Exercicis: Circumferència

Escriu l'equació de la circumferència que descriu l'àrea de cobertura d'una antena wi-fi, sabent que l'antena està situada en el punt $(2, -3)$ d'un pla cartesià (mesurat en quilòmetres) i té un abast màxim de $5$ km.

Determina les coordenades del centre i la longitud del radi de la zona circular regada per un aspersor agrícola la frontera de la qual ve donada per l'equació $(x-4)^2+(y+1)^2=36$.

Un sismògraf detecta que l'epicentre d'un terratrèmol es situa a l'origen de coordenades i que l'ona sísmica ha assolit un radi exacte de $10$ km. Comprova analíticament si una estació meteorològica situada en el punt $(6, -8)$ ha sentit el sisme o si es troba en el límit exacte de l'ona.

Troba l'equació de la circumferència que representa l'escombratge d'un radar d'un vaixell. Es sap que el radar està posicionat en les coordenades $(-1, 4)$ i que a l'extrem exacte de la seva pantalla detecta una boia situada en el punt $(2, 0)$.

Troba el centre i el radi de la circumferència que descriu la vora exterior d'un engranatge en un pla de disseny assistit per ordinador, l'equació general de la qual és $x^2+y^2-6x+8y=0$.

Escriu l'equació de la circumferència que delimita una rotonda, sabent que els extrems d'un dels seus diàmetres (on es situen dos passos de vianants oposats) corresponen als punts $(1, 2)$ i $(7, -6)$.

Determina si l'equació $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ representa matemàticament una circumferència vàlida en el motor físic d'un videojoc. Justifica la teva resposta calculant-ne el centre i el valor del radi al quadrat.

Escriu l'equació de la circumferència que descriu el xassís d'un robot aspirador de $15$ cm de radi quan es troba encaixat exactament a la cantonada d'una habitació. Considera que les parets coincideixen amb els semieixos positius de coordenades (quadrant I) i el robot és tangent a totes dues parets.

En Lucas ha de calcular el centre i el radi de la circumferència donada per l'equació general $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$. En el seu examen escriu el següent:

«El centre és $C(-6, 4)$ perquè són directament els coeficients que acompanyen la $x$ i la $y$. Per al radi, substitueixo a la fórmula i obtinc $r = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 - 12} = \sqrt{36 + 16 - 12} = \sqrt{40} \approx 6,32$».

Identifica i explica detalladament els dos errors conceptuals que ha comès en Lucas en deduir el centre i el radi a partir de l'equació general. A continuació, mostra el raonament correcte i calcula les coordenades exactes del centre $C$ i el valor exacte del radi $r$.

Es considera la família de corbes donada per l'equació $x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$, on $k$ és un nombre real.

1. a) Determina de manera raonada el valor que ha de prendre el paràmetre $k$ perquè l'equació representi una circumferència de radi exactament igual a $5$ unitats, i escriu la seva corresponent equació reduïda.
2. b) Justifica quina figura o objecte geomètric representa aquesta equació si es pren $k = 13$, i què passa si es tria qualsevol valor $k > 13$.

Troba l'equació de la circumferència que reconstrueix la vora d'un antic vas de ceràmica trobat en una excavació arqueològica. Els restauradors han mesurat tres punts intactes de la vora, que en un sistema d'eixos coordinats corresponen a $(0, 0)$, $(4, 0)$ i $(0, 3)$.

Estudia analíticament la posició relativa entre l'òrbita d'un satèl·lit artificial, modelitzada per la circumferència $x^2+y^2=4$, i la trajectòria rectilínia d'un asteroide donada per l'equació $y=x+2$. Determina els punts d'intersecció en cas que existeixin.

Calcula l'equació de la recta tangent a la trajectòria circular traçada per un llançador de martell en el moment exacte en què deixa anar el cable. La trajectòria del martell ve donada per la circumferència $x^2+y^2=25$ i l'atleta deixa anar el cable quan la bola passa pel punt $(3, 4)$.

