Exercicis: Forma polar i trigonomètrica d'un nombre complex

Expressa el nombre complex $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar i en forma trigonomètrica.

Atès el nombre complex en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina la seva expressió en forma binòmica.

Calcula el producte dels nombres complexos $z_1 = 2_{30^\circ}$ i $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expressa el resultat en forma polar.

Realitza la divisió dels nombres complexos $z_1 = 12_{150^\circ}$ i $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expressa el resultat final en forma trigonomètrica.

Aplica la fórmula de Moivre per calcular la quarta potència del nombre complex $z = 2_{20^\circ}$. Expressa el resultat en forma polar.

Troba el conjugat i l'oposat del nombre complex $z = 6_{45^\circ}$. Expressa tots dos resultats en forma polar amb arguments positius compresos entre $0^\circ$ i $360^\circ$.

Calcula les arrels quadrades del nombre complex $z = 9_{80^\circ}$ i expressa els resultats en forma polar.

Observa la representació al pla complex del vector que defineix $z$. Determina el seu mòdul i el seu argument, i escriu la seva expressió en forma polar i trigonomètrica.

En Marcos ha de passar el nombre complex $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ a forma polar. Al seu examen escriu:

«$r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

$\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -60^\circ = 300^\circ$.

Per tant, $z = 4_{300^\circ}$».

Identifica l'error conceptual que ha comès en Marcos en determinar l'argument, explica analitzant els signes de la part real i de la part imaginària en quin quadrant s'ha de situar l'afix de $z$ i escriu la forma polar correcta amb el seu argument principal en l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$.

Es busca un nombre complex $z$ l'afix del qual se situa en el quart quadrant i la distància del qual a l'origen de coordenades és igual a $6$. Es sap que el seu conjugat, $\bar{z}$, compleix que la seva part real és exactament la meitat del seu mòdul ($a = r/2$). Determina raonadament l'argument de $\bar{z}$, dedueix la forma polar de $z$ amb el seu argument en l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$ i troba la forma binòmica exacta del seu oposat, $-z$.

En un circuit de corrent altern, el voltatge es representa mitjançant el nombre complex $V = 220_{30^\circ}$ i la impedància mitjançant $Z = 10_{-15^\circ}$. La llei d'Ohm per a corrent altern estableix que la intensitat és $I = \frac{V}{Z}$. Calcula la intensitat $I$ en forma polar i expressa-la posteriorment en forma binòmica.

En el desenvolupament d'un videojoc 2D, la posició d'un personatge ve donada per l'afix del nombre complex $z = 4 - 4i$. El motor gràfic aplica una rotació de $60^\circ$ en sentit antihorari multiplicant la seva posició pel complex $w = 1_{60^\circ}$. Determina la nova posició del personatge en forma binòmica.

Troba les tres arrels cúbiques del nombre complex $z = 8i$. Expressa els resultats en forma polar i justifica geomètriquement la figura que formen els seus afixos al pla complex.

Calcula el valor de l'expressió $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Per fer-ho, converteix prèviament el numerador i el denominador a forma polar.

En un experiment d'òptica, el desfase entre dues ones de llum es modelitza multiplicant les seves representacions complexes. Si la primera ona és $z_1 = 3_{45^\circ}$ i la segona és $z_2 = 2_{135^\circ}$, troba en forma trigonomètrica el resultat de $z_1 \cdot z_2^2$.

Troba l'invers del nombre complex $z = 4_{210^\circ}$ i expressa'l en forma binòmica. Comprova que el producte de $z$ pel seu invers dona com a resultat la unitat real.

Resol l'equació $z^4 + 81 = 0$ utilitzant la forma polar dels nombres complexos. Expressa les quatre solucions obtingudes en forma binòmica.

Determina el valor d'$a \in \mathbb{R}$ perquè l'argument del nombre complex $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ sigui de $45^\circ$.

Considera el nombre complex $z = -3\sqrt{2} - \sqrt{6}i$.

1. a) Abans de calcular: sabent que $\sqrt{2} \approx 1,41$ i $\sqrt{6} \approx 2,45$, estima raonadament el quadrant en el qual es troba el seu afix. Compara el valor absolut de la part real ($|a| \approx 4,24$) respecte al de la part imaginària ($|b| \approx 2,45$): l'argument principal estarà més a prop de $180^\circ$ o de $270^\circ$? Proporciona una estimació del seu argument (amb un marge de $\pm 10^\circ$) i una aproximació del seu mòdul.
2. b) Calcula algebraicament el valor exacte del mòdul $r$ i de l'argument principal $\alpha$ de $z$. Escriu $z$ en forma polar i en forma trigonomètrica, i contrasta el resultat exacte amb les estimacions realitzades a l'apartat anterior, justificant si el càlcul és coherent amb la posició geomètrica de l'afix.

Per calcular la forma binòmica de l'oposat del conjugat del nombre complex $z = 4_{150^\circ}$, és a dir, $-\bar{z}$, dos estudiants debaten sobre quina estratègia és més convenient:

• Mètode 1 (via binòmica): convertir primer $z = 4_{150^\circ}$ a forma binòmica fent servir $a = r\cos\alpha$ i $b = r\sin\alpha$, calcular després el seu conjugat $\bar{z} = a - bi$, i finalment canviar el signe d'ambdues components per obtenir $-\bar{z}$.

