Exercicis: Paràbola

Troba l'equació reduïda de la paràbola amb vèrtex a l'origen de coordenades i foc al punt $F(0, 3)$.

Determina les coordenades del vèrtex, el foc i l'equació de la directriu de la paràbola d'equació $y^2 = -10x$.

Escriu l'equació de la paràbola el vèrtex de la qual és el punt $V(2, -1)$ i la directriu de la qual és la recta $x = 4$.

Troba el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten del punt $A(0, 4)$ i de la recta horitzontal $y = -4$.

Calcula les coordenades dels punts d'intersecció de la paràbola $x^2 = 4y$ amb la recta bisectriu del primer quadrant $y = x$.

Identifica si l'equació general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ correspon a una paràbola i, en cas afirmatiu, troba les coordenades del seu vèrtex.

El perfil d'un far halogen d'automòbil té forma de paràbola. Si la seva equació respecte a un sistema de referència centrat al vèrtex és $y^2 = 12x$ (amb les mesures expressades en centímetres), a quina distància del vèrtex s'ha de col·locar la bombeta perquè els raigs de llum es reflecteixin paral·lels a l'eix de simetria?

Troba l'equació de la paràbola amb vèrtex a l'origen, eix de simetria coincident amb l'eix d'abscisses i que passa pel punt $P(-2, 4)$.

L'Álvaro ha de calcular el focus i la recta directriu de la paràbola que té per equació reduïda $y^2 = 12x$. Al seu examen escriu:

«Com que la forma canònica és $y^2 = 2px$, es dedueix immediatament que el paràmetre és $p = 12$. Per tant, el focus se situa al punt $F(12, 0)$ i l'equació de la recta directriu és $x = -12$».

1. a) Localitza l'error conceptual que ha comès l'Álvaro en identificar el paràmetre $p$ i les seves conseqüències en els elements de la paràbola.
2. b) Explica amb les teves paraules què representa geomètricament el paràmetre $p$ respecte a la distància entre el focus i la directriu.
3. c) Corregeix la resolució deduint de manera justificada el valor real de $p$, les coordenades correctes del focus $F$ i l'equació de la directriu.

Construeix l'equació canònica d'una paràbola amb vèrtex a l'origen $V(0, 0)$ sabent que el seu eix de simetria coincideix amb l'eix d'abscisses, que les seves branques s'obren cap als valors negatius de $x$ i que la distància geomètrica entre el seu focus i la seva recta directriu és exactament de $8$ unitats de longitud.

Un cop obtinguda l'equació:

1. a) Determina les coordenades del seu focus $F$ i l'equació de la seva directriu $d$.
2. b) Troba les coordenades del punt $P$ de la paràbola que té ordenada $y = 4$.
3. c) Demostra numèricament, calculant de manera explícita les distàncies $d(P, F)$ i $d(P, d)$, que aquest punt compleix amb exactitud la definició de lloc geomètric de la paràbola.

Donada l'equació general de la paràbola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa quadrats per a expressar-la en la seva forma reduïda traslladada i determina les coordenades del seu vèrtex, el seu foc i l'equació de la seva directriu.

Troba l'equació de la recta tangent a la paràbola $y^2 = 8x$ al punt d'ordenada $y = 4$.

Un arc parabòlic d'un pont de pedra té una llum (amplada a la base) de $40\text{ m}$ i una alçària màxima de $10\text{ m}$. Calcula l'alçària a la qual es troba l'arc a una distància horitzontal de $8\text{ m}$ del centre de la base.

Troba el lloc geomètric dels centres de les circumferències que són tangents a la recta $y = -2$ i passen simultàniament pel punt $P(0, 2)$. Identifica la cònica resultant i detalla els seus elements principals.

El reflector d'una antena parabòlica té un diàmetre exterior de $2\text{ m}$ i una profunditat màxima de $0,25\text{ m}$. Determina a quina distància del vèrtex es troba el foc on s'ha de situar el receptor del senyal.

Determina l'equació de la paràbola d'eix vertical que passa pels punts $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ i $C(3, 4)$.

Estudia la posició relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ i la paràbola $y^2 = 4x$. Si es tallen, troba la longitud exacta de la corda que determina la recta quan interseca amb la paràbola.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la recta $y = 2x + k$ sigui tangent a la paràbola $x^2 = 2y$.

A la Plataforma Solar de Almería s'utilitzen col·lectors cilindroparabòlics per concentrar la radiació solar directa en un tub receptor pel qual flueix un fluid tèrmic. La secció transversal del mirall reflector té forma parabòlica simètrica respecte a l'eix vertical, amb una amplada d'obertura superior de $5,6\text{ m}$ i una profunditat màxima al centre d'$1,4\text{ m}$.

1. a) Situa el vèrtex a l'origen de coordenades $V(0, 0)$ i modelitza el perfil del captador determinant la seva equació canònica de la forma $x^2 = 2py$.
2. b) Aplica la propietat reflectora de les còniques per justificar matemàticament a quina alçada exacta sobre el vèrtex del fons s'ha de fixar el tub receptor per absorbir la màxima quantitat de radiació solar paral·lela a l'eix.
3. c) Si la directriu de la paràbola representa una cota de referència per a l'estructura mecànica inferior, a quina distància per sota del vèrtex se situa aquesta recta?

Considera la paràbola amb vèrtex traslladat d'equació $(y - 2)^2 = 4(x + 1)$. Es traça una corda focal perpendicular al seu eix de simetria (és a dir, el segment que passa pel focus, té els seus extrems sobre la paràbola i és perpendicular a aquest eix).

