Exercicis: El treball

El treball que realitza una força constant sobre un cos que es desplaça és $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, on $\alpha$ és l'angle que formen la força i el desplaçament. Sense fer càlculs, indica si el treball és positiu, negatiu o nul en cada cas, justificant-ho amb el valor de $\alpha$:

1. a) La força de tracció d'un tractor que arrossega un remolc per un camí horitzontal.
2. b) La força de fregament que s'oposa a l'avanç del remolc.
3. c) La força normal que el terra exerceix sobre el remolc.
4. d) La força amb què un operari subjecta sobre l'espatlla una caixa que està en repòs.

Un operari d'un magatzem empeny un palet amb una força horitzontal constant de $250\ \text{N}$ i el desplaça $12\ \text{m}$ pel terra en línia recta.

1. a) Quin angle forma la força amb el desplaçament?
2. b) Calcula el treball que realitza l'operari.

Una persona passeja el seu gos estirant la corretja amb una força constant de $80\ \text{N}$, que forma $60^\circ$ amb l'horitzontal, durant un tram recte de $25\ \text{m}$ ($\cos 60^\circ = 0,5$), com es mostra a la figura.

Calcula el treball que realitza.

Col·loques una caixa d'eines de $10\ \text{kg}$ sobre un prestatge situat a $2,5\ \text{m}$ del terra (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el pes de la caixa.
2. b) Calcula el treball que realitza el pes durant la pujada. Recorda que el pes apunta cap avall i el desplaçament, cap amunt.
3. c) Quin treball realitzes tu contra el pes, com a mínim?

Un viatger empeny el seu carretó de maletes per la terminal d'un aeroport, en línia recta i sobre un terra horitzontal.

1. a) Raona, fent servir l'expressió $W = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, per què el treball de la força normal i el treball del pes són nuls durant el trajecte.
2. b) Si el viatger exerceix una força horitzontal de $18\ \text{N}$ durant $100\ \text{m}$, quin treball realitza?

Al laboratori, un carretó sobre una taula d'aire es desplaça $\vec{d} = (5, 0)\ \text{m}$ mentre sobre seu actua una força constant $\vec{F} = (6, 8)\ \text{N}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el treball mitjançant el producte escalar $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y$.
2. b) Explica per què la component vertical de la força no contribueix al treball.

En arrossegar un sofà $8\ \text{m}$ pel terra d'una sala d'estar, la força de fregament cinètic val $35\ \text{N}$.

1. a) Quin angle forma la força de fregament amb el desplaçament?
2. b) Calcula el treball que realitza el fregament i interpreta'n el signe.

El teorema de les forces vives estableix que el treball net realitzat sobre un cos és igual a la variació de la seva energia cinètica: $W_{neto} = \Delta E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 - \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2$. Una bola de demostració de $2\ \text{kg}$ augmenta la seva velocitat de $3\ \text{m/s}$ a $5\ \text{m/s}$ sobre una taula d'aire.

1. a) Calcula la seva energia cinètica inicial i la seva energia cinètica final.
2. b) Quant val el treball net realitzat sobre la bola?

En una gimcana, un alumne arrossega una caixa de llibres $15\ \text{m}$ pel terra horitzontal del gimnàs empenyent amb una força horitzontal de $120\ \text{N}$, mentre el fregament cinètic s'hi oposa amb $40\ \text{N}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el treball que realitza l'alumne.
2. b) Calcula el treball del fregament (recorda que és negatiu: $\alpha = 180^\circ$).
3. c) Calcula el treball del pes i el de la normal, justificant-ne els valors.
4. d) Troba el treball net sobre la caixa.

Per carregar una nevera de $60\ \text{kg}$ en una furgoneta s'empeny per una rampa de $3\ \text{m}$ que forma $20^\circ$ amb l'horitzontal ($\sen 20^\circ \approx 0,34$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$), com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la component del pes paral·lela a la rampa.
2. b) Calcula el treball que realitza el pes durant la pujada.
3. c) Quin treball mínim, contra aquesta component del pes, ha de realitzar qui empeny?

Un múixer estira el trineu del seu equip amb una corda que forma $37^\circ$ amb l'horitzontal, exercint una força constant de $100\ \text{N}$ durant $50\ \text{m}$ ($\sen 37^\circ \approx 0,6$; $\cos 37^\circ \approx 0,8$). El fregament amb la neu s'hi oposa amb $30\ \text{N}$.

1. a) Calcula el treball que realitza el múixer.
2. b) Calcula el treball del fregament.
3. c) Troba el treball net sobre el trineu.

Sobre una peça d'una màquina eina actua una força constant $\vec{F} = (15, -8)\ \text{N}$ mentre la peça es desplaça $\vec{d} = (4, 2)\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el treball mitjançant el producte escalar $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x \cdot d_x + F_y \cdot d_y$.
2. b) Comprova que la component $F_y$ realitza un treball negatiu i interpreta què significa físicament aquest signe.

Una grua d'obra abaixa una biga de $500\ \text{kg}$ des de $8\ \text{m}$ d'alçària fins a terra, amb velocitat constant (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball que realitza el pes durant la baixada.
2. b) Calcula el treball que realitza la tensió del cable.
3. c) Quant val el treball net? Relaciona-ho amb el fet que la velocitat sigui constant, fent servir el teorema de les forces vives.

Un turisme de $1200\ \text{kg}$ accelera des del repòs fins a $108\ \text{km/h}$ en incorporar-se a una autovia.

1. a) Expressa la velocitat final en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula la variació de l'energia cinètica del turisme.
3. c) Quin treball net han realitzat les forces que actuen sobre el cotxe? Expressa'l en $\text{kJ}$.

