Exercicis: La taxa anual equivalent

Un compte d'estalvis per a joves ofereix un interès nominal anual (TIN) del $3 \%$ amb capitalització mensual. Calcula la Taxa Anual Equivalent (TAE) d'aquest compte.

Per finançar un viatge de fi de curs, un grup d'alumnes diposita els seus estalvis en un producte financer que ofereix un $4 \%$ d'interès nominal anual amb capitalització trimestral. Determina la TAE de l'operació.

Un banc ofereix dos tipus de dipòsits a un any:

• Dipòsit A: $5 \%$ TIN amb pagament d'interessos semestral.

• Dipòsit B: $5,05 \%$ TAE amb pagament d'interessos anual.

Calcula la TAE del Dipòsit A per saber quin dels dos és més rendible.

Completa la taula següent indicant el valor de $n$ (nombre de períodes de capitalització a l'any) que has d'utilitzar en la fórmula de la TAE per a cada cas:

Un banc anuncia un compte d'estalvi amb una TAE del $2,5 \%$ i liquidació d'interessos anual. Si el període de liquidació és d'un any complet, quin és l'interès nominal anual (TIN) d'aquest compte? Explica per què en aquest cas coincideixen tots dos valors.

Calcula la TAE corresponent a un interès nominal del $12 \%$ anual capitalitzable trimestralment. Si després decidim canviar a una capitalització mensual mantenint el mateix TIN, augmentarà o disminuirà la TAE? Comprova-ho fent el segon càlcul.

La Marta vol calcular la Taxa Anual Equivalent ($\text{TAE}$) d'un compte d'estalvi que publicita un $\text{TIN}$ del $3\,\%$ amb liquidació mensual d'interessos i sense comissions. En la seva llibreta escriu la següent resolució:

La Marta s'adona que el resultat obtingut és desorbitat per a un compte d'estalvi real, però no localitza la fallada.

1. a) Identifica i explica detalladament l'error que ha comès la Marta en introduir el tipus nominal a la fórmula.
2. b) Corregeix el plantejament i troba la veritable $\text{TAE}$ del compte, expressant el resultat en percentatge i arrodonint a dues xifres decimals.
3. c) Explica per què, conceptualment, la $\text{TAE}$ correcta ha de ser només lleugerament superior al $3\,\%$ anunciat i no un valor tan distant.

Una entitat bancària comercialitza un dipòsit a termini fix a $1$ any amb un $\text{TIN}$ del $4\,\%$, sense comissions i amb liquidació trimestral d'interessos ($n = 4$).

1. a) Abans de fer cap càlcul amb la fórmula, fes una estimació qualitativa i raonada: esperes que la $\text{TAE}$ sigui menor que el $4\,\%$, exactament igual al $4\,\%$, lleugerament superior (per exemple, entre el $4,05\,\%$ i el $4,10\,\%$) o molt superior (per sobre del $5\,\%$)? Justifica la teva previsió basant-te en el mecanisme de reinversió dels interessos generats al llarg de l'any.
2. b) Aplica la fórmula de la $\text{TAE}$ per calcular el seu valor numèric exacte (arrodoneix a dues xifres decimals en percentatge).
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació prèvia i valora si té sentit econòmic que la diferència entre $\text{TIN}$ i $\text{TAE}$ sigui d'aquesta magnitud per a tipus d'interès moderats.

Dos bancs digitals, NeoBank i BancaApp, volen captar els teus estalvis per a un fons que estàs creant per al teu viatge de fi de curs.

• NeoBank t'ofereix un interès nominal anual del $3,5\%$ amb capitalització mensual dels interessos.

• BancaApp t'ofereix un interès nominal anual del $3,55\%$ amb capitalització semestral.

Calcula la Taxa Anual Equivalent (TAE) de totes dues opcions i determina quina és més rendible per als teus estalvis.

Vols comprar una tauleta gràfica que costa $450$ € i decideixes finançar-la amb una targeta de crèdit d'una botiga d'electrònica. El contracte indica que l'interès mensual que t'aplicaran és del $1,8\%$.

1. a) Calcula l'interès nominal anual que t'estan cobrant.
2. b) Troba la TAE associada a aquesta operació financera.