1. a) Estima raonadament la longitud d'aquesta corda focal abans de calcular les coordenades dels seus extrems, recolzant-te exclusivament en la definició de la paràbola com a lloc geomètric i en la distància del focus a la directriu.
2. b) Determina analíticament les coordenades del vèrtex $V$, del focus $F$, l'equació de la directriu i les coordenades dels extrems $A$ i $B$ d'aquesta corda focal.
3. c) Calcula la distància euclidiana exacta entre $A$ i $B$, comprova si coincideix amb la teva estimació prèvia i raona per què per a qualsevol paràbola de paràmetre $p$ la longitud d'aquesta corda focal perpendicular a l'eix (anomenada «latus rectum») mesura sempre $2p$.

Troba les equacions de les rectes tangents a la paràbola $y^2 = 4x$ traçades des del punt exterior $P(-1, 0)$.

Fent servir la definició de paràbola com a lloc geomètric, troba l'equació general de la paràbola el focus de la qual és el punt $F(2, 3)$ i la directriu de la qual és la recta obliqua $x + y - 1 = 0$.

Un canó d'aigua llança un raig la trajectòria del qual descriu una paràbola. L'aigua surt des de l'origen de coordenades i el raig ateny una altura màxima de $15\text{ m}$ a una distància horitzontal de $20\text{ m}$. Determina analíticament si el raig d'aigua aconseguirà passar per sobre d'un mur de $10\text{ m}$ d'altura situat a $30\text{ m}$ de distància horitzontal del punt de sortida.

Donada la paràbola d'equació $y^2 = 2px$, demostra analíticament que el lloc geomètric de les projeccions ortogonals del focus sobre les infinites rectes tangents a la paràbola és exactament la recta tangent al vèrtex.

Troba l'equació de la circumferència que passa pel vèrtex de la paràbola $y^2 = 8x$ i pels dos punts d'intersecció de la paràbola esmentada amb la recta vertical $x = 2$.

Determina les coordenades del punt de la paràbola $x^2 = 4y$ que es troba a la menor distància possible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, a més, aquesta distància mínima.

Es considera un mirall parabòlic la secció del qual respon a l'equació $y^2 = 4x$. Un raig de llum, paral·lel a l'eix d'abscisses, incideix sobre el mirall en el punt $P(1, 2)$. Demostra de manera analítica que la recta que conté el raig reflectit passa exactament pel focus de la paràbola.

Una paràbola té el vèrtex en el punt $V(1, 2)$ i el seu eix de simetria és paral·lel a l'eix d'ordenades. Si es sap que la paràbola és tangent a la recta $y = x - 1$, troba l'equació general de la paràbola esmentada i les coordenades exactes del seu focus.

Es vol determinar l'equació de la recta tangent a la paràbola $y^2 = 4x$ al punt $P(1, 2)$ que hi pertany. Per resoldre aquest problema es plantegen dos mètodes conceptualment diferents:

• Mètode A (Algebric): Plantejar el feix de rectes que passen per $P$, $y - 2 = m(x - 1)$, substituir a l'equació de la paràbola i exigir que l'equació de segon grau resultant tingui una arrel doble imposant que el seu discriminant sigui nul ($\Delta = 0$).

• Mètode B (Geomètric): Utilitzar la definició de la paràbola. Si $F$ és el focus i $D$ és la projecció ortogonal de $P$ sobre la directriu, la recta tangent és exactament la mediatriu del segment $FD$ (la recta perpendicular a $FD$ que passa pel seu punt mitjà).

1. a) Desenvolupa completament el Mètode A i obtén el valor del pendent $m$ i la recta tangent.
2. b) Desenvolupa completament el Mètode B: troba les coordenades de $F$ i de $D$, calcula el punt mitjà i el vector director de la mediatriu, i obtén la recta tangent.
3. c) Compara amb criteri crític tots dos procediments: argumenta quin resulta algebraicament més directe i quin permet comprendre millor la propietat òptica de reflexió que aprofiten els fars i radiotelescopis.

Al Complejo Espacial de Maspalomas (Gran Canària), un equip d'enginyers dissenya una antena parabòlica de recepció satel·litària orientada cap al zenit (eix vertical). L'obertura circular superior de l'antena té un diàmetre de $12\text{ m}$. Per especificacions de disseny mecànic i estabilitat del pal receptor, s'exigeix que el focus de la paràbola estigui ubicat exactament a la mateixa alçada que la vora perimetral superior del plat.

1. a) Situant el vèrtex a l'origen de coordenades $(0, 0)$, dedueix raonadament el valor del paràmetre $p$, la profunditat total de l'antena al seu centre i escriu la seva equació reduïda $x^2 = 2py$.
2. b) Un raig de senyal vertical incident xoca contra la superfície reflectora a una distància de $3\text{ m}$ respecte a l'eix de simetria (al punt d'abscissa $x = 3$). Troba el pendent de la recta tangent en aquest punt (mitjançant derivades o imposant discriminant nul) i dedueix les components d'un vector normal perpendicular a la superfície en l'impacte.
3. c) Demostra analíticament, utilitzant el producte escalar i la definició del cosinus de l'angle entre dos vectors, que l'angle d'incidència que forma el raig vertical amb el vector normal és idèntic a l'angle de reflexió que forma la direcció cap al focus amb aquest vector normal, demostrant la llei física de reflexió per a aquest cas.