Escriu l'equació de la circumferència que representa una politja l'eix de rotació de la qual està fixat al punt $(3, -2)$ i que està en contacte tangencial amb una corretja de transmissió la línia d'acció de la qual és la recta $4x-3y+2=0$.

Troba l'equació de l'eix radical de les dues circumferències que modelitzen l'àrea d'influència de dues antenes de ràdio: $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ i $x^2+y^2+6x-2y+6=0$.

Calcula la longitud de la superfície lliure de l'aigua dins d'una canonada circular d'equació $x^2+y^2=100$. Se sap que el nivell de l'aigua s'ha estabilitzat formant una corda horitzontal sobre la recta $y=6$.

Estudia la posició relativa entre els fronts d'ona generats per dues gotes quan cauen en un estany, modelitzats per les circumferències $C_1: x^2+y^2=9$ i $C_2: (x-4)^2+y^2=4$.

Determina l'equació de la circumferència que defineix el carril exterior d'una pista d'atletisme, sabent que és concèntrica a la circumferència del carril interior $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ i que passa per la posició de sortida situada a $(1, 1)$.

Un vaixell pesquer navega en línia recta seguint la trajectòria marcada per l'equació $3x + 4y - 24 = 0$ (amb les coordenades expressades en milles nàutiques). Una balisa marítima de Salvament Marítim emet un avís de temporal amb una àrea de cobertura circular delimitada per un radi de $r = 3,5$ milles nàutiques i amb centre al punt $C(1, 1)$.

1. a) Abans de calcular res, fes mentalment o mitjançant un esquema una estimació raonada: tenint en compte la posició del centre i els punts de tall de la recta amb els eixos cartesians, creus que el pesquer travessarà la zona d'avís, la tocarà de forma tangent o passarà de llarg sense entrar-hi? Justifica la teva conjectura.

1. b) Comprova analíticament la teva estimació calculant la distància del centre $C$ a la recta de la trajectòria i compara-la amb el radi per determinar de manera concloent la posició relativa. Explica per què, quan la distància i el radi són valors molt propers, una simple representació visual no n'hi ha prou i resulta imprescindible el càlcul algebraic.

El servei d'emergències 112 d'una comunitat autònoma avalua la cobertura de comunicacions davant d'incendis forestals mitjançant dues antenes repetidores. Al mapa de comandament (amb quadrícula graduada en desenes de quilòmetres, on $1$ unitat $= 10$ km), l'antena Nord se situa a $A(-3, 2)$ amb un radi de cobertura de $50$ km ($5$ unitats), i l'antena Sud a $B(5, -4)$ amb el mateix abast de $50$ km.

1. a) Modela algebraicament el límit de cobertura d'ambdues antenes escrivint les seves respectives equacions generals.
2. b) Estudia la posició relativa entre les dues àrees circulars de cobertura a partir de la distància entre els seus centres i dedueix si hi ha solapament territorial o si són tangents.
3. c) El lloc de comandament avançat s'ubica al poble de coordenades $P(1, -1)$. Determina si aquest poble disposa de cobertura d'alguna de les antenes, de totes dues o si queda incomunicat en una zona d'ombra, interpretant el resultat geomètric en el context de les emergències.

Troba les equacions de les dues rectes tangents traçades des d'un far situat al punt $(0, 4)$ cap a un dipòsit cilíndric de combustible la base del qual ocupa la regió delimitada per la circumferència $x^2+y^2=4$. Aquestes rectes representen els límits de les ombres projectades a terra.

Calcula l'equació de la circumferència que perfila l'estructura principal d'una sínia de fira. Se sap que l'eix central de rotació descansa sobre un pilar inclinat representat per la recta $x+y-4=0$ i que les cabines passen per les plataformes d'embarcament situades als punts $(2, 0)$ i $(0, 2)$.

En un experiment d'acústica, es busca el lloc geomètric de tots els punts del pla on el so emès per un altaveu situat a $A(6, 0)$ es percep amb la quarta part de la intensitat que el so emès per un altre altaveu idèntic a l'origen $O(0, 0)$. Això equival a trobar els punts $P(x, y)$ la distància dels quals al punt $A$ és el doble que la seva distància al punt $O$. Demostra que aquest lloc geomètric és una circumferència i troba'n el centre i el radi.