Un banc anuncia un préstec personal per a joves amb una TAE del $7,2\%$. Si els interessos es liquiden mensualment i no hi ha comissions addicionals, quin és el tipus d'interès nominal anual (TIN) que t'estan aplicant?

Una entitat financera ofereix un dipòsit a termini fix d'un any amb un interès nominal del $4\%$. Tanmateix, el banc et cobra una comissió d'obertura fixa de $25$ € que es descompta a l'inici de la inversió. Si decideixes invertir $2.000$ €:

1. a) Quin capital real estàs invertint després de pagar la comissió?
2. b) Quin capital rebràs en acabar l'any?
3. c) Tenint en compte que al final de l'any reps el capital més els interessos, calcula la TAE real de l'operació considerant la comissió com un capital inicial menor.

Has vist un anunci de "microcrèdits ràpids" a internet. Et presten $300$ € per a una despesa urgent i has de retornar $315$ € al cap d'exactament un mes.

1. a) Calcula l'interès mensual en tant per cent.
2. b) Calcula la TAE d'aquest préstec si es mantinguessin les mateixes condicions durant tot un any. Et sembla un interès raonable comparat amb un préstec bancari habitual?

El banc AhorroFácil liquida els interessos dels seus comptes cada trimestre. Si un client vol obtenir un rendiment real (TAE) del $5\%$, quin interès nominal anual hauria d'oferir el banc?

Compara les tres ofertes d'inversió següents per a un capital de $5.000$ € durant un any:

• Oferta A: $4,2\%$ d'interès nominal anual, amb capitalització trimestral.

• Oferta B: $4,15\%$ d'interès nominal anual, amb capitalització mensual.

• Oferta C: $4,25\%$ d'interès anual simple (els interessos no es reinverteixen).

Calcula la TAE de cadascuna (en el cas C, la TAE coincideix amb l'interès simple en ser un any) i ordena-les de millor a pitjor.

Una empresa de telefonia ofereix finançar un telèfon intel·ligent d'alta gamma. El telèfon costa $1.100$ € al comptat. El finançament consisteix en $12$ quotes mensuals de $98$ €.

1. a) Calcula el total pagat en acabar l'any.
2. b) Si l'excés pagat sobre el preu al comptat es consideren interessos meritats al final de l'any, quin interès simple anual estaries pagant?
3. c) Si l'entitat financera ens diu que la TAE de l'operació és del $13,5\%$, comprova si el capital final d'invertir $1.100$ € a aquest interès compost mensual coincideix aproximadament amb el total de les quotes pagades.

Un neobanc que opera a Espanya vol llançar un compte d'estalvi remunerat sense despeses de manteniment. L'equip de comercialització té com a objectiu fixar una $\text{TAE}$ exacta del $3,50\,\%$, abonant els interessos mes a mes ($n = 12$).

1. a) Escriu l'equació que permet obtenir el $\text{TIN}$ anual ($r$) a partir de la $\text{TAE}$ fixada i del nombre de períodes de liquidació anuals.
2. b) Aïlla algebraicament la variable $r$ i calcula el $\text{TIN}$ que l'entitat ha de publicar en la seva documentació precontractual, arrodonint a dos decimals de percentatge.
3. c) Si el banc decidís canviar la periodicitat de pagament a diària ($n = 365$), el $\text{TIN}$ necessari per mantenir aquesta mateixa $\text{TAE}$ del $3,50\,\%$ hauria de ser més gran o més petit que l'obtingut en l'apartat anterior? Raona la teva resposta analitzant la relació entre la freqüència de capitalització i l'acumulació d'interessos.

Distingeixes de $10.000\text{ €}$ i t'ofereixen dues opcions d'imposició a termini fix a $1$ any sense comissions:

• Opció A: $\text{TIN}$ del $3,20\,\%$ amb capitalització semestral ($n = 2$).

• Opció B: $\text{TIN}$ del $3,18\,\%$ amb capitalització diària ($n = 365$).

Per decidir quin producte contractar, dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• Mètode 1 (Via TAE): Calcular directament la $\text{TAE}$ de cada alternativa mitjançant la seva fórmula i triar la que presenti un percentatge més alt.

