Exercicis: Operacions amb complexos en forma polar

Atesos els nombres complexos $z_1 = 4_{30^\circ}$ i $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcula el seu producte $z_1 \cdot z_2$ expressant el resultat en forma polar.

Calcula el quocient $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ i expressa el resultat en forma polar.

Utilitzant la fórmula de Moivre, calcula la potència $(2_{40^\circ})^3$ i expressa el resultat en forma polar.

Troba l'invers del nombre complex $z = 5_{120^\circ}$ expressant el resultat final en forma polar.

Un vaixell navega en la direcció i distància indicades pel vector associat al nombre complex $z = 10_{30^\circ}$. Per motius climàtics, el capità decideix fer un gir de $90^\circ$ en sentit antihorari mantenint la mateixa distància. Per quin nombre complex en forma polar ha de multiplicar $z$ per obtenir la seva nova trajectòria, i quina és la posició final?

Calcula les dues arrels quadrades del nombre complex $16_{120^\circ}$ i expressa els resultats en forma polar.

Realitza l'operació combinada següent i expressa el resultat en forma polar:

Donat el nombre complex $z = 3_{50^\circ}$, expressa el seu conjugat $\bar{z}$ i el seu oposat $-z$ en forma polar.

Carmen està resolent un exercici de potències de nombres complexos en forma polar i escriu al seu quadern el següent desenvolupament: $(2_{30^\circ})^5 = (2 \cdot 5)_{30^\circ \cdot 5} = 10_{150^\circ}$.

1. a) Localitza i explica de manera raonada l'error conceptual comès per Carmen en calcular el mòdul. Justifica geomètricament per què a la fórmula de Moivre el mòdul s'eleva a la potència i no es multiplica per l'exponent.
2. b) Corregeix el càlcul escrivint el resultat correcte en forma polar.
3. c) Passa el resultat correcte a forma binòmica i indica en quin quadrant del pla complex se situa el seu afix.

Donats els nombres complexos $z_1 = 4_{45^\circ}$ i $z_2 = 2_{120^\circ}$:

1. a) Abans de calcular, fes una estimació raonada: en quin quadrant del pla complex es trobarà el producte $z_1 \cdot z_2$? La seva distància a l'origen serà més gran o més petita que la de $z_1$? Raona de manera similar per al quocient $\dfrac{z_1}{z_2}$.
2. b) Comprova les teves estimacions calculant de manera exacta el producte $z_1 \cdot z_2$ i el quocient $\dfrac{z_1}{z_2}$ en forma polar, reduint els arguments a l'interval $[0^\circ, 360^\circ)$.
3. c) A partir del resultat del quocient, calcula el seu invers $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^{-1}$ en forma polar i comprova si el seu mòdul és $0,5$ i si el seu argument coincideix amb el que obtindries en calcular directament $\dfrac{z_2}{z_1}$.

Resol l'equació $z^4 + 81 = 0$ en el conjunt dels nombres complexos. Expressa les solucions en forma polar i representa-les gràficament en el pla complex (eix real horitzontal i eix imaginari vertical).

En un circuit de corrent altern, la impedància total $Z_T$ de dos components connectats en paral·lel es calcula mitjançant la fórmula $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Si les impedàncies dels components són $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ i $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, troba la impedància total $Z_T$ en forma polar. Pista: passa a forma binòmica per fer la suma.

Resol l'equació $z^3 = -8i$. Passa primer el nombre $-8i$ a forma polar abans de calcular les arrels i expressa els resultats finals tant en forma polar com en forma binòmica.

Calcula el valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Per a fer-ho, transforma primer la base a forma polar, aplica la fórmula de Moivre i retorna el resultat final en forma binòmica.

Determina el nombre enter positiu més petit $n$ perquè el resultat de $(\sqrt{3} + i)^n$ sigui un nombre real negatiu.

Un dron d'exploració submarina surt de l'origen i es desplaça en línia recta fins al punt corresponent a l'afix del nombre complex $z_1 = 2_{45^\circ}$ (en quilòmetres). A continuació, el centre de control li envia una instrucció que equival a multiplicar la seva posició actual pel complex $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calcula les coordenades polars de la seva posició final i explica quina transformació geomètrica ha sofert respecte al seu vector de posició inicial.

