Exercicis: Recta tangent a una corba

Calcula el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 3x$ en el punt d'abscissa $x = 2$.

Troba l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = x^2 + 1$ en el punt d'abscissa $x = 1$, com el de la figura, escrivint-la en la forma $y - f(1) = f'(1) \cdot (x - 1)$.

Determina l'equació de la recta tangent a la funció $f(x) = x^3 - 2x$ en el punt d'abscissa $x = 1$.

En quin punt de la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 3$ la recta tangent és horitzontal? Indica les coordenades del punt.

Troba el punt de la paràbola $f(x) = x^2$ en què la recta tangent és paral·lela a la recta $y = 4x - 1$.

Raona si la següent afirmació és meva/falsa... -> Raona si la meva/aquesta afirmació següent és meva/falsa -> Raona si l'afirmació següent és meva/falsa... -> Raona si l'afirmació següent és meva/falsa -> Raona si l'afirmació següent és vertadera o falsa: «La recta tangent a una corba en un punt no pot tornar a tallar la corba en un altre punt». Si és falsa, posa un contraexemple amb la funció $f(x) = x^3$ en el punt d'abscissa $x = 1$.

La Marta intenta calcular l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = x^2 - 3x + 2$ en el punt d'abscissa $x = 2$. En el seu examen escriu el següent:

«$f'(x) = 2x - 3$

Equació: $y - f(2) = f'(x)\cdot(x - 2)$

Com que $f(2) = 0$, substitueixo: $y - 0 = (2x - 3)(x - 2)$

Per tant, la recta tangent és $y = 2x^2 - 7x + 6$».

1. a) Localitza l'error conceptual que comet la Marta i explica per què el seu resultat final contradiu la pròpia definició geomètrica de recta tangent.
2. b) Corregeix l'exercici calculant de manera correcta l'equació explícita de la recta tangent i la de la recta normal en $x = 2$.

Considera la funció $f(x) = 4 - x^2$.

1. a) Abans de calcular cap derivada, fes les següents estimacions qualitatives raonant sobre la forma de la paràbola i el seu vèrtex:

1. Tindrà la recta tangent en $x = 1$ pendent positiu o negatiu? Justifica-ho segons el creixement de la funció.

2. Tindrà la recta normal en aquest punt pendent positiu o negatiu?

3. L'ordenada a l'origen ($n$) de la recta tangent serà més gran o més petita que $4$?

1. b) Calcula algebraicament l'equació de la recta tangent i la de la recta normal a la gràfica en $x = 1$.
2. c) Comprova si els valors numèrics obtinguts per al pendent i l'ordenada a l'origen confirmen les teves estimacions de l'apartat a).

Un ciclista que entrena en un velòdrom recorre $s(t) = 2t^2 + 3t$ metres durant els primers $t$ segons.

1. a) Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de $s(t)$ en l'instant $t = 2$.

1. b) Quina magnitud física representa el pendent d'aquesta recta tangent? Indica el seu valor i les seves unitats.

La figura mostra la branca de la hipèrbola $f(x) = \frac{1}{x}$ corresponent a $x > 0$ i el punt d'abscissa $x = 2$. Troba l'equació de la recta tangent en aquest punt i comprova que talla l'eix d'ordenades a $y = 1$.

Troba l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = \ln x$ en el punt d'abscissa $x = 1$. Quina relació té aquesta recta amb els valors de $\ln x$ quan $x$ està molt a prop de $1$?

Troba els punts de la gràfica de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ en què la recta tangent és paral·lela a la recta $y = 9x + 5$, i indica les coordenades de cadascun.

Sigui la funció $f(x) = x^2 - 2x + 3$.

1. a) Troba l'equació de la recta tangent en el punt d'abscissa $x = 3$.

1. b) Determina els punts de tall d'aquesta recta tangent amb els eixos de coordenades.

1. c) Calcula l'àrea del triangle que la recta tangent forma amb els dos eixos.

La recta normal a una corba en un punt és la perpendicular a la recta tangent en aquest punt. Troba les equacions de la recta tangent i de la recta normal a la paràbola $f(x) = x^2$ en el punt d'abscissa $x = 1$.

Una estació de l'AEMET a la sierra de Guadarrama registra la temperatura ambient $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) durant una jornada de primavera. Entre les $08:00$ i les $18:00$, les dades s'ajusten a la funció $T(t) = -0,1t^2 + 2,6t - 4,9$, on $t$ és el temps en hores transcorregudes des de la mitjanit ($8 \le t \le 18$).

