Exercicis: Números índex, IPC i taxes

El preu d'un bitllet d'autobús era de $2,50\ \text{ €}$ el 2023 i de $2,65\ \text{ €}$ el 2024.

1. a) Calcula el número índex del preu el 2024 amb base 2023.

1. b) Quina ha estat la variació percentual del preu?

El número índex del preu del menú del dia en una ciutat, amb base 2021, val $108,5$ el 2024.

1. a) Explica amb les teves paraules què significa aquest valor.

1. b) Si un menú costava $11\ \text{ €}$ el 2021, quant costa el 2024 si el seu preu ha seguit aquest índex? Arrodondeix als cèntims.

La taula mostra el preu d'un videojoc en tres anys: 2022: $60\ \text{ €}$; 2023: $66\ \text{ €}$; 2024: $69\ \text{ €}$.

1. a) Construeix la sèrie de números índex amb base 2022.

1. b) En quin any va pujar més el preu, en percentatge, respecte a l'any anterior?

En un país de $2,1$ milions d'habitants, la taxa de natalitat és de $7,1$ naixements per cada $1.000$ habitants.

1. a) Quants naixements es van registrar aquest any, aproximadament?

1. b) Si la taxa de mortalitat va ser de $9,3$ per cada $1.000$ habitants, la població creix o decreix per causes naturals? Quantifica-ho.

En un informe socioeconòmic comarcal es recullen les dades següents de l'Enquesta de Població Activa (EPA):\n- Població de $16$ anys o més: $500.000$ persones.\n- Persones ocupades: $270.000$.\n- Persones desocupades (aturades): $30.000$.\n\nEn Marcos, un estudiant de batxillerat, escriu en el seu treball: «La taxa d'atur de la comarca és del $6\,\%$, ja que es calcula dividint les $30.000$ persones aturades entre les $500.000$ persones en edat de treballar i multiplicant per $100$».\n\na) Localitza l'error conceptual comès per en Marcos i redacta una breu explicació de per què el seu plantejament no s'ajusta a la definició de taxa d'atur.\nb) Calcula correctament la taxa d'activitat i la taxa d'atur d'aquesta comarca (expressades en percentatge arrodonit a les centèsimes).\nc) Si l'any que ve $10.000$ persones de les que estaven a l'atur decideixen deixar de buscar feina activament per matricular-se en estudis universitaris a temps complet, què passarà qualitativament amb la taxa d'atur (pujarà, baixarà o no canviarà), assumint que la resta de variables es manté constant? Justifica la teva resposta.

Per analitzar la cistella de la compra d'una família mitjana, es consideren únicament tres grups de consum amb les seves ponderacions corresponents (pesos) i índexs de preus respecte a l'any anterior:\n- Alimentació: ponderació $p_1 = 0,35$; índex de preus $I_1 = 108$ (pujada del $8\,\%$).\n- Habitatge i subministraments: ponderació $p_2 = 0,45$; índex de preus $I_2 = 102$ (pujada del $2\,\%$).\n- Oci i transport: ponderació $p_3 = 0,20$; índex de preus $I_3 = 99$ (baixada de l'$1\,\%$).\n\na) Abans de calcular el resultat numèric exacte, estima de manera raonada en quin interval es trobarà l'IPC global. Estarà més a prop de $102$, de $105$ o de $108$? Justifica la teva estimació basant-te en el pes que té cada grup de despesa.\nb) Calcula l'índex ponderat exacte de l'IPC.\nc) Comprova si la teva estimació inicial era coherent i dedueix quina ha estat la taxa d'inflació global interanual (variació percentual) d'aquesta família.

La sèrie de números índex del preu del transport urbà, amb base 2018, és: 2018: $100$; 2019: $103,2$; 2020: $107,5$; 2021: $112,1$.

1. a) Construeix la mateixa sèrie prenent com a base l'any 2021 (índex $100$ el 2021), arrodonint a les dècimes.

1. b) Quina informació es conserva i quina canvia en fer el canvi de base?

L'IPC anual de tres anys consecutius ha estat del $3,5 \%$, el $2,8 \%$ i el $4,1 \%$.

