dissenya una equació amb un radical de la forma $\sqrt{a \cdot x + b} = x - 2$, on $a$ i $b$ siguin nombres enters, que compleixi simultàniament aquestes dues condicions:

1) En elevar tots dos membres al quadrat i trasposar termes, l'equació de segon grau resultant tingui com a candidats a solució $x = 7$ i $x = -1$.

2) En comprovar aquests candidats a l'equació original amb el radical, $x = 7$ sigui una solució vàlida i $x = -1$ resulti ser una solució espúria (falsa).

Explica de manera deductiva com determines els valors dels coeficients $a$ i $b$ a partir de la suma i el producte de les arrels de l'equació quadràtica, escriu l'equació definitiva i fes la comprovació explícita de tots dos valors a l'equació construïda.

En les obres de modernització d'una estació de bombament de la Confederació Hidrogràfica del Guadalquivir, dues comportes reguladores de cabal registren lectures de nivell vinculades mitjançant la següent equació amb dos radicals:

$\sqrt{2x + 15} - \sqrt{x - 1} = 3$

on $x$ representa el calat de seguretat de la bassa en decímetres ($x \ge 1$).

1. a) Planteja i resol l'equació aïllant convenientment un radical i desenvolupant les dues elevacions al quadrat necessàries.
2. b) Comprova la validesa dels candidats obtinguts substituint-los a l'equació original.
3. c) A diferència del que passa habitualment en equacions irracionals amb dues elevacions al quadrat, analitza i justifica per què en aquest cas tots dos valors numèrics resulten ser solucions reals vàlides, parant una atenció especial al signe dels membres just abans de la segona elevació al quadrat.

Resol la següent equació irracional que conté tres radicals. Tingues un compte especial en agrupar termes després de la primera elevació al quadrat:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Un cable de fibra òptica ha de connectar dues torres de comunicacions $A$ i $B$ de $15\text{ m}$ i $20\text{ m}$ d'altura respectivament, passant per un punt d'ancoratge $P$ situat a terra entre totes dues torres. La distància horitzontal entre les torres és de $35\text{ m}$. Si el punt $P$ es situa a $x$ metres de la torre $A$, la longitud total del cable ve donada per $L = \sqrt{x^2 + 225} + \sqrt{(35 - x)^2 + 400}$. Si es disposa d'exactament $50\text{ m}$ de cable i es vol fer servir en la seva totalitat sense talls, determina a quina distància $x$ s'ha de situar l'ancoratge $P$.

Determina el valor numèric del paràmetre $k$ perquè l'equació irracional $\sqrt{x + k} = x - 1$ tingui una única solució real vàlida de multiplicitat u. Raona la teva resposta analitzant el discriminant de l'equació quadràtica resultant i les condicions de validesa del radical.

Resol la següent equació que combina les propietats dels valors absoluts amb expressions irracionals. Considera acuradament els casos del valor absolut:

$|\sqrt{3x + 1} - 4| = 2$

Resol la següent equació irracional amb arrels de diferents índexs. Et serà de gran ajut realitzar el canvi de variable $t = \sqrt[6]{x}$:

$\sqrt{x} - 7\sqrt[3]{x} + 12\sqrt[6]{x} = 0$

La teoria de la relativitat especial estableix que la massa relativista $m$ d'un objecte en moviment ve donada per l'equació $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, on $m_0$ és la massa en repòs, $v$ és la velocitat de l'objecte i $c$ és la velocitat de la llum al buit. Aïlla algebraicament la velocitat $v$ en funció de $m$, $m_0$ i $c$. Posteriorment, calcula a quina fracció de la velocitat de la llum $c$ ha de viatjar una nau espacial perquè la seva massa relativista sigui exactament el doble de la seva massa en repòs.

Discuteix i resol el següent sistema d'equacions no lineal que involucra radicals. Pots aprofitar l'estructura algebraica de la segona equació (diferència de quadrats) per simplificar el procés:

$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x - y = 5 \end{cases}$

Demostra algebraicament i de forma raonada per què l'equació irracional $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 5$ no té solucions en el conjunt dels nombres reals. Basa la teva demostració en l'anàlisi del domini de definició dels radicals implicats, sense necessitat d'elevar al quadrat tots dos membres.

Per resoldre l'equació amb radicals de diferent índex $\sqrt{2x - 1} + \sqrt[4]{2x - 1} = 6$, dos companys de classe plantegen estratègies diferents:

• Mètode d'en Marcos: Aïllar l'arrel quadrada, $\sqrt{2x - 1} = 6 - \sqrt[4]{2x - 1}$, elevar al quadrat tots dos membres, aïllar l'arrel quarta resultant i tornar a elevar a la quarta potència per eliminar tots els radicals.

• Mètode de la Sara: Definir la incògnita auxiliar $t = \sqrt[4]{2x - 1}$, expressar l'equació en funció de $t$, resoldre l'equació polinòmica resultant i desfer el canvi.

1. a) Analitza comparativament tots dos camins: indica raonadament el grau de l'equació polinòmica que obtindria en Marcos després de les seves elevacions successives i argumenta quin dels dos mètodes és més eficient i segur per evitar errors operatius i arrels espúries de grau alt.
2. b) Resol l'equació aplicant el mètode de la Sara. Justifica per què una de les solucions obtingudes per a $t$ s'ha de descartar immediatament abans de calcular $x$, i troba la solució real única de l'equació.

En el disseny del sistema de frenada d'un prototip de tramvia a Saragossa, la distància d'aturada $x$ (en metres, amb $x \ge -2,5$) respecte a una balisa de control està regulada per l'equació amb valor absolut i radical:

$|\sqrt{2x + 5} - 4| = k$

on $k$ és una constant física de calibratge ($k \ge 0$).

1. a) Per a l'ajust particular $k = 1$, desdobla l'equació en dues equacions amb radicals segons la definició de valor absolut, resol-les i comprova les solucions vàlides de $x$.
2. b) Fes una discussió completa del nombre de solucions reals que té l'equació en funció dels valors del paràmetre $k \ge 0$. Determina els intervals o valors exactes de $k$ per als quals l'equació té:

• Exactament dues solucions reals diferents.

• Exactament una solució real.

• Cap solució real.

1. c) Justifica les teves deduccions relacionant el recorregut del radical aritmètic $\sqrt{2x + 5} \ge 0$ amb la interpretació geomètrica del valor absolut com a distància al valor $4$ a la recta real.