Troba l'àrea del triangle els vèrtexs del qual són els afixos de les arrels cúbiques del nombre complex $z = 64_{90^\circ}$.

Efectua l'operació següent amb nombres complexos expressant el resultat final en forma polar:

Per calcular la potència $(-\sqrt{3} + i)^6$, dos estudiants de 1r de Batxillerat proposen camins diferents:

• Mateo proposa desenvolupar-lo directament mitjançant el binomi de Newton: $\sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (-\sqrt{3})^{6-k} i^k$.

• Sofía proposa transformar la base a forma polar, aplicar la fórmula de Moivre i expressar el resultat final en forma binòmica.

1. a) Compara raonadament ambdós mètodes analitzant el nombre de termes a calcular i la probabilitat de cometre errors de càlcul (signes, potències de $i$, coeficients combinatoris).
2. b) Justifica quin és el mètode òptim i executa'l pas a pas per trobar el resultat final exacte en forma polar i en forma binòmica.
3. c) Si l'exponent fos $2$ en comptes de $6$, continuaria sent el mètode de Sofía clarament superior? Justifica la teva resposta comparant l'esforç algebraic en aquest cas.

En un parc eòlic situat a Albacete, un aerogenerador té tres pales de $60\text{ m}$ de longitud disposades simètricament al voltant de la boixa central amb un desfasament angular de $120^\circ$ entre si. Situem l'origen de coordenades al centre del rotor i l'angle $0^\circ$ en l'horitzontal dreta.

En un instant inicial, l'extrem de la pala 1 es localitza en la posició $z_1 = 60_{40^\circ}$ (en metres).

1. a) Modela la posició dels extrems de les pales 2 i 3 ($z_2$ i $z_3$) en forma polar en aquest instant, explicant quina operació amb complexos en forma polar permet passar d'una pala a la següent.
2. b) Una ràfega de vent constant fa girar el rotor $85^\circ$ en sentit antihorari. Modela aquest gir mitjançant la multiplicació per un nombre complex unitari i calcula la nova posició en forma polar de cadascuna de les tres pales.
3. c) Després del gir, determina raonadament quina de les tres pales es troba a més alçada respecte a terra (més coordenada vertical) i calcula aquesta alçada respecte a l'eix del rotor emprant la forma trigonomètrica.

Un radar de trànsit aeri detecta tres avions que formen un triangle equilàter centrat en la torre de control (situada en l'origen de coordenades). Si un dels avions es troba en la posició descrita pel nombre complex $z_1 = 4 + 4\sqrt{3}i$ (en quilòmetres), determina la posició dels altres dos avions en forma polar i calcula la distància en línia recta que separa dos avions qualssevol.

Utilitza la fórmula de Moivre per desenvolupar la potència $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir del resultat, igualant les parts reals i imaginàries, demostra les identitats trigonomètriques de l'angle triple:

• $\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$

• $\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$

Resol l'equació $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Expressa les quatre solucions de $z$ en forma binòmica.

En el disseny del programari d'un braç robòtic, la posició final de l'efector es calcula aplicant una rotació i un escalat a la seva posició inicial $z_0 = 5_{20^\circ}$. Aquesta transformació equival a multiplicar $z_0$ per l'arrel cúbica del nombre complex $W = 27_{150^\circ}$ que té el seu argument en el primer quadrant. Determina la posició final de l'efector en forma polar i l'angle total de rotació aplicat respecte a la posició inicial.

Troba dos nombres complexos $z_1$ i $z_2$ en forma polar sabent que compleixen simultàniament les condicions següents:

• El seu quocient $\frac{z_1}{z_2}$ és igual a $2_{150^\circ}$

• El seu producte $z_1 \cdot z_2$ és igual a $18_{90^\circ}$

Calcula la suma de les sis arrels sisenes de la unitat ($z^6 = 1$). Justifica la teva resposta de dues formes diferents: algebraicament (utilitzant la suma d'una progressió geomètrica o les propietats de les arrels) i geomètricament (interpretant els afixos com a vectors).

Un sistema d'encriptació genera claus basades en les coordenades dels afixos de les solucions de l'equació $z^5 + 32 = 0$. Calcula totes les solucions en forma polar i determina el perímetre del polígon regular que formen.