1. a) Calcula l'índex de variació encadenat de tot el trienni i la pujada total acumulada, arrodonida a les centètimes.

1. b) Si un litre de llet costava $0,95\ \text{ €}$ a l'inici del primer any i el seu preu ha pujat exactament com l'IPC, quant costa al final del tercer any? Arrodondeix als cèntims.

La figura compara l'evolució de l'IPC i de l'índex salarial d'un país (tots dos amb base $100$ tres anys abans).

1. a) Quina ha estat la pujada percentual total dels preus i la dels salaris en el període?

1. b) Han guanyat o han perdut poder adquisitiu els salaris? Calcula l'índex de variació real (índex salarial dividit entre l'IPC, per $100$) de l'últim any i interpreta'l.

1. c) Si en l'últim any un treballador cobrava $1.650\ \text{ €}$ al mes, quin salari necessitaria per recuperar el poder adquisitiu de tres anys abans?

El 2022, el lloguer d'un pis era de $850\ \text{ €}$ mensuals. El contracte es revisa cada any amb l'IPC: el 2023 l'IPC va ser del $3,1 \%$ i el 2024, del $2,6 \%$.

1. a) Calcula la renda mensual el 2024 després de les dues revisions, arrodonida als cèntims.

1. b) El llogater vol comparar la renda de 2024 «en euros de 2022». Com que els preus han pujat el mateix que el seu lloguer, explica quin índex usaria i quina conclusió obté.

1. c) Si el 2025 l'IPC és del $5 \%$ i el propietari decideix no revisar el lloguer, en quin percentatge ha baixat la renda en termes reals? Arrodondeix a les centètimes.

En un municipi de $48.300$ habitants es van registrar $415$ naixements i $502$ defuncions en un any.

1. a) Calcula la taxa de natalitat i la de mortalitat (per cada $1.000$ habitants), arrodonides a les centètimes.

1. b) Calcula el creixement vegetatiu (naixements menys defuncions) i expressa'l també com a taxa per cada $1.000$ habitants. Creix o decreix la població per causes naturals?

1. c) Si la població total, així i tot, va augmentar en $600$ persones aquest any, quina altra component demogràfica explica la diferència? Quantifica-la.

La figura mostra l'evolució d'un índex de preus amb base $100$ el 2021.

1. a) Quina ha estat la variació percentual total dels preus entre 2021 i 2025?

1. b) En quin any es va produir la pujada anual més gran? Calcula-la a partir dels índexs, no la llegeixis a ull.

1. c) Calcula la taxa de variació mitjana anual del període (la que, repetida els quatre anys, donaria el mateix índex final). Arrodondeix a les centètimes.

El departament d'estadística d'un ajuntament elabora un índex local de preus amb tres components clau:\n- Alimentació (pes $p_1 = 0,30$).\n- Habitatge i lloguer (pes $p_2 = 0,50$).\n- Transport municipal (pes $p_3 = 0,20$).\n\nEn acabar l'any, el consistori comunica que l'IPC general del municipi ha pujat exactament un $4,1\,\%$ respecte a l'any base (és a dir, l'índex global ponderat se situa en $104,1$). Revisant les sèries parcials, es comprova que l'índex d'Habitatge i lloguer va pujar un $3\,\%$ ($I_2 = 103$) i el Transport es va abaratir un $2\,\%$ ($I_3 = 98$), però s'ha extraviat el registre de l'índex d'Alimentació ($I_1$).\n\na) Planteja una equació de primer grau en què intervingui la mitjana ponderada de l'IPC i la incògnita de la qual sigui $I_1$.\nb) Resol l'equació i calcula el nombre índex de l'Alimentació i la seva taxa de variació percentual.\nc) Si l'equip de govern municipal s'havia fixat com a objectiu que la inflació global del municipi no superés el $3,5\,\%$, quin hauria hagut de ser, com a màxim, el percentatge d'increment en els preus de l'alimentació mantenint constants les variacions d'habitatge i transport?

