Exercicis: Equacions amb valor absolut

Resol la següent equació lineal amb valor absolut:

$|3x - 5| = 7$

Aïlla el valor absolut i troba les solucions de l'equació:

$2|x + 4| - 10 = 0$

Troba els valors de $x$ que satisfan la següent equació quadràtica amb valor absolut:

$|x^2 - 9| = 0$

Resol l'equació considerant que els arguments dels valors absoluts són iguals o oposats:

$|2x - 1| = |x + 3|$

Analitza i resol la següent equació. Justifica la teva resposta:

$|5x + 2| = -4$

Troba els nombres la distància dels quals al nombre $4$ a la recta real és exactament $9$. Planteja i resol l'equació amb valor absolut corresponent.

Resol la següent equació amb coeficients fraccionaris:

$\left| \frac{2x}{3} - 1 \right| = 5$

Troba totes les solucions reals de l'equació:

$|x^2 - 5x| = 6$

En la recta real, la distància entre dos nombres $x$ i $a$ s'expressa mitjançant $|x - a|$. A partir d'aquesta interpretació geomètrica:

1. a) Escriu una equació amb valor absolut de la forma $|x - c| = d$ (amb $d > 0$) el conjunt de solucions de la qual sigui exactament $\{-3, 7\}$. Justifica l'elecció dels valors numèrics de $c$ (centre o punt mitjà) i de $d$ (distància als extrems).
2. b) Resol formalment l'equació que has plantejat en l'apartat anterior per comprovar de manera analítica que produeix exactament aquestes dues solucions.

Per resoldre l'equació $|2x - 8| = -4$, en Marcos escriu el procediment següent a la seva llibreta:

En Marcos conclou que l'equació té dues solucions: $x = 2$ i $x = 6$.

1. a) Explica raonadament l'error conceptual que comet en Marcos en el punt de partida, abans de fer cap aïllament, recorrent a la definició geomètrica del valor absolut.
2. b) Substitueix els valors $x = 2$ i $x = 6$ en l'equació original per mostrar la contradicció aritmètica a la qual condueix el seu plantejament.
3. c) Determina quin és el veritable conjunt de solucions de l'equació.

Resol la següent equació i comprova la validesa de les solucions obtingudes, descartant aquelles que no tinguin sentit:

$|x - 5| = 2x - 1$

Troba les solucions de la següent equació realitzant un canvi de variable adequat o distingint casos segons el signe de $x$:

$x^2 - 4|x| - 5 = 0$

Una màquina talla cables d'acer per a un pont penjant. La longitud $L$ (en metres) d'un cable es considera acceptable si satisfà l'equació de tolerància $|2L - 150| = 1,5$. Calcula les longituds màxima i mínima acceptables per al cable.

Una partícula oscil·la al voltant d'un punt d'equilibri. La seva posició $x$ en certs instants crítics satisfà l'equació $|x^2 - 10| = 3x$. Troba les posicions exactes $x$ on passa això, assegurant-te de descartar les solucions no vàlides.

Resol la següent equació racional amb valor absolut:

$\left| \frac{x+2}{x-1} \right| = 3$

En un model econòmic, la desviació del preu $P$ d'una acció respecte al seu valor de referència de $120$ euros és proporcional al mateix preu, modelat per l'equació $|P - 120| = \frac{P}{5}$. Calcula els preus exactes que compleixen aquesta condició.

Troba els valors de $x$ que verifiquen la següent equació, comprovant les solucions en l'equació original:

$|x^2 - 4x| = 3x - 6$

Durant un experiment químic, el marge d'error en la mesura del pH d'una dissolució tampó ve donat per l'equació $|2p - 14| = p - 4$, on $p$ és el valor del pH. Calcula els possibles valors de $p$ i descarta aquells que no tinguin sentit físic o matemàtic en aquesta equació.

En una cooperativa olivera de Jaén s'envasa oli d'oliva verge extra en ampolles amb un volum nominal d'$1\text{ litre}$. Durant una auditoria de control de qualitat, el sensor d'ompliment detecta que el volum real de líquid $V$ (en litres) de les partides anòmales compleix la igualtat següent:

1. a) Dedueix la condició matemàtica que ha de complir l'expressió del membre dret ($0,5 \cdot V + 0,15 \ge 0$) perquè l'equació pugui tenir solució i interpreta què significa respecte al volum admisible de les ampolles.
2. b) Resol l'equació separant els dos casos corresponents i valida si les solucions candidates obtingudes satisfan la condició de l'apartat anterior.
3. c) Calcula l'error absolut de cada volum vàlid respecte al litre nominal ($|V - 1|$) i determina quina de les dues ampolles defectuoses presenta una desviació volumètrica més gran.

