Exercicis: Moviments compostos

Una barca travessa un riu de $40\ \text{m}$ d'amplada amb una velocitat pròpia de $2\ \text{m/s}$, dirigida perpendicularment al corrent. Observa l'esquema de la travessia:

1. a) Enuncia el principi d'independència dels moviments de Galileu.
2. b) Aplica'l per calcular el temps que triga la barca a travessar el riu, raonant per què el corrent no modifica aquest temps.

Un dron vola cap al nord a $4\ \text{m/s}$ mentre el vent l'empeny cap a l'est a $3\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el mòdul de la velocitat resultant del dron respecte a terra.
2. b) Tenint en compte la independència dels moviments, calcula quant triga a avançar $100\ \text{m}$ cap al nord.

Un tren travessa un pont de $19,6\ \text{m}$ d'alçària quan es desprèn un objecte d'un vagó. Pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el temps que triga l'objecte a arribar a terra.
2. b) Raona si aquest temps depèn de la velocitat horitzontal que portava el tren.

Un avió d'ajuda humanitària vola horitzontalment a $100\ \text{m/s}$ i a $500\ \text{m}$ d'alçària quan deixa anar un paquet. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el temps que triga el paquet a caure.
2. b) Calcula la distància horitzontal que avança el paquet abans de tocar terra.

Es xuta una pilota amb velocitat inicial $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formant $37^\circ$ amb l'horitzontal. Utilitza $\sen 37^\circ \approx 0,6$ i $\cos 37^\circ \approx 0,8$. La figura mostra la descomposició de la velocitat inicial.

1. a) Calcula la component horitzontal de la velocitat inicial.
2. b) Calcula la component vertical de la velocitat inicial.

Una pilota de tennis surt de la raqueta amb $v_0 = 20\ \text{m/s}$ formant $60^\circ$ amb l'horitzontal. Utilitza $\sen 60^\circ \approx 0,87$ i $\cos 60^\circ = 0,5$.

1. a) Calcula la component horitzontal de la seva velocitat inicial.
2. b) Calcula la component vertical de la seva velocitat inicial.

La component vertical de la velocitat inicial d'un projectil és $20\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el temps que triga a arribar al punt més alt de la seva trajectòria.
2. b) Si surt de terra i torna a terra, quant dura el seu vol complet? Justifica-ho.

Una fletxa surt de l'arc amb una component vertical de velocitat de $30\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ i recorda que en el punt més alt la velocitat vertical s'anul·la.

1. a) Calcula el temps que triga a pujar.
2. b) Calcula l'alçària màxima que assoleix sobre el punt de sortida.

Una barca amb velocitat pròpia de $4\ \text{m/s}$ travessa un riu de $80\ \text{m}$ d'amplada dirigint la proa perpendicularment al corrent, que arrossega a $1,5\ \text{m/s}$. Observa l'esquema de la travessia:

1. a) Calcula el temps de travessia.
2. b) Calcula la deriva: la distància que el corrent l'ha desplaçat riu avall en arribar a l'altra riba.
3. c) Calcula el mòdul del desplaçament total entre el punt de sortida i el d'arribada.

Un patró de barca vol travessar un riu de $120\ \text{m}$ d'amplada arribant just al punt del davant. La seva barca assoleix $5\ \text{m/s}$ en aigua tranquil·la i el corrent baixa a $3\ \text{m/s}$. El diagrama de velocitats es mostra a la figura.

1. a) Calcula l'angle aigües amunt amb què ha de dirigir la proa, sabent que compleix $\sen\theta = \frac{3}{5}$.
2. b) Calcula el mòdul de la velocitat resultant de la barca respecte a les ribes.
3. c) Calcula el temps que triga a travessar.

Un helicòpter vola horitzontalment a $30\ \text{m/s}$ i a $20\ \text{m}$ d'alçària quan deixa anar un paquet. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el temps de caiguda del paquet.
2. b) Calcula l'abast horitzontal del paquet.
3. c) Calcula les components de la velocitat en arribar a terra i el seu mòdul.

Un avió vola horitzontalment a $80\ \text{m/s}$ i a $720\ \text{m}$ d'alçària i ha de deixar anar un paquet perquè caigui sobre un punt concret de terra. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el temps de caiguda del paquet.
2. b) Calcula la distància horitzontal que recorre el paquet durant la caiguda.
3. c) Raona a quina distància horitzontal abans de l'objectiu s'ha de deixar anar el paquet.

