Exercicis: Altres equacions

Resol la següent equació biquadrada trobant totes les seves solucions reals:

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Troba el valor de $x$ que verifica la següent equació amb la incògnita al denominador:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Troba les solucions reals de l'equació irracional, comprovant-ne la validesa:

$\sqrt{2x+5} - x = 1$

Determina el valor de $x$ que satisfà la següent equació exponencial:

$3^{2x+1} - 27 = 0$

Aplica les propietats dels logaritmes per resoldre l'equació:

$\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$

Troba els valors de $x$ que compleixen l'equació amb valor absolut:

$|2x - 5| = 7$

Factoritza el polinomi i resol l'equació de tercer grau:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$

Resol la següent equació racional reduint-la a una equació polinòmica:

$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$

Carlos ha de resoldre en un examen l'equació logarítmica $\log(x) + \log(x - 3) = 1$ (on el logaritme és en base 10). Al seu full escriu el desenvolupament següent:

1. Aplico la propietat de la suma de logaritmes: $\log[x(x - 3)] = 1$.

2. Per definició de logaritme: $x(x - 3) = 10^1 \implies x^2 - 3x - 10 = 0$.

3. Resolc l'equació quadràtica: $(x - 5)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 5$ i $x_2 = -2$.

4. Comprovació: en substituir $x = -2$, tenim $(-2)\cdot(-2 - 3) = (-2)\cdot(-5) = 10 > 0$; com que l'argument resultant és positiu, totes dues solucions són vàlides.

1. a) Identifica l'error conceptual comès per Carlos i explica per què el seu argument del pas 4 és incorrecte en aplicar-se a l'equació original.
2. b) Determina el domini de validesa de l'equació de partida i escriu el conjunt final de solucions reals vàlides.

Dissenya una equació biquadrada de la forma $x^4 + bx^2 + c = 0$ (amb coeficients enters $b, c \in \mathbb{Z}$) que compleixi simultàniament dues condicions:

1. Les seves úniques solucions reals han de ser $x = 2$ i $x = -2$.

2. L'equació quadràtica auxiliar en $t$ ($t = x^2$) ha de tenir dues solucions reals diferents (és a dir, discriminant estrictament positiu, $\Delta > 0$).

Mostra pas a pas com dedueixes els valors de $b$ i $c$, justificant quin signe ha de tenir cada arrel de la variable auxiliar $t$ i per què aquesta elecció garanteix que l'equació original no tingui quatre solucions reals.

La diagonal d'un rectangle mesura $10$ cm i la seva àrea és de $48\text{ cm}^2$. Planteja una equació biquadrada per trobar la longitud dels seus costats i resol-la.

Dues mànegues omplen un dipòsit en $6$ hores treballant juntes. Si la primera mànega triga $5$ hores menys que la segona a omplir el dipòsit per si sola, quant triga cadascuna? Planteja i resol l'equació racional corresponent.

Resol la següent equació irracional amb dos radicals i comprova la solució obtinguda:

$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$

Un cultiu de bacteris creix segons una llei exponencial. Per determinar l'instant crític d'un experiment, un biòleg ha de resoldre l'equació $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Troba els valors de $x$ aplicant un canvi de variable.

Aplica les propietats dels logaritmes per agrupar els termes i resol l'equació:

$\log(x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(x+1)$

Troba tots els valors reals de $x$ que verifiquen la següent equació amb valor absolut quadràtic:

$|x^2 - 5x + 4| = 2$

Es vol construir una caixa sense tapa a partir d'una cartolina rectangular de $20 \times 15$ cm, retallant quadrats iguals de costat $x$ a les esquines i doblegant les vores. Si el volum de la caixa ha de ser de $378\text{ cm}^3$, planteja l'equació polinòmica de tercer grau corresponent i troba el valor de $x$, sabent que és un nombre enter.

Una mostra de material radioactiu es desintegra de manera que la quantitat restant $M(t)$ en grams després de $t$ anys obeeix a l'expressió $M(t) = 200 \cdot e^{-0,05t}$. Quants anys han de transcórrer perquè quedin exactament $50$ grams de material? Expressa el resultat exacte fent servir logaritmes neperians.

Considera l'equació exponencial $4^x + 2^{x+1} = 80$.

1. a) Abans de resoldre-la algebraicament, acota raonadament entre quins dos nombres enters es troba la solució real. Per a fer-ho, avalua mentalment el membre esquerre per a $x = 2$ i per a $x = 4$, i justifica aquesta acotació a partir del creixement estricte de les funcions exponencials.
2. b) Resol formalment l'equació fent el canvi de variable $u = 2^x$. Justifica amb precisió quina arrel de l'equació de segon grau auxiliar es descarta i per quin motiu teòric.
3. c) Comprova si el valor exacte obtingut coincideix amb la teva estimació prèvia i verifica la igualtat numèrica en l'equació original.

Per a resoldre l'equació polinòmica $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$, dos companys de classe proposen camins diferents:

• La Lucía proposa buscar una arrel检测 entera tantejant entre els divisors de 12 i factoritzar aplicant la regla de Ruffini.

• En Marcos suggereix agrupar termes per parelles: $(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$, i extreure factors comuns consecutius sense necessitat de tantejar divisors.

1. a) Resol l'equació seguint el mètode de la Lucía, mostrant la taula de Ruffini i l'equació de segon grau resultant.
2. b) Resol l'equació seguint el mètode d'en Marcos, detallant cada extracció de factor comú.
3. c) Compara tots dos procediments: raona quin resulta més eficient en aquest cas concret i explica si el mètode d'en Marcos seria aplicable a qualsevol equació de tercer grau o si exigeix una relació particular entre els coeficients (recolza la teva resposta amb un contraexemple).