• Mètode 2 (via polar): calcular directament l'argument de $-\bar{z}$ utilitzant les propietats de l'argument del conjugat ($\arg(\bar{z}) = -\alpha$) i de l'oposat ($\arg(-w) = \arg(w) + 180^\circ$), simplificar l'angle resultant en $[0^\circ, 360^\circ)$ sabent que el mòdul no varia, i passar únicament a forma binòmica el resultat final.

Aplica tots dos mètodes pas a pas per trobar $-\bar{z}$ en forma binòmica i argumenta quin dels dos camins minimitza el risc de cometre errors de càlcul amb els signes i les raons trigonomètriques.

Els vèrtexs d'un hexàgon regular centrat a l'origen del pla complex corresponen a les arrels sisenes d'un nombre complex $W$. Si un dels vèrtexs de l'hexàgon és l'afix del nombre $z_1 = 2_{30^\circ}$, determina el valor del nombre complex $W$ en forma binòmica i calcula l'àrea exacta de l'hexàgon.

Un braç robòtic articulat consta de dos segments. El primer segment es representa al pla complex pel vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segon segment, $z_2$, té una longitud de $3$ unitats i està rotat $45^\circ$ en sentit antihorari respecte de la direcció de $z_1$. Calcula la posició final de l'extrem del braç robòtic (és a dir, $z_1 + z_2$) en forma binòmica, arrodonint a dos decimals.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Utilitza la fórmula de Moivre per desenvolupar l'expressió $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualtat entre les parts reals i imaginàries, dedueix les identitats trigonomètriques per a $\cos(3\alpha)$ i $\sin(3\alpha)$ en funció de $\cos \alpha$ i $\sin \alpha$.

Troba tots els nombres complexos $z$ que satisfan l'equació $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expressa les solucions en forma polar. (Pista: fes un canvi de variable).

Troba dos nombres complexos $z_1$ i $z_2$ sabent que el seu quocient és $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ i que el seu producte és $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Expressa tots dos nombres en forma polar.

Cinc forces coplanàries de la mateixa magnitud $F = 10\text{ N}$ s'apliquen sobre un punt material situat a l'origen. Les direccions d'aquestes forces corresponen als afixos de les arrels cinquenes del nombre complex $z = 100000_{0^\circ}$. Demostra matemàticament, utilitzant les propietats dels nombres complexos en forma polar, que la força resultant és nul·la.

Calcula el perímetre del polígon format pels afixos de les solucions de l'equació $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ al pla complex.

Sigui el nombre complex $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demostra que $z^3 = 1$ i, a continuació, calcula el valor de l'expressió $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.

Una boia oceanogràfica de Puertos del Estado fondejada davant de la costa gallega registra l'acció combinada del vent i del corrent marí per als models de predicció d'AEMET. La força sobre el sensor es modelitza en el pla complex, on el semieix real positiu apunta cap a l'Est i el semieix imaginari positiu apunta cap al Nord (les forces s'expressen en quilonewtons, $\text{kN}$).

El sensor detecta una força deguda al corrent de $F_1 = 3\sqrt{3} - 3i\text{ kN}$. Simultàniament, una ràfega de vent introdueix una segona força $F_2$ el mòdul de la qual és de $6\text{ kN}$ i l'afix de la qual forma un angle de $150^\circ$ en sentit antihorari respecte al vector del corrent $F_1$.

1. a) Determina el mòdul i l'argument principal de $F_1$ per expressar aquesta força en forma polar i indica en quin quadrant geogràfic actua el corrent marí.
2. b) Dedueix la forma polar de la força del vent $F_2$ en el sistema general del pla complex i troba la seva expressió en forma binòmica exacta.
3. c) Calcula la força neta $F_{\text{total}} = F_1 + F_2$ en forma binòmica, expressa-la en forma polar i interpreta físicament el resultat: amb quina intensitat total i en quina direcció geogràfica neta empeny l'aigua a la boia?

Es consideren dos nombres complexos no nuls, $z_1 = r_\alpha$ i $z_2 = s_\beta$, amb arguments principals expressats en l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$. Es disposa de la informació següent sobre ells:

1. El producte dels seus mòduls és $r \cdot s = 12$ i el quocient dels seus mòduls $r / s$ és igual a $3$.

2. El quocient $z_1 / z_2$ és un nombre imaginari pur amb part imaginària estrictament negativa.

3. L'afix de l'oposat de $z_2$, és a dir, $-z_2$, se situa sobre la bisectriu del quart quadrant.

1. a) A partir de les propietats del mòdul i de la posició geomètrica de l'oposat, determina el valor exacte del mòdul $s$ i de l'argument $\beta$ de $z_2$.
2. b) Utilitzant la condició sobre el quocient $z_1 / z_2$, determina el mòdul $r$ i tots els possibles arguments principals $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ de $z_1$.
3. c) Escriu les solucions trobades per a $z_1$ i $z_2$ en forma trigonomètrica exacta i comprova analíticament que el quocient $z_1 / z_2$ compleix totes les condicions imposades.