Una pilota de golf surt del tee amb $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formant $37^\circ$ amb l'horitzontal. Utilitza $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ i $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La trajectòria del cop es mostra a la figura.

1. a) Calcula les components de la velocitat inicial.
2. b) Calcula el temps de vol.
3. c) Calcula l'abast sobre terreny horitzontal.
4. d) Calcula l'alçària màxima.

Un porter d'handbol llança la pilota amb $v_0 = 20\ \text{m/s}$ formant $30^\circ$ amb l'horitzontal. Utilitza $\sen 30^\circ = 0,5$, $\cos 30^\circ \approx 0,87$ i $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula les components de la velocitat inicial.
2. b) Calcula el temps de vol fins que la pilota torna a l'alçària de sortida.
3. c) Calcula l'abast.
4. d) Calcula l'alçària màxima.

Un jugador de voleibol efectua un servei amb $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formant $53^\circ$ amb l'horitzontal. Utilitza $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ i $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula les components de la velocitat inicial.
2. b) Raona quant val la component vertical de la velocitat en el punt més alt i calcula-hi el mòdul de la velocitat.
3. c) Calcula l'alçària màxima i el temps que triga a assolir-la.

Des de dalt d'un penya-segat de $45\ \text{m}$ sobre el mar es deixa caure una pedra i, en el mateix instant, se'n llança una altra d'idèntica horitzontalment amb $10\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa l'esquema del penya-segat:

1. a) Calcula el temps que triga a caure la primera pedra.
2. b) Raona, amb el principi d'independència dels moviments, quina de les dues arriba abans a l'aigua.
3. c) Calcula l'abast horitzontal de la segona pedra.
4. d) Calcula el mòdul de la velocitat d'arribada de cada pedra i compara els resultats.

Un jugador de rugbi xuta la pilota des de terra amb $v_0 = 30\ \text{m/s}$ formant $53^\circ$ amb l'horitzontal. Utilitza $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ i $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La figura mostra la trajectòria de la pilota i els pals.

1. a) Calcula les components de la velocitat inicial.
2. b) Si els pals són a $36\ \text{m}$ del punt de xut, calcula a quina alçària passa la pilota sobre la línia de gol i decideix si supera el travesser, situat a $3\ \text{m}$ d'alçària.
3. c) Calcula l'alçària màxima que assoleix la pilota.
4. d) Calcula l'abast de la pilota i decideix si sortiria per la línia de fons, situada a $80\ \text{m}$ del punt de xut.

Per a un llançament sobre terreny horitzontal, l'abast ve donat per $x = \frac{v_0^2 \cdot \sen(2\theta)}{g}$, on $\theta$ és l'angle de llançament.

1. a) Justifica, a partir d'aquesta expressió, que l'abast és màxim quan $\theta = 45^\circ$.
2. b) Una llançadora de javelina vol assolir els $80\ \text{m}$ llançant a $45^\circ$; pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ i calcula la velocitat inicial necessària.
3. c) Amb aquesta mateixa velocitat inicial, calcula l'abast si el llançament surt a $30^\circ$ i comprova si arriba als $80\ \text{m}$. Utilitza $\sen 60^\circ \approx 0,87$.

En una recreació històrica, un canó dispara projectils amb $v_0 = 40\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ i recorda que $\sen(2\theta) = 2 \cdot \sen\theta \cdot \cos\theta$.

1. a) Calcula l'abast per a un angle de tret de $37^\circ$.
2. b) Calcula l'abast per a l'angle complementari, $53^\circ$, i compara tots dos resultats.
3. c) Calcula l'alçària màxima i el temps de vol en cadascun dels dos casos.
4. d) Explica quina propietat tenen les parelles d'angles complementaris en el tir parabòlic i què es guanya i què es perd en triar l'angle més alt.

Una barca capaç de navegar a $5\ \text{m/s}$ en aigua tranquil·la ha de travessar un riu de $100\ \text{m}$ d'amplada amb un corrent de $3\ \text{m/s}$.

1. a) Si dirigeix la proa perpendicularment a la riba, calcula el temps de travessia, la deriva i el mòdul del desplaçament total.
2. b) Si vol arribar just al punt del davant, calcula l'angle aigües amunt que ha d'agafar (compleix $\sen\theta = \frac{3}{5}$), la velocitat resultant i el temps de travessia.
3. c) Compara les dues estratègies i raona quina minimitza el temps de travessia i quina minimitza la longitud de la trajectòria respecte a la riba, recolzant-te en els resultats obtinguts.

