Exercicis: Operacions amb complexos en forma binòmica

Realitza les operacions de suma i resta següents amb nombres complexos: atesos $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ i $z_3 = 5i$, calcula en forma binòmica el resultat de l'expressió $z_1 - z_2 + z_3$.

Multiplica els nombres complexos següents expressats en forma binòmica i simplifica el resultat agrupant la part real i la part imaginària: $(2 + 5i)(-3 + i)$.

Efectua la divisió següent de nombres complexos multiplicant el numerador i el denominador pel conjugat del denominador. Expressa el resultat final en la forma $a + bi$:

$\frac{4 - 3i}{1 + 2i}$

Simplifica les potències següents de la unitat imaginària $i$ aplicant la periodicitat dels seus valors:

• $i^{45}$

• $i^{102}$

• $i^{2024}$

• $i^{-13}$

Atès el nombre complex $z = -7 + 8i$, determina el seu conjugat $\bar{z}$ i el seu oposat $-z$. A continuació, efectua l'operació $z + \bar{z}$ i comprova algebraicament que el resultat és un nombre real.

Resol la següent equació de segon grau en el conjunt dels nombres complexos $\mathbb{C}$ i expressa les seves dues solucions:

$x^2 + 25 = 0$

Determina els valors dels nombres reals $x$ i $y$ perquè es compleixi la igualtat següent entre nombres complexos:

$(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$

Calcula el valor numèric del polinomi $P(z) = z^2 - 4z + 5$ quan s'avalua en el nombre complex $z = 2 + i$.

Lucas intenta simplificar la fracció de nombres complexos $\dfrac{5+2i}{2-i}$ per expressar-la en forma binòmica. En el seu examen escriu el procediment següent:

1. a) Localitza raonadament l'error conceptual comès per Lucas en el denominador i explica per què el seu càlcul de $(2-i)(2+i)$ contradiu la regla de multiplicar pel conjugat.
2. b) Resol l'operació de manera correcta i expressa el resultat final en la forma binòmica $a + bi$.

Es vol construir un polinomi de segon grau $P(x) = x^2 + bx + c$ amb coeficients reals ($b, c \in \mathbb{R}$) tal que una de les seves arrels sigui el nombre complex $z_1 = 2 - 3i$.

1. a) Justifica, sense fer operacions algebraiques, quina ha de ser necessàriament la segona arrel $z_2$ d'aquest polinomi recolzant-te en les propietats explicades sobre les equacions amb coeficients reals.
2. b) Obtén els valors exactes dels coeficients $b$ i $c$ desenvolupant el producte de factors $(x - z_1)(x - z_2)$ en forma binòmica i substituint $i^2 = -1$.

En un circuit elèctric de corrent altern, dos components es connecten en paral·lel. Les seves impedàncies complexes vénen donades per $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ i $Z_2 = 2 - i \ \Omega$. Calcula la impedància equivalent del circuit, expressada en forma binòmica, utilitzant la fórmula física:

$Z_{eq} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$

Determina el valor del paràmetre real $k$ perquè el resultat del quocient següent sigui un nombre real pur (és a dir, la seva part imaginària sigui nul·la):

$\frac{k + 2i}{3 - 4i}$

En el desenvolupament d'un videojoc 2D, la posició d'un personatge al pla es representa mitjançant el nombre complex $z = 5 + 2i$. Per aplicar una rotació de $90^\circ$ en sentit antihorari respecte de l'origen i, posteriorment, una traslació definida pel vector $(-1, 3)$, el motor gràfic realitza l'operació $z' = z \cdot i + (-1 + 3i)$. Calcula la nova posició $z'$ del personatge.

Desenvolupa i simplifica l'expressió $(1 - i)^4$ operant exclusivament en forma binòmica. Pots utilitzar el desenvolupament del binomi de Newton o aplicar propietats de les potències $( (1-i)^2 )^2$.