En una comunitat autònoma, les dades del mercat laboral de l'Any 1 segons l'INE són les següents:\n- Població de $16$ anys o més: $2.000.000$ de persones.\n- Taxa d'activitat: $60\,\%$.\n- Taxa d'atur: $15\,\%$.\n\nEn l'Any 2 es produeix una recessió econòmica. La població de $16$ anys o més continua sent de $2.000.000$ de persones, però tenen lloc dos fenòmens simultanis: es destrueixen $20.000$ llocs de treball (les persones ocupades disminueixen en $20.000$ passant inicialment a la desocupació) i, al mateix temps, $40.000$ persones desocupades cauen en l'«efecte desànim» (deixen de buscar feina activament i abandonen la població activa, passant a la inactivitat).\n\na) Determina per a l'Any 1 la població activa, el nombre d'ocupats i el nombre d'aturats.\nb) Determina per a l'Any 2 la nova població activa, el nou nombre d'ocupats i el nou nombre d'aturats. A partir d'aquests, troba la nova taxa d'activitat i la nova taxa d'atur (arrodonint a dos decimals).\nc) Interpreta el resultat: per què ha disminuït la taxa d'atur malgrat que s'han destruït llocs de treball nets? Explica quin risc suposa avaluar la salut de l'ocupació mirant únicament la taxa d'atur sense parar atenció a la taxa d'activitat.

Una cadena de supermercats té una sèrie de números índex de les seves vendes amb base 2020 i una altra amb base 2023, però li falta l'enllaç. Les dades conegudes són:

• Base 2020: índex de 2021 $= 104$, índex de 2022 $= 109$, índex de 2023 $= 115$.

• Base 2023: índex de 2024 $= 106$, índex de 2025 $= 110$.

1. a) Calcula els índexs de 2024 i 2025 en base 2020 (és a dir, enllaça les dues sèries).

1. b) Quina ha estat la variació percentual total de les vendes entre 2020 i 2025?

1. c) I la variació mitjana anual en aquest període? Expressa-la en percentatge arrodonit a les dècimes (usa l'arrel de l'índex global).

En un debat televisat, un tertulià afirma: «l'IPC va pujar un $5 \%$ el 2023 i va baixar un $5 \%$ el 2024, així que els preus han tornat exactament on estaven el 2022».

1. a) Mostra amb un preu concret (per exemple, $100\ \text{ €}$) que l'afirmació és falsa, i calcula l'índex de variació total del bienni.

1. b) Quin percentatge haurien d'haver baixat els preus el 2024 per tornar exactament al nivell de 2022? Arrodondeix a les centètimes.

1. c) Explica, en una frase que entengui qualsevol ciutadà, per què pujar un $5 \%$ i baixar un $5 \%$ no es cancel·len.

L'IPC d'un país es calcula com la mitjana ponderada dels índexs de diversos grups de despesa. En un any, les dades són:

• Alimentació i begudes: ponderació $25 \%$, pujada del $9 \%$.

• Habitatge i subministraments: ponderació $30 \%$, pujada del $4 \%$.

• Transport: ponderació $15 \%$, pujada del $6 \%$.

• Resta de grups: ponderació $30 \%$, pujada del $2 \%$.

1. a) Calcula l'IPC global de l'any, arrodonit a les centètimes.

1. b) Un treballador el salari del qual va pujar un $3,5 \%$ aquest any afirma que «ha perdut poder adquisitiu». Té raó? Justifica-ho calculant l'índex de variació real del seu salari.

1. c) Un altre treballador gasta la meitat del seu sou en habitatge i l'altra meitat en la resta per igual. Explica per què la seva «inflació personal» pot ser diferent de l'IPC oficial.

La taula mostra dades aproximades de l'Enquesta de Població Activa de dues regions en un trimestre:

• Regió A: població activa $2.400.000$ persones, aturats $312.000$, ocupats $2.088.000$.

• Regió B: població activa $950.000$ persones, aturats $123.500$, ocupats $826.500$.

1. a) Calcula la taxa d'atur de cada regió, arrodonida a les centètimes.

1. b) A la regió A, la població de $16$ o més anys és de $4.300.000$ persones. Calcula la seva taxa d'activitat, arrodonida a les centètimes.