• Mètode 2 (Via Capital Final): Calcular el capital final acumulat en acabar l'any aplicant la capitalització composta període a període sobre els $10.000\text{ €}$ i triar la que proporcioni més euros de guany.

1. a) Aplica numèricament ambdós mètodes i confirma si tots dos condueixen a la mateixa decisió.
2. b) Justifica quin mètode resulta més eficient i generalitzable si s'hagués d'assessorar un conjunt de clients que disposen d'imports molt diversos (des de $500\text{ €}$ fins a $500.000\text{ €}$).
3. c) Imagina que l'Opció A afegeix una comissió de manteniment de compte de $12\text{ €}$ al final de l'any. Explica per què el Mètode 1 requeriria adaptar el càlcul i quin seria l'impacte qualitatiu d'aquesta despesa en la rendibilitat efectiva real.

Una coneguda cadena de botigues de tecnologia ofereix una promoció per comprar un ordinador d'última generació que costa $1.500 \text{ €}$. L'oferta consisteix en un préstec a $12$ mesos amb un $0 \%$ d'interès nominal ($TIN$), però amb una comissió d'obertura de $75 \text{ €}$ que es paga en la primera quota. Si comparem aquesta oferta amb un préstec bancari tradicional que no té comissions però aplica un interès compost mensual, quin hauria de ser el $TIN$ d'aquest segon préstec perquè la seva Taxa Anual Equivalent ($TAE$) sigui idèntica a la de l'oferta de la botiga?

Un inversor jove està analitzant dos productes financers per als seus estalvis. El primer és un compte d'estalvi que ofereix un $4,5 \%$ d'interès nominal anual amb capitalització diària. El segon és un fons d'inversió que garanteix un $4,6 \%$ d'interès nominal anual però amb capitalització semestral. Demostra algebraicament quin dels dos productes genera una rendibilitat real anual més gran mitjançant el càlcul de les seves respectives $TAE$ i determina la diferència percentual entre totes dues en base anual.

Un "microcrèdit" per internet ofereix $300 \text{ €}$ a retornar en un únic pagament als $15$ dies. El prestamista cobra $12 \text{ €}$ en concepte d'"honoraris de gestió", però publicitàriament indica que el tipus d'interès és del $0 \%$. Calcula la $TAE$ real d'aquesta operació financera considerant que un any té $365$ dies. Reflexiona sobre per què aquesta dada és obligatòria per llei en la publicitat d'aquests productes.

Una entitat bancària anuncia un compte de dipòsit amb una $TAE$ del $5,116125 \%$. Si el banc realitza la liquidació d'interessos de forma mensual, calcula el Tipus d'Interès Nominal ($TIN$) anual que està aplicant. Una vegada obtingut, calcula quants diners rebria un client que diposita $10.000 \text{ €}$ durant un trimestre si decideix no reinvertir els interessos generats cada mes (interès simple durant aquest període).

En sol·licitar un préstec hipotecari de $180.000 \text{ €}$ a amortitzar en 20 anys mitjançant el sistema francès, el banc ens ofereix un $TIN$ del $3,2 \%$ amb capitalització mensual. No obstant això, per concedir-lo, ens obliga a contractar una assegurança de vida anual de $250 \text{ €}$ (que es paga prorratejada mensualment juntament amb la quota durant els 20 anys) i pagar una comissió d'obertura del $0,5 \%$ sobre el capital sol·licitat. Calcula la $TAE$ de l'operació, integrant totes aquestes despeses addicionals en el cost efectiu del capital.

Comparem dues targetes de crèdit. La Targeta Platino cobra un interès nominal mensual de l'$1{,}8\,\%$ sense quota de manteniment. La Targeta Oro cobra un $1{,}5\,\%$ nominal mensual però té una quota fixa de manteniment de $45\text{ €}$ a l'any. Un usuari manté un deute mitjà constant de $1.200\text{ €}$ durant tot l'any.

1. a) Calcula la $TAE$ de la Targeta Platino i la $TAE$ de l'interès de la Targeta Oro (sense comptar la quota de manteniment).

1. b) Calcula el cost anual total de cada targeta (interessos i quota) per a un deute mitjà de $1.200\text{ €}$.

