Exercicis: Operacions amb fraccions algebraiques

Simplifica al màxim la següent fracció algebraica factoritzant el numerador i el denominador:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

Realitza la següent multiplicació de fraccions algebraiques i expressa el resultat en la seva forma més simple:

$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$

Calcula la divisió de les següents fraccions algebraiques i simplifica el resultat obtingut:

$\frac{x^2 + 2x}{x - 3} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$

Efectua la suma de les següents fraccions algebraiques que tenen el mateix denominador:

$\frac{3x - 1}{x^2 + 1} + \frac{x + 5}{x^2 + 1}$

Resta les següents fraccions algebraiques reduint prèviament a comú denominador:

$\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x^2 - 4}$

Realitza la següent suma de fraccions algebraiques amb denominadors de grau u:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+3}$

Opera l'expressió dins del parèntesi i després multiplica per simplificar el resultat final:

$\frac{x^2 - x}{x+1} \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} \right)$

Efectua la següent operació combinada de fraccions algebraiques i simplifica al màxim:

$\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$

La Lucía ha de simplificar en un examen la fracció algebraica $\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 16}$. El seu desenvolupament ha estat el següent: «Com que apareix $x^2$ tant al numerador com al denominador, cancel·lo ambdós termes i em queda $\frac{-4x}{-16}$, que en simplificar els signes negatius i dividir entre $4$ resulta $\frac{x}{4}$».

1. a) Explica detalladament quin error conceptual comet la Lucía respecte a la propietat fonamental de simplificació de fraccions algebraiques (cancel·lació de sumands enfront de cancel·lació de factors).
2. b) Tria un valor numèric concret per a $x$ (per exemple, $x = 5$) que serveixi de contraexemple per demostrar que la fracció original i el resultat obtingut per la Lucía no prenen el mateix valor.
3. c) Fes la simplificació correcta factoritzant prèviament per complet el numerador i el denominador.

Troba un polinomi $P(x)$ de segon grau que faci certa la següent igualtat d'operacions amb fraccions algebraiques:

1. a) Planteja la divisió com una multiplicació per la fracció inversa i dedueix l'expressió factoritzada de $P(x)$ després de simplificar els factors comuns.
2. b) Escriu el polinomi $P(x)$ en la seva forma polinòmica desenvolupada ($a \cdot x^2 + b \cdot x + c$).
3. c) Assenyala justificadament quins valors reals de $x$ s'han d'excloure del domini perquè cap de les fraccions ni divisions intermèdies quedi indefinida (denominadors nuls).

En un circuit elèctric, dues resistències $R_1$ i $R_2$ estan connectades en paral·lel. La resistència equivalent $R_{eq}$ compleix la relació $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Si el valor de les resistències ve donat pels polinomis $R_1 = x^2 - 4$ i $R_2 = x^2 + 4x + 4$, obtén l'expressió simplificada de la resistència equivalent $R_{eq}$ en funció de $x$.

La base d'un panell solar rectangular ve donada per l'expressió $b = \frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}$ metres, i la seva altura per $h = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$ metres. Calcula l'àrea del panell solar expressant el resultat com una única fracció algebraica simplificada.

Realitza les següents operacions combinades respectant la jerarquia i simplifica el resultat al màxim:

$\left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right) : \frac{4x}{x^2 - 1}$

La fórmula de les lents primes en òptica estableix que $\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Si la distància de l'objecte al centre òptic és $s_o = \frac{x^2+x}{2}$ i la distància de la imatge és $s_i = \frac{x^2-1}{3}$, determina l'expressió algebraica simplificada de la distància focal $f$.

Dues impressores 3D industrials fabriquen un lot de peces treballant en equip. La primera impressora triga $x$ hores a completar el treball sola, i la segona triga $x+3$ hores. La porció del treball que fan juntes en una hora és la suma de les seves taxes de treball individuals. Escriu i simplifica la fracció algebraica que representa aquesta porció de treball per hora.

Simplifica la següent fracció algebraica complexa reduint primer el numerador i el denominador de forma independent:

$\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$

Efectua la suma i resta de les següents fraccions algebraiques. Utilitza la regla de Ruffini i les identitats notables per factoritzar prèviament els denominadors i trobar el mínim comú múltiple:

$\frac{2x}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} - \frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{3}{x-1}$

El cost mitjà de producció d'un component electrònic ve donat per l'expressió $C_m(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x^2 - 4}$, on $x$ és el volum de producció en milers d'unitats. Per un ajust de subvencions, se li ha de restar una taxa representada per la fracció $\frac{x^2-1}{x+2}$. Calcula la nova expressió del cost mitjà simplificant prèviament la primera fracció.