El disseny d'un nus viari exigeix traçar dues carreteres rectes que siguin tangents a una plaça circular central l'equació de la qual és $x^2+y^2-6x+8y=0$. A més, per motius de planificació urbana, aquestes carreteres han de ser paral·leles a una avinguda principal d'equació $3x-4y=0$. Troba les equacions de totes dues carreteres tangents.

Un dron fa una maniobra evasiva seguint una trajectòria rectilínia donada per la família de rectes $y=2x+k$. L'espai aeri restringit al voltant d'un radar es defineix mitjançant la circumferència $x^2+y^2=5$. Determina els valors del paràmetre $k$ per als quals el dron frega l'espai restringit sense arribar a penetrar-hi (és a dir, la recta és tangent a la circumferència).

Troba l'equació de la circumferència circumscrita al parc triangular delimitat per les avingudes les equacions de les quals són $x=0$, $y=0$ i $3x+4y-12=0$.

El sistema GPS d'un telèfon mòbil rep senyals de dues torres de telecomunicacions. La primera torre és a l'origen de coordenades i estima que el mòbil és a $5$ km de distància. La segona torre és al punt $(5, 0)$ i estima que el mòbil és a $4$ km de distància. Troba les coordenades exactes dels dos possibles punts on es podria trobar el telèfon mòbil calculant la intersecció de totes dues circumferències.

En un problema d'optimització de xarxes, es requereix trobar el lloc geomètric dels punts del pla tals que la suma dels quadrats de les seves distàncies a dos servidors fixos situats a $(-2, 0)$ i $(2, 0)$ sigui exactament igual a $20$. Demostra analíticament que la figura resultant és una circumferència i obtén-ne l'equació.

Per traçar les rectes tangents a la circumferència $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ des del punt exterior $P(6, 4)$, es poden plantejar dos mètodes analítics diferents:

• Mètode 1 (algebraic pur): Plantejar el feix de rectes que passa per $P$ mitjançant el seu pendent $m$, substituir $y$ a l'equació de la circumferència i imposar que el discriminant de l'equació de segon grau en $x$ sigui nul ($\Delta = 0$).

• Mètode 2 (mètric-geomètric): Expressar el feix de rectes en forma general $mx - y + (4 - 6m) = 0$ i imposar que la distància euclidiana des del centre de la circumferència a la recta coincideixi exactament amb el radi ($d(C, r) = R$).

1. a) Analitza els avantatges i inconvenients d'ambdós mètodes (càrrega de càlcul, risc d'operacions complexes i tractament d'una possible tangent vertical) i justifica quin és més eficient en aquest cas.
2. b) Resol el problema aplicant el mètode que has seleccionat com a òptim, troba les equacions de les dues rectes tangents i justifica per què cap de les tangents que parteixen de $P$ és una recta vertical.

En un projecte d'urbanisme es projecta una rotonda circular el centre de la qual s'ha d'emplaçar obligatòriament sobre l'eix d'una avinguda recta modelitzada per l'equació $r: x - 2y = 0$. A més, el límit exterior de la rotonda ha de ser tangent a una via de tramvia donada per la recta $s: 4x + 3y - 1 = 0$ i el seu traçat ha de passar per un monument històric ubicat al punt $A(2, 3)$.

1. a) Parametritza les coordenades del centre en funció d'una sola variable, planteja la igualtat entre la distància del centre al punt $A$ i la distància del centre a la recta $s$, i demostra raonadament que existeixen dues circumferències teòriques que satisfan totes les condicions donades, trobant els seus centres i els seus radis corresponents.
2. b) Des de la perspectiva de la viabilitat tècnica i les dimensions d'una rotonda en una trama urbana ordinària, justifica de manera crítica per què una de les dues solucions teòriques manca completament de sentit pràctic i s'ha de descartar. Per a la solució viable, escriu la seva equació general i calcula les coordenades exactes del punt de tangència amb la via del tramvia.