1. a) Interpreta el significat físic de la derivada $T'(a)$ i de la recta tangent a la corba en un instant qualsevol $t = a$. Indica en quines unitats es mesura aquest pendent.
2. b) Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la temperatura a les $10:00$ del matí ($t = 10$).
3. c) Utilitza la recta tangent trobada com a aproximació lineal per estimar la temperatura prevista a les $10:15$ ($t = 10,25$). Compara el resultat amb el valor exacte que proporciona el model $T(10,25)$ i explica per què la recta tangent resulta una eina útil de predicció a molt curt termini.

Troba els coeficients $a$, $b$ i $c$ de la funció polinòmica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que compleix simultàniament tres condicions geomètriques:

1. La seva gràfica talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, 3)$.

2. La recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 2$ és completament horitzontal.

3. En el punt d'abscissa $x = -1$, la recta normal a la corba és paral·lela a la recta d'equació $x - 6y + 12 = 0$.

Escriu primer la traducció matemàtica de cada condició en termes de $f$ i $f'$, i resol detalladament el sistema resultant.

Des del punt $P(0, -4)$, exterior a la paràbola $f(x) = x^2$ i representat en la figura, es volen traçar rectes tangents a la corba.

1. a) Escriu l'equació de la recta tangent a la paràbola en un punt genèric d'abscissa $x = a$.

1. b) Imposa la condició que passi per $P$ i troba les equacions de les dues rectes tangents possibles, indicant els punts de tangència.

Determina el punt de la corba $f(x) = \ln x$ en què la recta tangent passa per l'origen de coordenades, i escriu l'equació d'aquesta tangent. (Suggeriment: planteja la tangent en un punt genèric d'abscissa $x = a$ i imposa que passi per $(0, 0)$.)

Les paràboles $f(x) = x^2$ i $g(x) = 2 - x^2$ es tallen formant un angle, el que formen les seves rectes tangents en el punt de tall, com es mostra en la figura.

1. a) Comprova que les dues corbes es tallen en els punts d'abscissa $x = -1$ i $x = 1$.

1. b) Calcula els pendents de les tangents de totes dues corbes en el punt d'abscissa $x = 1$.

1. c) Utilitzant la fórmula de l'angle entre dues rectes, $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|$, troba l'angle que formen les dues corbes en aquest punt.

Es vol estimar el valor de $\sqrt{102}$ sense calculadora.

1. a) Troba l'equació de la recta tangent a $f(x) = \sqrt{x}$ en el punt d'abscissa $x = 100$.

1. b) Utilitza aquesta recta per donar una estimació de $\sqrt{102}$ amb dues xifres decimals.

1. c) Sabent que el valor real arrodonit a quatre decimals és $10,0995$, comenta si l'aproximació per la tangent és per excés o per defecte i raona a què es deu.

Es volen determinar les equacions de les rectes tangents a la paràbola $f(x) = x^2 - 4x + 5$ que passen pel punt exterior $P(2, -3)$ (comprova primer que $P$ no pertany a la corba). Dos alumnes proposen camins diferents:

• Mètode 1 (Geometria analítica): Escriure el feix de rectes que passa per $P$, $y + 3 = m(x - 2)$, substituir a la paràbola per formar una equació de segon grau en $x$ i imposar discriminant nul ($\Delta = 0$) per exigir tangència.

• Mètode 2 (Càlcul diferencial): Plantejar la recta tangent genèrica en un punt desconegut $(a, f(a))$, imposar que passi per $P(2, -3)$ i aïllar els valors d'$a$.

1. a) Aplica el Mètode 1 i obtén les equacions de les rectes tangents.
2. b) Aplica el Mètode 2 i comprova que s'assoleixen exactament les mateixes solucions.
3. c) Compara ambdós mètodes i justifica quin dels dos és preferible si la corba fos $g(x) = x^3 - 2x$ o $h(x) = e^x$, explicant amb precisió per què l'altre mètode deixa de ser aplicable o esdevé impracticable.

Considera la família de paràboles $f_k(x) = x^2 + k$, on $k \in \mathbb{R}$ és una constant. Des del punt exterior $P(0, -1)$, es tracen rectes tangents a la corba.

1. a) Dedueix l'equació de la recta tangent en un punt genèric $(a, f_k(a))$ i imposa que passi per $P(0, -1)$ per obtenir una equació en la incògnita $a$.
2. b) Discuteix raonadament el nombre de rectes tangents que es poden traçar des de $P(0, -1)$ en funció dels valors del paràmetre $k$ (distingint quan n'hi ha dues, una o cap).
3. c) Per als valors de $k$ en què existeixen dues rectes tangents diferents, demostra que aquestes rectes són perpendiculars entre si per a un únic valor de $k$. Calcula aquest valor i les equacions explícites d'ambdues tangents perpendiculars.