Per simplificar la fracció complexa següent:

es proposen dues estratègies algebraiques diferents:

• Mètode 1: Operar per separat el numerador i el denominador globals obtenint en cadascun una sola fracció irreductible amb el seu respectiu mínim comú múltiple, i efectuar al final la divisió multiplicant per la fracció inversa.

• Mètode 2: Multiplicar simultàniament el numerador i el denominador principals pel mínim comú múltiple global de tots els denominadors parcials presents, eliminant totes les fraccions internes en un únic pas.

1. a) Fes la simplificació completa aplicant ambdós mètodes i comprova que condueixes exactament al mateix resultat irreductible.
2. b) Compara el nombre de passos, factoritzacions intermèdies i possibles punts d'error en la gestió de signes de cada mètode. Justifica quin dels dos resulta més eficient en aquest cas.

En una instal·lació solar fotovoltaica per a autoconsum en una explotació agrària de la Regió de Múrcia, es connecten en paral·lel dos ramals de panells les resistències internes dels quals són $R_1$ i $R_2$. La resistència equivalent $R_{eq}$ del circuit ve donada per la relació física:

A causa de les oscil·lacions tèrmiques durant la jornada, les resistències de cada ramal (en ohms) depenen de la temperatura $T$ del panell (en graus Celsius, amb $T > 10$) segons els models racionals:

1. a) Escriu les expressions de $\frac{1}{R_1}$ i $\frac{1}{R_2}$ factoritzant prèviament els seus termes i calcula la suma $\frac{1}{R_{eq}}$ reduint al mínim comú múltiple dels denominadors.
2. b) Obtén l'expressió simplificada de $R_{eq}$ com una única fracció algebraica en funció de $T$.
3. c) Si en les hores de màxima insolació estival es registra una temperatura de $T = 30\text{ }^\circ\text{C}$, calcula el valor exacte de $R_{eq}$ expressat com a fracció irreductible i determina si es manté per sota del límit reglamentari de seguretat de $0,7$ ohms.

Demostra que la següent igualtat algebraica és certa per a qualsevol valor de les variables $x$ i $y$ que no anul·li els denominadors, desenvolupant les operacions i simplificant el membre esquerre:

$\left( \frac{x^2 - y^2}{x+y} \right) \cdot \left( \frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2} \right) = x^2 - y^2$

Una llanxa motora viatja per un canal des de l'embarcador fins a una boia a una velocitat $v+w$ (on $w$ és la velocitat del corrent a favor) i torna a una velocitat $v-w$ (corrent en contra). La distància entre els punts és $d$. Obtén l'expressió simplificada de la velocitat mitjana del recorregut complet, donada per $v_m = \frac{2d}{\frac{d}{v+w} + \frac{d}{v-w}}$, i comprova si és equivalent a l'expressió $\frac{v^2 - w^2}{v}$.

Determina els valors numèrics dels paràmetres $A$, $B$ i $C$ perquè es compleixi la següent identitat de descomposició en fraccions simples per a tot $x$:

$\frac{5x^2 - x + 2}{x^3 - x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

Un circuit mixt té una resistència equivalent entre els terminals A i B donada per la fórmula $R_{eq} = R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$. Si els valors de les resistències en ohms venen donats per les expressions algebraiques $R_1 = \frac{x}{x+1}$, $R_2 = \frac{x^2-1}{x}$ i $R_3 = \frac{x^2-1}{2}$, calcula l'expressió simplificada de la resistència equivalent $R_{eq}$.

Simplifica la següent expressió algebraica iterada (fracció contínua) operant des del nivell més profund cap amunt, fins a obtenir una fracció irreductible:

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}}$

Realitza les operacions indicades amb tres variables i demostra que el resultat final es simplifica a un nombre enter constant:

$\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}$

En un laboratori de química es tenen dues dissolucions d'un mateix àcid. La primera té una concentració $C_1 = \frac{x}{x^2+2x+1}$ i la segona $C_2 = \frac{2}{x^2-1}$. Es barregen volums iguals de totes dues dissolucions, per la qual cosa la concentració de la barreja resultant és la mitjana aritmètica de totes dues concentracions, és a dir, $C_m = \frac{1}{2}(C_1 + C_2)$. Obtén l'expressió algebraica simplificada de la concentració final de la barreja $C_m$.

L'àrea superficial d'un envàs cilíndric dissenyat per minimitzar l'ús de material plàstic ve donada per l'expressió $S(x) = 2\pi x^2 + \frac{1000}{x}$. Per analitzar la taxa de canvi del material respecte al radi $x$, un enginyer necessita calcular i simplificar l'expressió del quocient de diferències $\frac{S(x+h) - S(x)}{h}$. Realitza aquesta operació i expressa el resultat com una única fracció algebraica simplificada en termes de $x$ i $h$.

