Exercicis: Derivades de funcions usuals

Calcula la funció derivada de la funció polinòmica següent:

$f(x) = 4x^5 - \frac{3}{2}x^4 + 7x^2 - \sqrt{2}x + 5$

Aplica la regla del producte per determinar la derivada de la funció:

$g(x) = x^3 \ln x$

Troba la funció derivada del quocient de funcions següent:

$h(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$

Calcula la derivada de la funció trigonomètrica següent:

$f(x) = 5\sin x - 3\cos x + \tan x$

Aplica la regla de la cadena per derivar la potència de funció següent:

$p(x) = (3x^2 - 5x + 1)^4$

Troba la funció derivada de la funció exponencial composta següent:

$q(x) = e^{4x^3 - 7x}$

Calcula la derivada de la funció amb radical:

$r(x) = \sqrt{5x^2 - 3x + 2}$

Determina la derivada de la funció logarítmica composta següent:

$s(x) = \ln(2x^4 + x^2 - 3)$

L'Elena ha de calcular la funció derivada de $f(x) = 3^x + \ln(4x)$ i al seu examen escriu el següent:

1. a) Localitza els dos errors comesos per l'Elena. Explica detalladament per què és incorrecte tractar $3^x$ com si fos una funció potencial del tipus $x^n$ i què va ometre en aplicar la regla de la cadena en el terme logarítmic.
2. b) Proporciona el desenvolupament analític correcte pas a pas i calcula el valor exacte del pendent de la recta tangent a $x = 1$.

Per calcular la derivada de la funció $f(x) = \ln\left(\frac{e^{2x}}{x^2 + 1}\right)$, dos companys discuteixen quin camí seguir:

• Estratègia A (directa): Aplicar la fórmula general $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ derivant directament la fracció mitjançant la regla del quocient.

• Estratègia B (simplificació prèvia): Aplicar primer les propietats dels logaritmes $(\ln(A/B) = \ln A - \ln B$ i $\ln(e^k) = k)$ per reescriure $f(x)$ abans de derivar terme a terme.

1. a) Desenvolupa la derivada utilitzant l'Estratègia B i expressa el resultat com una única fracció simplificada.
2. b) Justifica quina de les dues estratègies és més convenient per minimitzar el risc d'errors algebraics en derivar funcions amb logaritmes.

El nombre d'usuaris actius d'una xarxa social emergent, en milers, en funció del temps $t$ (en mesos) ve donat per l'expressió $U(t) = 50 e^{0,2t^2 - 0,1t}$. Calcula la taxa de creixement instantània del nombre d'usuaris en l'instant $t = 3$ mesos.

La posició d'una massa unida a una molla esmorteïda ve donada per la funció $x(t) = 5 e^{-0,4t} \cos(3t)$, on $x$ es mesura en centímetres i $t$ en segons. Determina la funció velocitat $v(t)$ de l'oscil·lador derivant la funció de posició.

El cost total de producció, en euros, de $q$ unitats d'un component electrònic d'alta precisió es modela mitjançant la funció $C(q) = \frac{200q^2 + 500}{q+2}$. Calcula el cost marginal $C'(q)$ quan es produeixen exactament $q = 10$ unitats.

Aplica reiteradament la regla de la cadena per trobar la funció derivada de la funció trigonomètrica següent:

$f(x) = \sin^3(2x^2 + \pi)$

Utilitza les propietats dels logaritmes per simplificar l'expressió abans de derivar, i troba la derivada de la funció:

$g(x) = \ln\left(\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}\right)$

Troba l'equació de la recta tangent a la corba definida per $f(x) = x e^{-2x} + \cos(\pi x)$ en el punt d'abscissa $x = 0$.

La temperatura $T$ (en graus Celsius) d'un motor industrial en funció del temps $t$ (en minuts) després d'haver estat apagat segueix la llei de refredament de Newton, donada per $T(t) = 25 + 85 e^{-0,05t}$. Calcula i interpreta el valor de $T'(10)$, és a dir, la velocitat a la qual disminueix la temperatura als 10 minuts.

Calcula la derivada de la funció següent, que combina funcions trigonomètriques inverses amb exponencials i polinomis:

$h(x) = \arctan(e^x) + \arcsin(2x)$

Considera la funció $f(x) = \arctan(3x)$.

1. a) Abans de calcular cap derivada, realitza les següents estimacions qualitatives raonant sobre la gràfica i la definició de l'arctangent:

• Quin signe esperes que tingui el pendent de la recta tangent per a qualsevol valor de $x$?

• En quin dels dos punts, $x = 0$ o $x = 2$, preveus que la recta tangent tingui més inclinació (més pendent)?

1. b) Calcula formalment la funció derivada $f'(x)$ i troba els valors exactes de $f'(0)$ i $f'(2)$.
2. c) Comprova si els valors obtinguts coincideixen amb les teves estimacions i raona què passa amb el valor del pendent quan $x$ es fa infinitament gran ($x \to +\infty$), interpretant el resultat geomètricament.