En l'estudi del flux de fluids ideals al voltant d'un obstacle cilíndric, la funció de potencial complex ve donada per l'expressió $W(z) = V \cdot z + \frac{m}{z}$. Sabent que la velocitat del fluid és $V = 2$ i el paràmetre $m = 8$, avalua el potencial en el punt $z = 2 + 2i$. Expressa el resultat final $W(2+2i)$ en la forma $a + bi$.

Efectua les operacions combinades indicades a continuació, respectant-ne la jerarquia, i expressa el resultat final en forma binòmica:

$\frac{(3 - i)(1 + 2i)}{2 + i} - (1 - 3i)$

Troba el valor del nombre real $x$ perquè el producte dels nombres complexos $(x - 3i)$ i $(2 + 5i)$ doni com a resultat un nombre imaginari pur (és a dir, amb part real igual a zero).

En un model matemàtic simplificat de mecànica quàntica, l'estat d'una partícula es descriu mitjançant l'amplitud de probabilitat $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$. Comprova si aquest estat compleix la condició de normalització, la qual requereix que el producte del nombre complex pel seu conjugat sigui exactament la unitat ($\psi \cdot \bar{\psi} = 1$).

Per calcular en forma binòmica l'invers del nombre complex $z = \dfrac{1+2i}{3-i}$, dos companys de classe proposen vies diferents:

• Alejandro proposa calcular primer la divisió $\dfrac{1+2i}{3-i}$ multiplicant pel conjugat del denominador i, un cop obtingut el resultat $A + Bi$, calcular el seu invers com a $\dfrac{1}{A+Bi}$ multiplicant de nou pel seu conjugat.

• Berta proposa invertir primer algebraicament la fracció, escrivint $z^{-1} = \dfrac{3-i}{1+2i}$, i resoldre a continuació una única divisió multiplicant pel conjugat d'aquest nou denominador.

1. a) Compara tots dos camins: justifica si tots dos són vàlids matemàticament i quin d'ells minimitza les operacions aritmètiques i el risc d'error.
2. b) Aplica el mètode triat per calcular $z^{-1}$ i expressa el resultat en la forma $a + bi$.

Considera la multiplicació dels nombres complexos $z_1 = 5 + 0,2i$ i $z_2 = 4 - 0,1i$.

1. a) Abans d'operar de manera exacta, estima raonadament el valor aproximat de la part real i de la part imaginària de $z_1 \cdot z_2$. Justifica la teva estimació analitzant quins dels quatre termes del producte distributiu $(ac - bd) + (ad + bc)i$ tindran un impacte significatiu i quins resultaran gairebé menyspreables.
2. b) Fes la multiplicació completa en forma binòmica substituint $i^2 = -1$.
3. c) Compara el valor exacte amb la teva estimació inicial, calcula la diferència en la part real i raona en quines situacions pràctiques (com ara càlculs amb toleràncies de mesura) pot ser admissible prescindir del terme $-bd$.

Resol el sistema d'equacions lineals següent on les incògnites $z$ i $w$ són nombres complexos. Expressa totes dues solucions en forma binòmica:

$\begin{cases} (1+i)z - w = 2 + i \\ 2z + (1-i)w = 3 - i \end{cases}$

Troba els nombres complexos $z = x + yi$ que són arrels quadrades del nombre complex $-5 + 12i$. Per fer-ho, planteja l'equació $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, iguala les parts reals i les parts imaginàries per formar un sistema d'equacions no lineal, i resol-lo a $\mathbb{R}$.

Determina el lloc geomètric dels afixos dels nombres complexos $z = x + yi$ tals que l'expressió $\frac{z - 2}{z + i}$ sigui un nombre imaginari pur (és a dir, amb part real nul·la i part imaginària diferent de zero).

1. a) Obtén l'equació del lloc geomètric en funció de $x$ i $y$.

1. b) Identifica la corba: indica el seu centre i el seu radi.

1. c) Indica quins punts d'aquesta corba cal excloure i per què.