Considera l'equació amb dos valors absoluts sumats:

1. a) Estima: Interpreta geomètricament $|x - 3|$ i $|x - 7|$ com les distàncies d'un punt $x$ de la recta real als punts $3$ i $7$. Quant val la suma d'ambdues distàncies si $x$ es troba situat a l'interior del segment $[3, 7]$? A partir d'aquesta observació, raona per què les solucions no poden estar en aquest interval, estima quantes solucions ha de tenir l'equació i dedueix simètricament a quina distància dels extrems $3$ i $7$ s'han de trobar.
2. b) Comprova: Resol l'equació de manera rigorosa dividint la recta real en tres intervals delimitats pels valors crítics $x = 3$ i $x = 7$, eliminant les barres segons el signe de cada argument en cada tram.
3. c) Compara els valors exactes trobats a l'apartat (b) amb les deduccions que has fet en l'estimació de l'apartat (a).

Resol la següent equació amb valors absoluts aniuats:

$||2x - 1| - 4| = 5$

Troba les solucions de l'equació dividint la recta real en intervals segons les arrels dels arguments dels valors absoluts:

$|x - 2| + |x + 3| = 7$

Determina el valor del paràmetre $k$ per al qual l'equació $|x^2 - 4x + 3| = k$ té exactament tres solucions reals diferents.

A la figura tens la gràfica de $f(x)=|x^2-4x+3|$. Fes-la servir per raonar quantes solucions té l'equació segons l'altura de la recta horitzontal $y=k$, i justifica el valor de $k$ amb càlculs.

Resol la següent equació racional que involucra un valor absolut. Tingues una atenció especial als valors que anul·len el denominador:

$\left| \frac{x^2 - x - 2}{x^2 + x} \right| = 1$

El perfil de l'entrada d'una tenda de campanya de disseny modern es modelitza mitjançant l'equació $y = |x - 4| + |x - 8|$, on $x$ i $y$ estan en metres. Per col·locar una biga de suport horitzontal a una altura de $y = 6$ metres, resol l'equació $|x - 4| + |x - 8| = 6$ per trobar les coordenades $x$ dels extrems del suport.

Troba totes les solucions reals de l'equació combinada:

$x^2 - 2|x - 1| = 2$

Un braç robòtic es mou al llarg d'un rail lineal. La seva distància a dues balises ubicades en les posicions $x=0$ i $x=10$ ha de satisfer la restricció donada per l'equació $2|x| - |x - 10| = 5$. Troba les coordenades exactes $x$ on el robot es pot aturar.

Resol la següent equació igualant el valor absolut d'una expressió quadràtica al valor absolut d'una expressió lineal:

$|x^2 - 5x + 4| = |2x - 6|$

Es planteja resoldre a $\mathbb{R}$ l'equació amb dos valors absoluts igualats:

Per resoldre-la, tres alumnes proposen camins diferents:

• Mètode 1 (per intervals): Determinar els signes de $2x - 3$ i de $x + 4$ dividint la recta real en tres regions mitjançant els punts crítics $x = -4$ i $x = 1,5$, retirant les barres de manera fixa en cada tram.

• Mètode 2 (propietat de simetria): Aplicar directament l'equivalència $|A| = |B| \iff A = B \text{ o } A = -B$.

• Mètode 3 (elevació al quadrat): Elevar ambdós membres al quadrat per obtenir $(2x - 3)^2 = (x + 4)^2$ i resoldre l'equació quadràtica resultant.

1. a) Resol l'equació aplicant el Mètode 2 i comprova la validesa de les solucions obtingudes.
2. b) Resol l'equació aplicant el Mètode 3, expressant-la com a diferència de quadrats $(2x - 3)^2 - (x + 4)^2 = 0$ i factoritzant sense arribar a desenvolupar els polinomis complets.
3. c) Compara críticament els tres mètodes: justifica per què el Mètode 2 és el més eficient en aquest cas i argumenta quins desavantatges o riscos de càlcul algebraic innecessari presenten els Mètodes 1 i 3.

Es vol construir una equació amb valors absoluts niats de la forma:

on $a$, $b$ i $c$ són nombres reals amb $b > 0$ i $c > 0$, de tal manera que es compleixin simultàniament les tres condicions següents:

1. L'equació té exactament tres solucions reals diferents.

2. La menor de les solucions és $x = -2$.

3. La major de les solucions és $x = 8$.

1. a) Aïlla l'equació 'de fora cap a dins' separant-la en les dues branques que genera el valor absolut exterior. A partir d'aquestes dues branques, dedueix raonadament quina relació obligatòria hi ha d'haver entre els paràmetres $b$ i $c$ perquè l'equació generi exactament tres solucions (i no dues ni quatre).
2. b) A partir de la deducció anterior i de les solucions extremes donades ($x = -2$ i $x = 8$), calcula els valors numèrics exactes de les constants $a$, $b$ i $c$.
3. c) Escriu l'equació final amb els paràmetres obtinguts i resol-la pas a pas per comprovar que les tres solucions trobades verifiquen totes les condicions imposades.