Un esquiador de salt abandona la rampa amb velocitat horitzontal de $20\ \text{m/s}$ des d'una alçària de $80\ \text{m}$ sobre la zona d'aterratge. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el temps de vol i l'abast horitzontal.
2. b) Calcula les components de la velocitat en arribar a la zona d'aterratge i el seu mòdul.
3. c) Calcula l'angle que forma la velocitat d'arribada amb l'horitzontal.

Un avió vola cap a l'est amb velocitat pròpia de $200\ \text{m/s}$ mentre el vent bufa de manera constant cap al nord a $40\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el mòdul de la velocitat resultant de l'avió respecte a terra.
2. b) Calcula l'angle de deriva: l'angle que es desvia la seva trajectòria respecte al rumb est desitjat.
3. c) Si el vol dura $500\ \text{s}$, calcula la posició de l'avió (distància recorreguda a l'est i al nord del punt de sortida) i la distància a la qual queda del punt on hauria arribat sense vent.

En una pràctica de laboratori, una bola roda per una taula de $1,25\ \text{m}$ d'alçària i surt horitzontalment per la vora. A terra es col·loca un got el centre del qual està a $1,5\ \text{m}$ de la vertical de la vora de la taula. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el temps que triga la bola a caure des de la vora fins a terra.
2. b) Calcula la velocitat horitzontal amb què ha de sortir de la taula per caure dins del got.
3. c) Amb aquesta velocitat, calcula les components i el mòdul de la velocitat de la bola en arribar a terra.

Una arquera dispara una fletxa amb $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formant $37^\circ$ amb l'horitzontal. Fes servir $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ i $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula les components de la velocitat inicial.
2. b) Escriu les equacions $x(t)$ i $y(t)$, elimina el temps i obtén l'equació de la trajectòria $y(x)$.
3. c) Hi ha un panell publicitari de $5\ \text{m}$ d'alçària a $20\ \text{m}$ del punt de tir: calcula a quina alçària passa la fletxa per sobre seu i decideix si el supera.
4. d) Calcula l'abast de la fletxa sobre terreny horitzontal.

Repte del tema. Investiga la cinemàtica d'un llançament horitzontal analitzant la influència de l'entorn.

1. Variables termodinàmiques: Consulta al web d'AEMET la temperatura $T$ ($^\circ\text{C}$) i la pressió $P$ ($\text{hPa}$) actuals de la teva localitat per registrar l'estat termodinàmic de l'aire circumdant.

2. Moviments rectilini i circular: Fes servir una rampa inclinada (MRUA) o una roda de bicicleta invertida que giri uniformement (MCU) amb radi conegut, per exemple $R = (30,0 \pm 0,1)\text{ cm}$, per impulsar una bala de vidre amb velocitat inicial horitzontal $v_0$. Determina $v_0$ de manera independent de l'abast: a la roda, mesura $\omega$ cronometrant 10 voltes i fes servir $v_0 = \omega R$; a la rampa, cronometra el pas de la bala de vidre per un tram final horitzontal de longitud coneguda. Estima la incertesa de cada $v_0$.

3. Moviment compost i mesures: Llença la bala de vidre horitzontalment des de la vora d'una taula situada a una alçada $h = (80,0 \pm 0,5)\text{ cm}$. Mesura amb cinta mètrica (incertesa $\pm 0,1\text{ cm}$) l'abast horitzontal $x$ per a 5 velocitats inicials diferents, fent 3 repeticions en cadascuna per calcular el valor mitjà i la dispersió.

4. Producte final: Elabora un informe breu que contingui la taula de dades experimentals, una gràfica de l'abast $x$ enfront de $v_0$ i una discussió raonada sobre si els valors de les variables termodinàmiques ambientals generen desviacions apreciables respecte al tir parabòlic ideal en el buit.

Es valorarà:

• Obtenció rigorosa de mesures experimentals i expressió adequada de les seves incerteses.

• Qualitat tècnica en l'elaboració de la taula i la gràfica cinemàtica.

• Integració coherent dels tipus de moviment (rectilini, circular i compost) amb les variables termodinàmiques.

• Capacitat crítica i claredat expositiva en les conclusions de l'informe.