Exercicis: Potència, consum energètic i rendiment

El motor d'una porta de garatge realitza un treball de $6000\ \text{J}$ en $30\ \text{s}$ en aixecar-la. La potència mitjana es calcula com a $P = W/t$.

1. a) Calcula la potència del motor, en watts.
2. b) Expressa-la en quilowatts.

Dos robots d'una cadena de muntatge realitzen exactament el mateix treball en soldar una peça, però el robot A triga $20\ \text{s}$ i el robot B, $40\ \text{s}$.

1. a) Quin dels dos realitza més treball? Justifica-ho.
2. b) Quin és més potent? Quantes vegades més?

La força de tracció del motor d'un cotxe que avança amb velocitat constant de $20\ \text{m/s}$ val $1500\ \text{N}$. Quan la força i la velocitat tenen la mateixa direcció i sentit, la potència es pot calcular com a $P = F \cdot v$. Calcula la potència que desenvolupa el motor, en watts i en quilowatts.

A la fitxa tècnica d'un cotxe figura una potència de $100\ \text{CV}$. El cavall de vapor és una unitat de potència històrica: $1\ \text{CV} = 736\ \text{W}$.

1. a) Expressa la potència del cotxe en watts.
2. b) Expressa-la en quilowatts, la unitat que utilitza avui la indústria.

Un radiador elèctric té una potència de $2000\ \text{W}$ i funciona durant $3\ \text{h}$. L'energia consumida es calcula com a $E = P \cdot t$.

1. a) Calcula l'energia consumida, en $\text{kWh}$ (fes servir la potència en $\text{kW}$ i el temps en hores).
2. b) Tenint en compte que $1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$, expressa-la en joules.

El motor d'una sínia consumeix $5000\ \text{J}$ d'energia elèctrica i lliura $4000\ \text{J}$ de treball útil en elevar les cabines. El rendiment es defineix com a $\eta = \frac{W_{util}}{W_{total}}$. L'esquema resumeix el balanç d'energia del motor:

1. a) Calcula el rendiment del motor i expressa'l en tant per cent.
2. b) Quanta energia s'ha perdut? En què creus que s'ha transformat?

Un ciclista pedala amb la mateixa força neta sobre la bicicleta en dues situacions: a $18\ \text{km/h}$ en un tram pla i a $36\ \text{km/h}$ en un descens suau.

1. a) Fent servir l'expressió $P = F \cdot v$, raona en quina de les dues situacions desenvolupa més potència i quantes vegades més.
2. b) Significa això que realitza més treball en el mateix temps? Explica-ho.

Ordena de major a menor potència aquests tres aparells: una batedora de $350\ \text{W}$, un assecador de cabells de $2000\ \text{W}$ i una bombeta LED de $9\ \text{W}$. Després, calcula l'energia que consumeix l'aparell més potent funcionant $10\ \text{min}$, expressada en joules (recorda passar el temps a segons).

Una grua torre d'una obra eleva una càrrega de blocs de $400\ \text{kg}$ fins a $20\ \text{m}$ d'alçada, amb velocitat constant, en $40\ \text{s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball que realitza la grua contra el pes.
2. b) Calcula la potència útil que desenvolupa, en watts i en quilowatts.

Un telecadira eleva $30$ esquiadors, de massa mitjana $75\ \text{kg}$ amb el seu equip, fins a una cota situada $100\ \text{m}$ més amunt, en $5\ \text{min}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball que realitza el telecadira sobre els esquiadors (recorda passar el temps a segons).
2. b) Calcula la potència útil que desenvolupa, en watts i en quilowatts.

Un turisme manté una velocitat constant de $90\ \text{km/h}$ per autopista. A aquesta velocitat, la resistència de l'aire i el fregament sumen una força de $2000\ \text{N}$ que el motor ha de vèncer.

1. a) Expressa la velocitat en $\text{m/s}$.
2. b) Com que la velocitat és constant, la força de tracció iguala la resistència total: calcula la potència que desenvolupa el motor amb $P = F \cdot v$, en $\text{kW}$.