Demostra algebraicament, definint els nombres complexos en forma binòmica com a $z = a + bi$ i $w = c + di$, que el conjugat del producte de dos nombres complexos és idèntic al producte dels seus conjugats respectius. És a dir, prova pas a pas que $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$.

En teoria de control de sistemes dinàmics, un sistema es considera estable si totes les arrels del seu polinomi característic tenen part real negativa. Donada l'equació característica $z^3 - 4z^2 + 6z - 4 = 0$:

1. Comprova substituint algebraicament si $z_1 = 1 + i$ és una solució de l'equació.

2. Sabent que els polinomis amb coeficients reals tenen arrels complexes conjugades, troba les altres dues solucions de l'equació.

3. Conclou si el sistema descrit és estable o inestable.

Troba tots els nombres complexos $z$ que satisfan l'equació no lineal $z^2 + 3\bar{z} = 0$. Considera $z = x + yi$ i resol el sistema resultant analitzant els diferents casos possibles per a $x$ i $y$.

En un algorisme de generació de fractals, la posició de cada nou node al pla complex es calcula a partir de la suma de potències consecutives. Calcula la posició del node que ve donada per la suma dels 10 primers termes de la progressió geomètrica:

$S = \sum_{k=0}^{9} (1+i)^k$

Aplica la fórmula de la suma dels termes d'una progressió geomètrica i expressa el resultat final en forma binòmica.

En l'estudi dels fractals i el conjunt de Mandelbrot, s'analitza el comportament de la successió iterativa definida per $z_{n+1} = z_n^2 + c$, partint de la condició inicial $z_0 = 0$. Per a la constant meitada $c = -1 + i$:

1. Calcula els termes $z_1$, $z_2$ i $z_3$ operant en forma binòmica.

2. Determina el mòdul $|z_3|$ i comprova si supera el valor llindar d'escapament (és a dir, si $|z_3| > 2$).

En un projecte d'enginyeria industrial en una planta fotovoltaica de Sevilla, es connecten dues branques en paral·lel la impedància equivalent de les quals ve donada per $Z_p = \dfrac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$. La primera branca presenta una impedància $Z_1 = 3 + i\ \Omega$, mentre que la segona branca té una impedància $Z_2 = R - 2i\ \Omega$, on $R > 0$ és una resistència òhmica ajustable en ohms.

Els tècnics necessiten ajustar $R$ perquè el circuit entri en ressonància paral·lela, cosa que significa que la impedància global $Z_p$ ha de ser un nombre real pur (la seva part imaginària ha de ser nul·la), evitant desfasaments entre la tensió i el corrent.

1. a) Desenvolupa l'expressió de $Z_p$ en forma binòmica en funció del paràmetre $R$, multiplicant numerador i denominador pel conjugat adequat.
2. b) Iguala a zero la part imaginària obtinguda per calcular el valor exacte de la resistència $R$ que s'ha de seleccionar.
3. c) Amb aquest valor de $R$, troba el valor final de la resistència equivalent $Z_p$ del circuit.

Una alumna sosté a classe la següent afirmació: «Com que per a qualsevol equació quadràtica amb solucions complexes aquestes venen en parelles conjugades, llavors en l'equació $x^2 - (3+i)x + (4+3i) = 0$, sabent que una solució és $x_1 = 1+2i$, l'altra solució ha de ser obligatòriament la seva conjugada $x_2 = 1-2i$».

1. a) Comprova mitjançant substitució directa i operacions en forma binòmica si $x_1 = 1+2i$ i la seva suposada conjugada $1-2i$ satisfan l'equació quadràtica donada.
2. b) Explica l'error de raonament de l'alumna: quina condició indispensable indicada als apunts incompleix aquesta equació perquè no s'apliqui la propietat de les arrels conjugades?
3. c) Utilitzant les relacions entre coeficients i arrels per a la suma ($x_1 + x_2 = 3+i$), calcula la vertadera segona arrel $x_2$ en forma binòmica i comprova que el producte $x_1 \cdot x_2$ coincideix amb el terme independent $4+3i$.