Determina per a quins valors del paràmetre $k$ l'equació biquadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ té exactament dues solucions reals distintes. Justifica raonadament la teva resposta.

Un ciclista viatja d'un poble A a un poble B, separats per $60$ km, a una velocitat constant. En el viatge de tornada, a causa del vent en contra, la seva velocitat disminueix $5$ km/h, per la qual cosa triga $1$ hora més a fer el mateix recorregut. Planteja l'equació racional que modelitza la situació i determina la velocitat d'anada.

Una torre de telecomunicacions està situada a la ribera recta d'un riu. Es vol estendre un cable en línia recta des d'un punt $P$ de la ribera fins a la torre, i un altre cable des de $P$ fins a una cabana situada a $5$ km riu avall de la torre i a $1$ km terra endins. Si la longitud total del cable utilitzat és de $6$ km, planteja una equació irracional i determina a quina distància de la torre es troba el punt $P$.

Resol la següent equació exponencial que involucra bases diferents, treient factor comú a cada membre:

$2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$

L'energia $E$ (en ergis) alliberada per un terratrèmol es relaciona amb la seva magnitud $M$ en l'escala de Richter mitjançant l'equació $\log E = 11,8 + 1,5M$. Si un terratrèmol allibera $1000$ vegades més energia que un altre la magnitud del qual és de $4,2$, quina és la magnitud del primer terratrèmol en l'escala de Richter?

Troba totes les solucions reals de l'equació amb valor absolut niat:

$||x - 2| - 3| = 1$

Un número PIN d'una targeta està format per quatre xifres enteres positives, consecutives i en ordre creixent. Si formem un polinomi mònic $P(x)$ de grau $4$ les arrels del qual siguin exactament aquestes quatre xifres, resulta que el seu terme independent és igual a $24$. Determina el polinomi $P(x)$ desenvolupat i el número PIN de quatre xifres.

Resol el següent sistema no lineal que modelitza el creuament de dues trajectòries en el pla cartesià: $y = \sqrt{x+2}$ i $y = |x|$. Determina els punts de tall algebraicament.

En una explotació agrícola de la comarca de la Vega Baixa del Segura (Alacant), es projecta construir una bassa de reg rectangular a cel obert per a optimitzar l'emmagatzematge d'aigua davant de períodes de sequera.

El disseny tècnic estableix que la base tindrà una longitud que superi en $8\text{ metres}$ la seva amplada $x$. Per motius geotècnics d'estabilitat dels talussos, la profunditat (alçària) de la bassa ha de ser exactament igual a la meitat de la seva amplada.

1. a) Sabent que el volum net requerit és de $96\text{ m}^3$, planteja l'equació polinòmica en la seva forma general $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ que modelitza la capacitat de la bassa en funció de la seva amplada $x$.
2. b) Resol l'equació factoritzant el polinomi mitjançant el teorema del residu i la regla de Ruffini. Demostra, analitzant el discriminant del polinomi quocient, que no hi ha altres dimensions reals possibles.
3. c) Indica les dimensions finals de la bassa (amplada, longitud i profunditat).
4. d) Si una normativa tècnica posterior limités la profunditat màxima a $1,5\text{ metres}$ mantenint les mateixes relacions del disseny (longitud $x+8$ i profunditat igual a la meitat de l'amplada), raona algebraicament (sense necessitat de resoldre una nova equació completa) per què seria impossible assolir el volum exigit de $96\text{ m}^3$.

Considera la família d'equacions exponencials dependents del paràmetre real $k$:

1. a) Aplica el canvi de variable $u = 2^x$ per a transformar l'equació en una de segon grau i formula explícitament la restricció algebraica que ha de satisfer qualsevol solució d'$u$ per a generar una solució real d'$x$.
2. b) Discuteix raonadament el nombre de solucions reals de l'equació original en funció dels valors del paràmetre $k$. Determina amb precisió per a quins valors o intervals de $k$ l'equació:

1. Té exactament dues solucions reals diferents.

2. Té una única solució real.

3. No té cap solució real.

(Justifica la teva classificació analitzant el discriminant de l'equació en $u$ i els signes de les seves arrels mitjançant la suma i el producte de Cardano-Viète).

1. c) Per al cas particular $k = 3$, calcula totes les solucions exactes de l'equació (emprant logaritmes quan no sigui una potència sencera de la base).

Repte del tema. Com influeix el clima en el consum energètic de la teva llar? Dissenya un model matemàtic per optimitzar l'ús de la climatització segons la temperatura exterior.

Fase 1. Dades reals. Consulta al web d'AEMET les temperatures màxima i mínima del teu municipi en els darrers tres dies. Calcula la mitjana ($T_m$) i planteja una equació amb valor absolut, $|T - T_m| = k$ amb $k = 3$ °C, per trobar els dos llindars crítics de confort tèrmic.

Fase 2. Resolució algebraica.

1) Modela el cost mitjà horari segons les hores d'ús $t$ mitjançant una equació racional: $\frac{12t + 35}{t} = 14,5$. Aïlla i analitza la seva viabilitat.

2) Modela el flux tèrmic amb una equació irracional que condueixi a una de segon grau: $\sqrt{2x + 7} - x = 2$. Resol analíticament al teu quadern, verificant i descartant possibles solucions falses.

Fase 3. GeoGebra i conclusions. Representa a GeoGebra les funcions associades (valor absolut, racional i la paràbola derivada del radical) per visualitzar els punts de tall. Redacta un breu informe amb les teves gràfiques i una recomanació raonada de consum domèstic.

Es valorarà:

• Precisió en la resolució analítica de les equacions i discriminació de solucions no vàlides.

• Ús correcte de GeoGebra per contrastar geomètricament els resultats algebraics.

• Coherència i rigor de l'informe en vincular les dades d'AEMET amb la proposta final.