Dues canalitzacions de la xarxa de distribució del Canal d'Isabel II aboquen aigua simultàniament a un dipòsit de retenció a Madrid. La canalització moderna $A$ triga $x$ hores a omplir el dipòsit complet en solitari, mentre que la canalització antiga $B$, amb menys cabal, triga $x + 4$ hores (amb $x > 0$).

1. a) Estima: Sense fer operacions algebraiques exactes, considera el cas en què $x = 6$ hores (la canonada $A$ triga 6 hores i la $B$ triga 10 hores). Raona de manera qualitativa entre quins dos nombres enters d'hores s'ha de situar obligatòriament el temps total d'ompliment conjunt $T$. (Pista: Compara el cabal del sistema amb dues situacions hipotètiques: dues canalitzacions idèntiques a la ràpida o dues d'idèntiques a la lenta).
2. b) Calcula: Sabent que els cabals horaris se sumen (satisfent la relació $\frac{1}{T(x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$), opera i simplifica per expressar el temps conjunt $T(x)$ com una única fracció algebraica irreductible.
3. c) Comprova i generalitza: Calcula el valor exacte de $T(6)$ a partir de la fórmula trobada, converteix-lo a hores i minuts, i comprova si la teva estimació de l'apartat (a) ha estat correcta. A continuació, analitza el signe de la diferència algebraica $T(x) - \frac{x}{2}$ i demostra formalment per què el temps conjunt mai no podrà rebaixar la meitat del temps de la canonada més ràpida, sigui quin sigui el valor de $x$.

En un laboratori d'òptica aplicada del CSIC, s'ajusta un banc de proves que conté una lent convergent prima de distància focal $f$ coneguda i fixa ($f > 0$). La distància des de l'objecte lluminós fins a la lent és $s$ (amb $s > f$) i la distància des de la lent fins a la imatge enfocada sobre una pantalla és $s'$. Aquestes variables satisfan l'equació de Descartes:

1. a) Aïlla $s'$ com una única fracció algebraica en funció de $s$ i $f$. A partir d'aquesta, obtén l'expressió simplificada de la distància total entre l'objecte i la pantalla de projecció, $L(s) = s + s'$, com una única fracció algebraica amb el denominador factoritzat.
2. b) Problema invers: Per verificar de manera purament algebraica que la separació total entre objecte i pantalla mai no pot ser inferior a quatre vegades la distància focal ($L(s) \ge 4f$), planteja la resta $D(s) = L(s) - 4f$, redueix a comú denominador i factoritza completament el numerador resultant reconeixent una identitat notable.
3. c) Analitza el signe del numerador i del denominador de la fracció obtinguda per a $D(s)$ tenint en compte que $s > f$. Conclou rigorosament per què $L(s) \ge 4f$ i dedueix raonadament quina posició ha d'ocupar l'objecte ($s$ en funció de $f$) per aconseguir que la distància entre objecte i pantalla sigui exactament la mínima possible ($4f$).

Repte del tema. Optimització d'una microxarxa solar domèstica.

1. Dades i fasors: Accedeix al web de Red Eléctrica (REE) i anota la generació solar fotovoltaica horària de la teva comunitat en dos moments clau, associant-los fasors de potència en forma polar: $z_1 = r_{1,\alpha}$ i $z_2 = r_{2,\beta}$. Calcula el seu quocient en forma polar per avaluar el desfasament de generació.

2. Àlgebra complexa i trigonometria: Converteix aquest quocient a forma binòmica per multiplicar-lo per la impedància de xarxa $Z = 2 + 1,5i$. Comprova analíticament la part real i imaginària aplicant les raons trigonomètriques de l'angle resta: $\cos(\alpha - \beta)$ i $\sin(\alpha - \beta)$.

3. Modelització polinòmica: A GeoGebra, ajusta un polinomi cúbic $P(t)$ a la corba diària de potència. Sabent l'hora sencera d'inici de producció solar com a arrel, factoritza $P(t)$ aplicant la regla de Ruffini fins a la seva completa factorització. Després, calcula la derivada del polinomi $P'(t)$ per trobar l'hora exacta de màxima producció ($P'(t) = 0$).

4. Proposta tècnica: Redacta un breu informe amb la gràfica de GeoGebra i els càlculs realitzats, justificant l'hora òptima de consum.

Es valorarà:

• Precisió en les operacions amb nombres complexos en forma polar i binòmica, i en el desenvolupament de l'angle resta.

• Destresa en la regla de Ruffini, la factorització de polinomis i el càlcul de la derivada polinòmica.

• Rigor en l'ús de dades reals de REE i claredat argumentativa en l'informe final.