A partir de registres de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) durant una onada de calor a Còrdova, la temperatura $T$ (en graus Celsius) al llarg d'un dia d'estiu es modelitza segons la funció:

on $t$ és el temps en hores transcorregut des de la mitjanit ($t \in [0, 24]$).

1. a) Obtén l'expressió de la taxa de variació instantània de la temperatura, $T'(t)$, indicant amb claredat les unitats en què es mesura.
2. b) Calcula i interpreta el significat de $T'(10)$ i $T'(16)$. En quin d'aquests dos instants la temperatura canvia més de pressa?
3. c) Resol raonadament l'equació $T'(t) = 0$ a l'interval $[0, 24]$ i determina a quines hores del dia es registren la temperatura mínima i la màxima absoluta, indicant el valor de totes dues temperatures.

Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = \frac{ax+b}{x^2+4}$ tingui un extrem relatiu en el punt $P(2, 1)$.

Demostra, utilitzant la regla de derivació d'un quocient i la identitat fonamental de la trigonometria ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), que la derivada de la funció secant $f(x) = \frac{1}{\cos x}$ és $f'(x) = \tan x \cdot \sec x$.

Un raig de llum viatja des del punt $A(0, a)$ fins al punt $B(d, b)$ reflectint-se en un mirall pla situat sobre l'eix d'abscisses en el punt $P(x, 0)$. La distància total meandrada/recorreguda per la llum ve donada per la funció $L(x) = \sqrt{x^2 + a^2} + \sqrt{(d-x)^2 + b^2}$. Calcula $L'(x)$ i demostra que la condició de distància mínima $L'(x) = 0$ implica que l'angle d'incidència és igual a l'angle de reflexió ($\sin \theta_1 = \sin \theta_2$).

En un model epidemiològic, la proporció de població infectada per un virus al llarg del temps $t$ (en setmanes) segueix una corba logística donada per $I(t) = \frac{1}{1 + 49e^{-0,5t}}$. Calcula la taxa de canvi de la infecció $I'(t)$ i determina en quina setmana la malaltia es propaga amb més rapidesa (és a dir, el punt d'inflexió on $I''(t) = 0$).

Troba l'expressió general per a la derivada enèsima (d'ordre $n$) de la funció $f(x) = \ln(2x - 1)$.

Determina l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = e^x \cos x$ que sigui paral·lela a la recta $y = -e^{\pi} x + 5$, sabent que el punt de tangència es troba en l'interval $[0, 2\pi]$.

El benefici mensual d'una empresa de programari, en milers d'euros, està modelat per la funció $B(x) = x^2 \ln\left(\frac{10}{x}\right)$, on $x$ és la inversió en màrqueting en milers d'euros ($0 < x \le 10$). Calcula la inversió òptima $x$ que maximitza el benefici i demostra que es tracta d'un màxim relatiu.

En un estudi biomèdic es modelitza la concentració en sang $C(t)$ (en mg/l) d'un principi actiu després de ser administrat per via oral mitjançant una funció de la família:

on $t$ és el temps transcorregut en hores i les constants $a$ i $k$ són paràmetres reals positius.

1. a) Determina el valor exacte d'$a$ i $k$ sabent que la velocitat inicial d'absorció al torrent sanguini és de $6\text{ mg/(l}\cdot\text{h)}$ (és a dir, $C'(0) = 6$) i que la concentració màxima s'assoleix exactament a les 2 hores de la ingesta (és a dir, $C'(2) = 0$).
2. b) Amb els valors trobats, calcula la taxa de canvi a les 4 hores de la presa ($C'(4)$) i interpreta el signe obtingut.
3. c) Demostra analíticament que per a qualsevol instant $t > 2$ la funció derivada verifica estrictament que $C'(t) < 0$, i raona quina implicació clínica té aquest fet sobre l'evolució del fàrmac.

Dos estudiants aborden de manera diferent el càlcul de la derivada de la funció $f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x)$, definida a $[-1, 1]$:

• La Lucía aplica de manera mecànica les regles de la taula de derivades per a totes dues funcions usuals i suma els resultats algebraics.

• En Mateo recorda la propietat geomètrica dels angles complementaris en un triangle rectangle, segons la qual $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ per a tot $x \in [-1, 1]$, i deriva aquesta constant.

1. a) Desenvolupa el procediment analític de la Lucía per calcular $f'(x)$ a $(-1, 1)$. Què dedueix directament qualsevol observador a partir de la seva derivada sobre la gràfica de $f(x)$?
2. b) Explica com el raonament geomètric d'en Mateo confirma el resultat de la Lucía i compara l'eficiència de tots dos enfocaments.
3. c) Tria i justifica el mètode més adequat per calcular la funció derivada de $g(x) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ per a tot $x > 0$. Realitza els càlculs i explica quina propietat geomètrica revela el valor de $g'(x)$ sobre la funció $g$.