Un motor elèctric industrial consumeix $8\ \text{kWh}$ d'energia elèctrica durant la seva jornada i lliura $6\ \text{kWh}$ de treball útil ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcula el seu rendiment, en tant per cent.
2. b) Calcula l'energia perduda, en $\text{kWh}$ i en joules.

El forn d'un forn de pa té una potència de $2500\ \text{W}$ i funciona $1,5\ \text{h}$ cada dia. El preu de l'electricitat és de $0,2\ \text{€/kWh}$.

1. a) Calcula l'energia que consumeix el forn en un mes de $30$ dies, en $\text{kWh}$.
2. b) Calcula el cost mensual de l'electricitat del forn.

En una prova física, un soldat de $75\ \text{kg}$ amb el seu equip ascendeix $6\ \text{m}$ per una corda en $15\ \text{s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball que realitza contra el pes.
2. b) Calcula la potència mitjana que desenvolupa.
3. c) Si la seva companya, de $60\ \text{kg}$ amb l'equip, empra el mateix temps, desenvolupa més, menys o igual potència? Justifica-ho calculant-la.

El motor d'un compressor d'un taller absorbeix de la xarxa elèctrica una potència de $5\ \text{kW}$ i té un rendiment del $80\ \%$. El rendiment també es pot expressar amb potències: $\eta = \frac{P_{util}}{P_{total}}$.

1. a) Calcula la potència útil del motor.
2. b) Calcula la potència perduda.
3. c) Si el motor funciona $4\ \text{h}$, quanta energia útil lliura? Expressa-la en $\text{kWh}$ i en joules ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

Una moto d'aigua es desplaça amb velocitat constant de $10\ \text{m/s}$ i el seu motor desenvolupa una potència útil de $25\ \text{kW}$.

1. a) Quina força neta de resistència venç el motor a aquesta velocitat? Aïlla primer la força de l'expressió $P = F \cdot v$.
2. b) Si el rendiment del motor és del $25\ \%$, quina potència total consumeix?

El motor d'una grua absorbeix de la xarxa una potència elèctrica de $10\ \text{kW}$ i té un rendiment del $60\ \%$. Eleva una càrrega de $500\ \text{kg}$ amb velocitat constant durant $30\ \text{s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la potència útil del motor.
2. b) Calcula el treball útil realitzat en els $30\ \text{s}$.
3. c) Quina alçada ha guanyat la càrrega en aquest temps?

Un turisme de $1200\ \text{kg}$ puja per un port amb un pendent del $8\ \%$ (per cada $100\ \text{m}$ recorreguts en horitzontal s'ascendeixen $8\ \text{m}$; pots prendre $\sen \alpha \approx 0,08$) a velocitat constant de $20\ \text{m/s}$. Les forces de fregament i de resistència aerodinàmica sumen $600\ \text{N}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$), com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la component del pes paral·lela a la carretera.
2. b) Calcula la força total que ha de desenvolupar el motor per mantenir la velocitat.
3. c) Calcula la potència útil del motor, en $\text{kW}$.
4. d) Si el rendiment del motor és del $30\ \%$, quina potència consumeix? Comenta per què el consum en una pujada és molt més gran que en pla.

L'escala mecànica d'una estació de metro eleva els viatgers un desnivell de $6\ \text{m}$. En hora punta transporta un flux de $900$ persones per hora, de massa mitjana $70\ \text{kg}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball que realitza l'escala sobre els viatgers en una hora.
2. b) Calcula la potència útil necessària.
3. c) Si el conjunt motor-cadena té un rendiment del $70\ \%$, quina potència ha de tenir el motor instal·lat?

Una bomba solar de reg eleva $200\ \text{kg}$ d'aigua (recorda: $1\ \text{L}$ d'aigua té una massa de $1\ \text{kg}$) des d'un dipòsit fins a un bancal situat $15\ \text{m}$ més amunt, en $5\ \text{min}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball útil que realitza la bomba sobre l'aigua (recorda passar el temps a segons).
2. b) Calcula la potència útil, en watts.
3. c) Si el rendiment de la bomba és del $50\ \%$, quina potència elèctrica absorbeix?
4. d) Si funciona $2\ \text{h}$ al dia i l'electricitat costa $0,15\ \text{€/kWh}$, quant costa el reg al dia?