Determina tots els nombres complexos $z$ expressats en forma polar que compleixen l'equació $z^3 = (\bar{z})^2$, on $\bar{z}$ és el conjugat de $z$.

Les solucions d'una equació binòmia de la forma $z^n = w$ ($n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$, $w \in \mathbb{C}$) determinen en el pla complex els vèrtexs d'un polígon regular centrat a l'origen de coordenades.

Es coneixen les següents tres condicions sobre aquest conjunt de solucions:

1. Una de les solucions és el nombre complex $z_1 = \sqrt{3} + i$.

2. Una altra de les solucions es troba exactament sobre el semieix imaginari positiu (el seu argument és $90^\circ$).

3. El polígon regular té el menor nombre de costats possible ($n$) que compleix simultàniament les dues condicions anteriors.

1. a) Escriu $z_1$ en forma polar i dedueix algebraicament el menor valor enter de $n$ compatible amb el fet que una de les solucions tingui argument $90^\circ$.
2. b) Troba el valor exacte del nombre complex $w$ tant en forma polar com en forma binòmica.
3. c) Escriu en forma polar totes les solucions de l'equació $z^n = w$, calculant el pas angular entre vèrtexs consecutius i comprovant que $z_1$ i la solució sobre el semieix imaginari formen part de la llista.

Considera el nombre complex $w = \dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$.

1. a) Abans d'operar analíticament, fes una estimació raonada:

• Compara els mòduls del numerador i del denominador. A partir d'aquesta comparació, dedueix si els afixos de les potències successives $w, w^2, w^3, \ldots, w^n$ formaran una espiral que s'allunya de l'origen, una que convergeix a l'origen o si es mantindran sobre una circumferència fixa.

• Analitza els arguments del numerador i del denominador per estimar si és possible que existeixi una potència $w^n$ (amb $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$) el resultat de la qual sigui un nombre real estrictament positiu. Esperes que el menor $n$ amb aquesta propietat sigui un valor petit o un múltiple notable?

1. b) Comprova les teves estimacions:

• Passa el numerador i el denominador a forma polar i obtén l'expressió exacta de $w$ en forma polar.

• Aplica la fórmula de Moivre per determinar de manera exacta el menor enter positiu $n$ tal que $w^n$ sigui un nombre real positiu, plantejant i resolent la condició sobre l'argument.

1. c) Per a aquest valor mínim de $n$, calcula el valor exacte de $w^n$ i del seu invers $(w^n)^{-1}$ en forma polar i binòmica, i avalua si el mòdul obtingut confirma la teva conjectura inicial sobre l'allunyament respecte a l'origen.

Repte del tema. Dissenya un informe tècnic sobre la resposta d'una instal·lació elèctrica connectada a la xarxa a partir de dades reals:

1. Consulta al web de REE (Red Eléctrica de España) la demanda del sistema peninsular en temps real (en GW) i pren les dues primeres xifres enteres com a valor $k$ (per exemple, si marca $27{,}4$ GW, $k = 27$).

2. Modela la resposta del circuit amb el polinomi de potència $P(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{k}{2}x^2 + 50x$. Troba la derivada $P'(x)$, calcula la més gran de les freqüències crítiques positives resolent $P'(x) = 0$ i arrodoneix a dos decimals el seu valor, al qual anomenaràs $\omega$.

3. Defineix la impedància del circuit en forma binòmica com a $Z = 4 + \omega i$ (en $\Omega$) i un corrent de consum $I = 3 - 2i$ (en A). Opera en binòmica per determinar el voltatge complex $V = Z \cdot I$.

4. Passa $Z$ i $I$ a forma polar ($r_\alpha$). Fes el producte en polar per recalcular $V$, comprova que tots dos resultats coincideixen i representa a GeoGebra els tres afixos vectorials analitzant el desfasament angular entre corrent i voltatge.

Lliura un informe breu d'una pàgina amb els càlculs manuscrits i la captura de GeoGebra.

Es valorarà:

• Extracció rigorosa de la dada de REE i resolució algebraica correcta de la derivada $P'(x)$.

• Domini i equivalència en les operacions complexes tant en forma binòmica com polar.

• Construcció gràfica a GeoGebra i interpretació física coherent del desfasament.