Un cotxe de $1000\ \text{kg}$ que circula a $20\ \text{m/s}$ frena fins a aturar-se en una distància de $50\ \text{m}$, en un tram horitzontal.

1. a) Calcula la variació de l'energia cinètica durant la frenada.
2. b) Aplicant el teorema de les forces vives, troba el treball de la força neta de frenada.
3. c) Quant val, de mitjana, aquesta força neta de frenada? Indica'n el sentit.

Un bomber de $80\ \text{kg}$ amb el seu equip puja per una escala d'incendis des de terra fins a un terrat situat $18\ \text{m}$ més amunt (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball que realitza el pes durant la pujada.
2. b) Calcula el treball que realitza el bomber contra el pes.
3. c) Si en lloc de l'escala hagués pujat per una rampa més llarga fins al mateix terrat, com canviaria aquest treball? Justifica-ho.

Una caixa de $25\ \text{kg}$ parteix del repòs sobre el terra horitzontal d'una nau, on el coeficient de fregament cinètic és $\mu = 0,2$. S'empeny amb una força horitzontal constant de $100\ \text{N}$ durant $12\ \text{m}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$), com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la força de fregament cinètic, $F_{roz} = \mu \cdot N$, tenint en compte que en un terra horitzontal la normal és $N = m \cdot g$.
2. b) Calcula el treball de cadascuna de les forces (empenta, fregament, pes i normal) i el treball net.
3. c) Aplica el teorema de les forces vives per trobar la velocitat de la caixa al final dels $12\ \text{m}$.

Es puja un bloc de $10\ \text{kg}$ per un pla inclinat $30^\circ$ sense fregament, estirant amb una força $\vec{F}$ paral·lela al pla, de manera que el bloc ascendeix amb velocitat constant al llarg de $5\ \text{m}$ ($\sen 30^\circ = 0,5$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$), com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el valor de $F$ perquè la velocitat sigui constant.
2. b) Calcula el treball de cada força: la força aplicada, el pes i la normal.
3. c) Troba el treball net i explica, amb el teorema de les forces vives, per què aquest resultat era d'esperar.

Un turisme de $1000\ \text{kg}$ circula a $20\ \text{m/s}$ per una carretera horitzontal i bloqueja les rodes en una frenada d'emergència. El coeficient de fregament entre els pneumàtics i l'asfalt és $\mu = 0,5$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la força de fregament durant la frenada.
2. b) Aplica el teorema de les forces vives per calcular la distància que recorre fins a aturar-se.
3. c) Raona, a partir de l'expressió obtinguda, què li passa a la distància de frenada si la velocitat inicial es duplica: es duplica també?

En una taula d'aire del laboratori, un disc de $4\ \text{kg}$, inicialment en repòs en el punt $A(1, 2)$, es desplaça fins al punt $B(9, 5)$ mentre una força constant $\vec{F} = (6, 8)\ \text{N}$ actua sobre seu (les coordenades estan en metres), com es mostra a la figura.

1. a) Determina el vector desplaçament $\vec{d} = \vec{AB}$.
2. b) Calcula el treball realitzat per la força mitjançant el producte escalar $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.
3. c) Com que el fregament és negligible, aquest treball és el treball net: aplica el teorema de les forces vives i calcula la velocitat del disc en arribar a $B$.

Una cabina de telefèric amb els seus passatgers té una massa total de $800\ \text{kg}$. En el trajecte d'anada puja des de l'estació base, a $1200\ \text{m}$ d'altitud, fins a l'estació cim, a $1750\ \text{m}$. Després descendeix parcialment fins a una estació intermèdia situada a $1550\ \text{m}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$), com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el treball que realitza el pes durant la pujada.
2. b) Calcula el treball que realitza el pes durant la baixada parcial.
3. c) Calcula el treball total del pes en tot el recorregut i comprova que només depèn del desnivell net entre el punt de partida i el d'arribada. Quina propietat de la força gravitatòria posa de manifest aquest resultat?

Un operari puja una caixa de $25\ \text{kg}$ per una rampa de $20\ \text{m}$ que forma $37^\circ$ amb l'horitzontal, estirant amb una corda paral·lela a la rampa i amb velocitat constant ($\sen 37^\circ \approx 0,6$; $\cos 37^\circ \approx 0,8$; coeficient de fregament $\mu = 0,25$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$), com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la normal que exerceix la rampa i la força de fregament.
2. b) Calcula la força amb què estira l'operari.
3. c) Calcula el treball de cada força (estirada, pes, fregament i normal) i comprova que el treball net és nul. Per què ho havia de ser?

En una pista de gel es llança un disc de massa $m$ amb velocitat inicial $v_0 = 10\ \text{m/s}$, i llisca en línia recta fins a aturar-se pel fregament ($\mu = 0,25$; pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Escriu l'expressió del treball del fregament i, aplicant el teorema de les forces vives, obtén la distància d'aturada $d$ en funció de $v_0$, $\mu$ i $g$.
2. b) Calcula numèricament aquesta distància.
3. c) Raona, a partir de l'expressió obtinguda, si la distància d'aturada depèn de la massa del disc. Quina implicació pràctica té aquest resultat per a la seguretat viària?

La cabina d'un ascensor amb els seus ocupants té una massa de $600\ \text{kg}$. Arrenca des del repòs i puja $12\ \text{m}$ amb una acceleració constant de $1,2\ \text{m/s}^2$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la força que exerceix el cable aplicant la segona llei de Newton: $T - m \cdot g = m \cdot a$.
2. b) Calcula el treball que realitza el cable i el que realitza el pes durant aquests $12\ \text{m}$.
3. c) Troba el treball net i, amb el teorema de les forces vives, la velocitat de la cabina al cap dels $12\ \text{m}$. Comprova el resultat amb la cinemàtica: $v^2 = 2 \cdot a \cdot h$.