James Watt va definir el cavall de vapor ($\text{CV}$) com la potència necessària per elevar $75\ \text{kg}$ a raó de $1\ \text{m}$ cada segon, a velocitat constant (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball realitzat contra el pes en $1\ \text{s}$ en aquestes condicions i la potència corresponent.
2. b) Compara el resultat amb l'equivalència actual, $1\ \text{CV} = 736\ \text{W}$, i comenta a què es deu la petita diferència.
3. c) Un ciclista ben entrenat pot mantenir uns $300\ \text{W}$ durant una hora: a quants $\text{CV}$ equival, aproximadament? Comenta el resultat.

En una minicentral hidroelèctrica, la turbina té un rendiment del $90\ \%$ i el generador acoblat a ella, del $80\ \%$. L'esquema mostra la cadena de conversions:

1. a) Raona per què el rendiment global de la cadena és el producte dels rendiments parcials i calcula'l.
2. b) Si l'aigua lliura a la central $1\cdot10^{7}\ \text{J}$ d'energia mecànica, quanta energia elèctrica s'obté?
3. c) Expressa-la en $\text{kWh}$ ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

Un tren d'alta velocitat desenvolupa una potència de $8\ \text{MW}$ quan circula a $288\ \text{km/h}$.

1. a) Expressa la velocitat en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula la força total de resistència que venç el tren a aquesta velocitat, aïllant de $P = F \cdot v$.
3. c) Si el tren circulés a la meitat de velocitat mantenint la mateixa potència, quina força màxima podria vèncer? Raona la resposta i comenta per què les locomotores de mercaderies, que arrosseguen càrregues enormes, circulen a poc a poc.

Dos halteròfils competeixen en la modalitat d'arrencada. L'halteròfil A aixeca $100\ \text{kg}$ fins a $2\ \text{m}$ d'alçada en $1\ \text{s}$; l'halteròfil B aixeca $150\ \text{kg}$ fins a la mateixa alçada en $1,5\ \text{s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball que realitza cadascun contra el pes.
2. b) Calcula la potència que desenvolupa cadascun. Qui és més potent? Comenta el resultat.
3. c) En quant de temps hauria d'haver fet el seu aixecament l'halteròfil B per desenvolupar una potència de $2500\ \text{W}$?

Repte del tema. Ets més eficient que un motor elèctric? Dissenya una auditoria biomecànica i econòmica de la teva pròpia potència motriu a casa.

1. Presa de dades i consulta: Mesura l'alçada d'un tram d'escales ($h \pm 0,01\text{ m}$), la massa d'una càrrega ($m \pm 0,1\text{ kg}$) i la teva massa corporal ($M \pm 0,1\text{ kg}$). Consulta al web de Red Eléctrica de España (REE) el preu mitjà del $\text{kWh}$ d'avui.

2. Experimentació: Puja la càrrega a quatre ritmes diferents, cronometrant cada ascens amb la seva incertesa ($t \pm 0,2\text{ s}$, fent tres repeticions per fer la mitjana).

3. Tractament de dades: Elabora una taula amb el treball mecànic útil ($W = m \cdot g \cdot h$), la potència desenvolupada ($P = W/t$) i les seves incerteses. Traça la gràfica de $P$ enfront d'$1/t$.

4. Consum i rendiment: Assumint un rendiment muscular humà d'$\eta = 22\,\%$, calcula l'energia metabòlica real consumida (en $\text{kJ}$ i $\text{kWh}$), tenint en compte que també eleves el teu propi cos ($E_{\text{metab}} = (m+M) \cdot g \cdot h/\eta$), i compara-la amb el cost econòmic si realitzés aquesta mateixa tasca (pujar només la càrrega) un petit motor domèstic amb $\eta = 85\,\%$. Redacta un informe breu amb les teves conclusions.

Es valorarà:

• Rigor en l'estimació d'incerteses i qualitat de la taula i gràfica.

• Correcció en aplicar els conceptes de treball, potència i rendiment.

• Anàlisi crítica de l'eficiència i ús adequat de la dada de REE.