1. c) Un titular diu: «La regió B té menys atur perquè té menys aturats». Critica el titular fent servir les taxes calculades i explica per què les taxes permeten comparar poblacions de diferents mides.

Una treballadora cobrava un sou net de $1.500$ € mensuals el 2018 i passa a cobrar $1.720$ € mensuals el 2024. Per avaluar si ha guanyat o perdut poder adquisitiu, consulta les sèries de l'IPC de l'INE, però observa que el 2021 es va produir un canvi de base:\n- Sèrie antiga (base $2016 = 100$): Índex el 2018 $= 103,5$; Índex el 2021 $= 110,0$.\n- Sèrie nova (base $2021 = 100$): Índex el 2021 $= 100,0$; Índex el 2024 $= 114,2$.\n\nPer calcular la inflació acumulada entre 2018 i 2024 es plantegen dos camins:\n- Mètode 1 (Enllaçar cap a la base antiga): Multiplicar els índexs de la sèrie nova pel coeficient d'enllaç $k = \frac{110,0}{100,0}$ per expressar l'any 2024 en base 2016, i calcular la variació percentual entre 2018 i 2024.\n- Mètode 2 (Rebaixar la sèrie a base 2021): Canviar la base de l'any 2018 directament a base 2021 dividint el seu índex entre $110,0$ i multiplicant per $100$, per després calcular la variació entre 2018 i 2024 en aquesta mateixa base.\n\na) Desenvolupa completament ambdós mètodes amb les dades numèriques i demostra algebraicament que condueixen amb exactitud al mateix percentatge de variació acumulada de l'IPC.\nb) Compara ambdós procediments i justifica quin dels dos és preferible o més eficient si haguessis d'actualitzar tota una taula de preus d'una empresa entre 2015 i 2024.\nc) Utilitzant la inflació acumulada calculada, determina el sou real que percep la treballadora el 2024 a preus constants de 2018 i conclou raonadament si ha guanyat o perdut poder adquisitiu i en quin percentatge exacte respecte a la seva situació inicial.

Una plataforma immobiliària analitza la sèrie de preus del lloguer per metre quadrat en una capital entre 2019 i 2024 prenent com a any base $2019 = 100$:\n- El 2020, el preu va experimentar una baixada del $4\,\%$ respecte al 2019.\n- El 2021, el preu va pujar un $5\,\%$ respecte al 2020.\n- Durant el bienni 2021-2023, el preu va augmentar amb una taxa de variació mitjana anual (TVMA) constant del $6\,\%$ cada any.\n- De cara al 2024, l'empresa pretén ajustar les seves tarifes de manera que la taxa de variació mitjana anual al llarg de tot el lustre (del període complet 2019-2024, és a dir, en $5$ anys) sigui exactament del $4\,\%$ anual.\n\na) Modelitza l'evolució de la sèrie calculant el nombre índex de preus el 2020, 2021 i 2023 amb base 2019 (arrodoneix els índexs a dos decimals).\nb) Escriu l'equació que permet obtenir l'índex de preus corresponent a l'any 2024 per satisfer la condició de la TVMA quinquennal del $4\,\%$, i calcula el valor d'aquest índex $I_{2024}$.\nc) A partir dels resultats anteriors, dedueix quina variació percentual exacta s'ha d'aplicar al lloguer el 2024 respecte als preus de 2023.\nd) Un assessor comercial proposa: «Com que el 2020 va variar un $-4\,\%$, el 2021 un $+5\,\%$, el 2022 un $+6\,\%$ i el 2023 un $+6\,\%$, la suma acumulada és $-4 + 5 + 6 + 6 = 13\,\%$. Per assolir en cinc anys una mitjana del $4\,\%$ anual (que suma un $20\,\%$), el 2024 n'hi haurà prou amb apujar un $7\,\%$ (ja que $13 + 7 = 20$)». Argumenta amb rigor matemàtic per què el raonament de l'assessor és fal·laç en el càlcul financer i de nombres índex, i indica si la seva estimació es queda per sobre o per sota del valor real necessari.