1. c) Escriu el cost anual de cada targeta en funció del deute mitjà $D$ i determina a partir de quina quantitat de deute mitjà anual començaria a ser més rendible la Targeta Oro.

Un banc ofereix un producte d'inversió on els interessos es capitalitzen de forma trimestral. Si un client vol que el seu capital inicial es dupliqui exactament en $10$ anys, quina ha de ser la $TAE$ mínima que ha d'oferir el producte? Expressa el resultat amb quatre decimals i calcula també el $TIN$ anual corresponent a aquesta operació.

Una plataforma de crowdlending permet prestar diners a pimes. Una empresa sol·licita $5.000 \text{ €}$ i es compromet a retornar $5.600 \text{ €}$ al cap de $9$ mesos en un únic pagament. Calcula la $TAE$ que obtindran els inversors si la plataforma cobra una comissió de gestió del $1 \%$ sobre el capital final cobrat en el moment del venciment. Compara aquest resultat amb la $TAE$ que s'obtindria si no existís aquesta comissió de gestió.

En un concessionari de vehicles de mobilitat urbana ofereixen finançar un ciclomotor elèctric de $3.000\text{ €}$ per retornar l'import íntegre en un únic pagament al cap d'$1$ any, presentant dues promocions alternatives:

• Promoció 'Sense Interessos': S'anuncia amb un $\text{TIN}$ del $0\,\%$. Tanmateix, el contracte inclou una comissió d'estudi i obertura del $3\,\%$ sobre el preu del vehicle ($90\text{ €}$) que se suma al deute a retornar a l'any, i unes despeses inicials de gestió de $60\text{ €}$ que s'han de pagar al comptat en l'instant del lliurament ($t = 0$).

• Promoció 'Finançament Estàndard': $\text{TIN}$ del $4,50\,\%$ anual amb liquidació trimestral d'interessos acumulatius ($n = 4$), sense cap mena de comissions d'obertura ni despeses inicials, abonant capital més interessos en finalitzar l'any.

1. a) Modela el flux monetari de la Promoció 'Sense Interessos': determina la quantitat neta de diners que realment rep finançada el comprador en $t = 0$ i l'import total que desemborsa al cap d'$1$ any. Amb aquests dos imports, calcula la $\text{TAE}$ efectiva del préstec.
2. b) Modela i calcula la $\text{TAE}$ corresponent a la Promoció 'Finançament Estàndard'.
3. c) Determina raonadament quina de les dues ofertes resulta financerament més avantatjosa per al comprador i reflexiona sobre el motiu pel qual la normativa de transparència bancària exigeix destacar la $\text{TAE}$ en tota oferta publicitària, fins i tot quan el $\text{TIN}$ anunciat sigui del $0\,\%$.

Un fullet d'inversió anuncia un producte estructurat a $1$ any amb una $\text{TAE}$ del $5,00\,\%$. Un comercial financer afirma davant d'un client: «Si pactem liquidar els interessos de manera instantània i contínua en lloc de mensualment, mantenint el mateix $\text{TIN}$ anual la rendibilitat efectiva ($\text{TAE}$) augmentarà substancialment, i podrà assolir el $6\,\%$ o fins i tot el $7\,\%$.»

1. a) Suposant que el producte ofereix una $\text{TAE}$ del $5,00\,\%$, calcula el $\text{TIN}$ ($r$) que correspondria si la capitalització fos mensual ($n = 12$) i el que correspondria sota capitalització contínua utilitzant l'expressió límit $\text{TAE} = e^{r/100} - 1$. Arrodoneix ambdós valors amb tres decimals de percentatge.
2. b) Suposa ara que el banc fixa per endavant un $\text{TIN}$ del $4,88\,\%$. Demostra analíticament que existeix una cota superior finita per a la $\text{TAE}$ que no es pot ultrapassar, sense importar com de gran sigui el nombre de períodes de liquidació $n$. Determina el valor exacte d'aquesta cota superior màxima.
3. c) A partir dels resultats dels apartats anteriors, rebat amb arguments matemàtics l'afirmació del comercial i explica quina conclusió pràctica ha d'extreure un estalviador sobre la veritable influència d'incrementar la freqüència de liquidació en la rendibilitat dels seus diners.